直線與雙曲線的位置關系(公開課)

1、直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系橢圓與直線的位置關系及判斷方法橢圓與直線的位置關系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù)（3）復習:相離相切相交含含焦焦點點區(qū)區(qū)域域外外含含焦焦點點區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)含含焦焦點點區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)PPP當點當點P P在雙曲線上時，能在雙曲線上時，能作作3 3條直線與雙曲線只有條直線與雙曲線只有一個公共點。一個公共點。P當點當點P在其中一條漸近在其中一條漸近線上（中心除外）時，線上（中心除外）時，一條是切線，一條是與一條是切線，一條是與另一條漸近線平行。另一條漸近線平行。P當點當點P在含焦點區(qū)域在含焦點區(qū)域內(nèi)時

2、，兩條是分別與內(nèi)時，兩條是分別與兩條漸近線平行。兩條漸近線平行。P當點當點P P在雙曲線的中在雙曲線的中心時，不可能作出一心時，不可能作出一條直線與雙曲線只有條直線與雙曲線只有一個公共點。一個公共點。過點過點P P且與雙曲線只且與雙曲線只有一個公共點的直有一個公共點的直線線最多最多有有4 4條條也就是說過點也就是說過點P P作與作與雙曲線只有一個公共雙曲線只有一個公共點的直線條數(shù)可能是點的直線條數(shù)可能是4 4條、條、3 3條、條、2 2條、條、0 0條條消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(

3、m2+b2)=01.二次項系數(shù)為二次項系數(shù)為0時，直線時，直線L（K= ）與雙曲）與雙曲線的漸近線平行或重合。線的漸近線平行或重合。重合：無交點；重合：無交點；平行：有一個交點。平行：有一個交點。2.二次項系數(shù)不為二次項系數(shù)不為0時時,上式為一元二次方程上式為一元二次方程, 0 直線與雙曲線相交（兩個交點）直線與雙曲線相交（兩個交點） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0=00相交相交相切相切相離相離 特別特別注意注意：直線與雙曲線的位置關系中：直線與雙曲線的位置關系中：一解不一定相切一解不一定相切，相交不一定相交不一定兩解兩解，兩解不一定同支，兩解不一定同支的方程。一個公共點，求直線僅

4、有：與雙曲線的直線過點lyxClP14)3 , 0(223kxyl的方程為：設013641432222kxxkyxkxy由 32:,2,0412xylkk此時時當 313:,13, 013446,042222xylkkkk此時得由時當2.過點過點P(1,1)與雙曲線與雙曲線 只有只有共有共有_條條. 變式變式:將點將點P(1,1)改為改為1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的答案又是怎樣的?4116922yx1.兩條兩條;2.三條三條;3.兩條兩條;4.零條零條.交點的交點的一個一個直線直線XYO（1，1）。例題講解例題講解例例3：如果直線如果直線y

5、=kx-1與雙曲線與雙曲線x2-y2=4沒有公共點，求沒有公共點，求k的取值范圍的取值范圍解：由解：由 得得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程無解即方程無解y=kx-1x2-y2=41-k20=4k2+20(1-k2) 或或k 或或k0- k 且且k 1- k0解：等價于解：等價于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k20221k0解：等價于解：等價于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k2022- k0 x1x2= - 02-1k0 21,8 ,ABP弦的中點是 2k 8-k中點坐標公式與韋達定理,得-=1 3k -4 22由1 3 得k

6、= 12x直線AB的方程為y-81 = 即直線AB的方程為x-2y+15=0例例4.以以P（1，8）為中點作雙曲線為）為中點作雙曲線為y2-4x2=4的一條的一條 弦弦AB，求直線，求直線AB的方程。的方程。112222112222,44,44A x yB xyxx解法二:設則yy111112124,yyyyxxxx1,8 ,ABP弦的中點是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直線的斜率為112x直線AB的方程為y-8 =即直線AB的方程為x-2y+15=03.過原點與雙曲線過原點與雙曲線 交于兩點的直線斜率的交于兩點的直線斜率的取值范圍是取值范圍是 1

7、3422yx32 3，2解：將解：將y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又設方程的兩根為又設方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個實根，必須它有兩個實根，必須0,原點原點O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上，例例6、直線、直線y-ax-1=0和曲線和曲線3x2-y2=1相交，交點為相交，交點為 A、B，當，當a為何值時，以為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐為直徑的圓經(jīng)過坐 標原點。標原點。1212222a2xx,x x3a3a 典型例題典型例題: :解：將解：將y=ax+1代入代入3x2-y2

8、=1(6, 6),a 又設方程的兩根為又設方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個實根，必須它有兩個實根，必須0,原點原點O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 2、過雙曲線、過雙曲線 的右焦點的右焦點 傾斜角為傾斜角為 的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點

9、，求兩點，求|AB|。22136xy2,F045 2222練練習習題題: :已已知知雙雙曲曲線線C:2x -y =2C:2x -y =2與與點點P 1,2 .P 1,2 .1 1 求求過過點點P 1,2P 1,2 的的直直線線l l的的斜斜率率k k的的取取值值范范圍圍, ,使使l l與與C C有有一一個個交交點點? ?兩兩個個交交點點? ?沒沒有有交交點點? ?2 2 是是否否存存在在過過P P的的弦弦AB,AB,使使ABAB的的中中點點為為P?P?3 3 若若Q 1,1 ,Q 1,1 ,試試判判斷斷以以點點Q Q為為中中點點的的弦弦是是否否存存在在? ? 312;223.kk 或存在直線y=x+1;不存在作業(yè)：作業(yè)： 221.直線l:y =kx+1與雙曲線C:2x -y =1右支交于不同的兩點A,B1 求實數(shù)k的取值范圍;2 是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.2.已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經(jīng)過坐標原點且互相垂直，又知C