氣體分子熱運(yùn)動速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律課件

1、第三章 氣體分子熱運(yùn)動速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律3.3 3.3 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 重力場重力場中微粒按高度的分布中微粒按高度的分布3 3.4 .4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理3.3 3.3 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 重力場中微粒按高度的分布重力場中微粒按高度的分布 一、玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 玻耳茲曼分子按能量分布定律，簡稱玻耳茲曼分布律：當(dāng)氣體在外力場中處于平衡態(tài)時，其中位置坐標(biāo)位于 ； ； 區(qū)間，同時速度坐標(biāo)位于 : 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為： dxxxdyyydzzzzzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv;dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk/

2、 )(2/302(1)12/2/3 zyxkTdvdvdvekTmkdxdydzendxdydzdvdvdvekTmndNkTzyxkTppk/0/ )(2/302 kTpenn/0根據(jù)麥克斯韋分布函數(shù)所應(yīng)滿足的歸一化條件：可得：則有單位體積內(nèi)的分子數(shù)：上式是分子按勢能的分布律。(2)(3)(4) 玻耳茲曼分布律是一個普遍的規(guī)律，它對任何物質(zhì)的微粒在任何保守力場中運(yùn)動的情形都成立。二、重力場中微粒按高度的分布二、重力場中微粒按高度的分布 在重力場中，氣體分子受到兩種相互對立 的作用：熱運(yùn)動和重力作用。平衡態(tài)時， 分子數(shù)密度隨高度的增加而減小。取坐標(biāo)軸z鉛直向上，在z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n

3、0,則分布在高度為z處體積元內(nèi)的分子數(shù)為dxdydzendNkTmgz/0分布在高度z處單位體積內(nèi)的分子數(shù)則為：kTmgzenn/0(5)(6)n0對于地面處對于地面處 ，重力場中氣體，重力場中氣體分子數(shù)密度隨高度的增大按指數(shù)規(guī)律衰減。分子數(shù)密度隨高度的增大按指數(shù)規(guī)律衰減。onnz , 0圖1、重力場中氣體分子數(shù)密度與高度的關(guān)系 n n0 T2T1 T2 T1 h h zkTmgz0ennn0 h n nO2 nH2 z 分子質(zhì)量分子質(zhì)量m m增大時，增大時，n n隨高度隨高度變化的較快。變化的較快。T T一定時，質(zhì)量一定時，質(zhì)量大的分子容易聚集到地面附大的分子容易聚集到地面附近。近。這是大氣

4、中氫氣含量這是大氣中氫氣含量少的原因之一。少的原因之一。 當(dāng)當(dāng)T T升高時，升高時，n n隨高度遞減隨高度遞減的較慢。同種氣體高溫時，的較慢。同種氣體高溫時，地面與高空的密度差較小。地面與高空的密度差較小。 圖2、n與T的關(guān)系圖3、n與分子質(zhì)量m的關(guān)系（6）又因?yàn)椋簄kTp 所以：RTMgzkTmgzepkTenp/0/0或0lnppMgRTz 此式稱為等溫氣壓公式。利用此式可以根據(jù)大氣壓強(qiáng)隨高度的減小，判斷上升的高度。（7）（8）（9）3.4 3.4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度 自由度自由度：描述一個物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱為該物體的自由度自由度。 自由度數(shù)自

5、由度數(shù)：決定一個物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，叫做這個物體的自由度數(shù)自由度數(shù)（記作N）。對于質(zhì)點(diǎn)：對于質(zhì)點(diǎn)： （1）一個質(zhì)點(diǎn)在空間任意運(yùn)動，需用三個獨(dú)立坐標(biāo)（x，y，z）確定其位置。所以自由質(zhì)點(diǎn)有三個平動自由度 i = 3。 （2）如果對質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動加以限制（約束），自由度將減少。 如質(zhì)點(diǎn)被限制在平面或曲面上運(yùn)動，則 i = 2； 如果質(zhì)點(diǎn)被限制在直線或平面曲線（不是空間曲線）上運(yùn)動，則其自由度 i = 1。對于剛體：對于剛體： 一個剛體在空間任意運(yùn)動時，可分解為質(zhì)心C 的平動和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動，所以剛體的位置可決定如下： （1） 確定剛體質(zhì)心C 的位置，需三個獨(dú)立坐標(biāo)（x，y，z） 自由剛體

6、有三個平動自由度三個平動自由度 t = 3；（2）確定剛體通過質(zhì)心軸的空間方位三個方位角（，）中只有其中兩個是獨(dú)立的（因?yàn)?需兩個轉(zhuǎn)動自由度兩個轉(zhuǎn)動自由度； （3）確定剛體繞通過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)過的角度還需一個轉(zhuǎn)動自由度一個轉(zhuǎn)動自由度。1coscoscos222 這樣，確定剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動，共有三個轉(zhuǎn)動自由度 r = 3。 所以，一個任意運(yùn)動的剛體，總共有6個自由個自由度度，即3個平動自由度和3（=2+1）個轉(zhuǎn)動自由度。即：i = t + r = 3 + 3 = 6 當(dāng)剛體的運(yùn)動受到某種限制時，其自由度數(shù)也會減小，例如，繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體只有一個自由度。對于分子：對于分子： （1）單原子分子單原子

7、分子：如氦He、氖Ne、氬Ar 等分子只有一個原子，可看成自由質(zhì)點(diǎn)，所以有3個平動自由度個平動自由度 。（2）雙原子分子雙原子分子：如氫 、氧 、氮 、一氧化碳CO 等分子中的兩個原子是由一個鍵連接起來的，這種分子除整體做平動和轉(zhuǎn)動外，兩個原子還沿著連線方向做微振動。因此，雙原子分子共有六個自由度六個自由度：三個平動自由度，兩個轉(zhuǎn)動自由度，一個振動自由度。（3）多原子分子多原子分子（由三個或三個以上原子組成的分子）：需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)情況進(jìn)行具體分析才能確定。一般的，如果某一個分子由n個原子組成，則這個分子最多有最多有3n3n個自由度個自由度，其中3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，其余3n-6個是振

8、動自由度。 當(dāng)分子的運(yùn)動受到某種限制時，其自由度數(shù)就會減小。二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動能為：kTvm2321_2在平衡狀態(tài)下，大量氣體分沿各個方向運(yùn)動的機(jī)會均等。所以有：_2_2_2_231vvvvzyx因此：kTvmvmvmzyx21212121_2_2_2即每個自由度每個自由度分配到相等相等的能量，其值為 。kT21（1）（2）（3）能量按自由度均分定理（簡稱能量均分定理）：能量按自由度均分定理（簡稱能量均分定理）： 溫度為溫度為T T 的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)分子的每一個自的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)分子的每一個自由度都具有相同的平均動能，其大小都等由度都具有相同的平均動能，其大小都等于于 。kT21 如果某種氣體的分子有t個平動自由度，r個轉(zhuǎn)動由度，s個振動自由度，則分子的平均平動能，平均轉(zhuǎn)動能和平均振動能就分別為 ， 和 ，而分子的平均總動能即為 。kTsrt)(21kTt2kTs2kTr2 由振動學(xué)可知，諧振動在一個周期內(nèi)的平均動能由振動學(xué)可知，諧振動在一個周期內(nèi)的平均動能和平均勢能是相等的。和