電動力學(xué) 第六章 (1)

1、1第六章第六章狹義相對論狹義相對論26.1 6.1 狹義相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)及其產(chǎn)生的歷史背景狹義相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)及其產(chǎn)生的歷史背景 狹義相對論是愛因斯坦在前人工作的基礎(chǔ)上，分析了經(jīng)典力狹義相對論是愛因斯坦在前人工作的基礎(chǔ)上，分析了經(jīng)典力學(xué)與電磁實(shí)驗(yàn)之間的矛盾，于學(xué)與電磁實(shí)驗(yàn)之間的矛盾，于19051905年發(fā)表的年發(fā)表的論運(yùn)動物體論運(yùn)動物體電動力學(xué)電動力學(xué)這篇文章中提出的一種嶄新的物理理論。在愛因這篇文章中提出的一種嶄新的物理理論。在愛因斯坦提出來的時候，狹義相對論只是為了解決經(jīng)典力學(xué)和電斯坦提出來的時候，狹義相對論只是為了解決經(jīng)典力學(xué)和電磁現(xiàn)象之間的矛盾而提出來的一種假說。近百年來，大量的磁現(xiàn)象

2、之間的矛盾而提出來的一種假說。近百年來，大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明了狹義相對論基本原理的正確性。實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明了狹義相對論基本原理的正確性。 建立在相對性原理和光速不變原理基礎(chǔ)上的狹義相對建立在相對性原理和光速不變原理基礎(chǔ)上的狹義相對論，突破了牛頓力學(xué)的絕對時空觀念，確立了一種新的相對論，突破了牛頓力學(xué)的絕對時空觀念，確立了一種新的相對論的時空觀念。這個新的時空理論，圓滿地解釋了經(jīng)典物理論的時空觀念。這個新的時空理論，圓滿地解釋了經(jīng)典物理理論所不能解釋的許多力學(xué)現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象。理論所不能解釋的許多力學(xué)現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象。 牛頓力學(xué)被總結(jié)為牛頓三定律，牛頓定律成立的參考系稱為慣性系。經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，任何相對慣性系

3、作等速直線運(yùn)動的參考也是慣性系，對于兩個相互作等速直線運(yùn)動的慣性系S和S,它們的時空坐標(biāo)分別為（x,y,z,t）和（x,y,z,t），適當(dāng)選擇空間和時間原點(diǎn)，則它們之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為上式稱為伽利略變換。力學(xué)定律在伽利略變換下式不變的。 3ttvtrr+如果把伽利略變換應(yīng)用于描述電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程組時，將發(fā)現(xiàn)它的形式不是不變的，即在伽利略變換下麥克斯韋方程組或電磁現(xiàn)象規(guī)律不滿足相對性原理，這一點(diǎn)只要從它的波動方程就可以驗(yàn)證。設(shè) 系中場量u( ， )滿足波動方程由伽利略變換得則波動方程變?yōu)?40)()1(2222trutctvt ,0),()(1212222222truvctvctcSrt5

4、6.2 狹義相對論基本原理與相對論時空觀狹義相對論基本原理與相對論時空觀 6.2.1 同時性問題同時性問題 例如在鐘A指示為 的時刻從A點(diǎn)向B點(diǎn)發(fā)出一束光脈沖信號，設(shè) 為光從A向B傳播的單向速度， 為A和B兩點(diǎn)的距離，則光信號到達(dá)B點(diǎn)的時間 應(yīng)滿足下式關(guān)系 （6.2.1） 如果知道了光的單向速度 ，則可按上式，在光信號到達(dá)B點(diǎn)時把鐘B的指針調(diào)到 ，這樣鐘B與鐘A就校準(zhǔn)好了。但是，這種對鐘的方法同樣存在問題，AtABcABlBtABABABclttABcBt6因?yàn)橐绬蜗蚬馑?，按（6.2.1）式 （6.2.2）這就需要在A和B兩點(diǎn)事先校準(zhǔn)好鐘A和鐘B，才能測得光信號從A傳播到B所需要的時間。

5、 現(xiàn)在令一束光線于“A時間” 從A射向B，于“B時間” 從B反射向A，于“A時間” 回到A，如圖6.2.1所示，則 （6.2.3） （6.2.4）ABcABABABttlcAtBtAt,ABABABcltt,BABABAcltt7因?yàn)?，根據(jù)光速不變假設(shè)， ，所以 （6.2.3）和（6.2.4）兩式相減可得 （6.2.5）上式就是兩個鐘同步的條件。 完全由A處的一個鐘確定，而B處的鐘則可按照（6.2.5）式來校準(zhǔn)，只要在光信號到達(dá)B點(diǎn)時，把鐘B的指針調(diào)到 就行了。這樣就定義了A，B的公共時間，即A與B兩個鐘達(dá)到同步。由此就可以比較空間不同地點(diǎn)發(fā)生的兩個事件的時間關(guān)系。 BAABllcccBAA

6、BAABttt21AAtt,Bt86.2.2 狹義相對論的基本原理狹義相對論的基本原理 現(xiàn)在將1905年愛因斯坦提出的狹義相對論基本原狹義相對論基本原理理表述如下： （i）相對性原理：在互相做勻速直線運(yùn)動的慣性系中，一切物理定律是相同的。 （ii）光速不變原理：在相互做勻速直線運(yùn)動的慣性系中，真空中的光速都是各向同性的，而且都等于c。 由此可見，愛因斯坦是把力學(xué)相對性原理加以推廣，不僅適用于力學(xué)規(guī)律，而且也適用于電動力學(xué)和其他的物理規(guī)律。96.2.3 相對論的時空觀相對論的時空觀 根據(jù)狹義相對論這兩條基本原理，可以證明同時的相對性，從而導(dǎo)得長度和時間的相對性，這些新的時空觀念是和牛頓力學(xué)舊的時

7、空觀念完全對立的。 （i）“同時”的相對性 在經(jīng)典力學(xué)中，同時是絕對的。但這種觀念是與光速不變原理相矛盾的。 例如有兩個觀察者，分別處于兩個不同的慣性系 和 中， 系相對于 系以速度 沿正 軸方向運(yùn)動，如圖6.2.2所示。當(dāng) 與 重合時，在原點(diǎn)發(fā)出一個光SSSvSxOO10信號，根據(jù)光速不變原理，過了一段時間，在 系觀察者看來，光的波陣面是“同時”到達(dá) 以 為心的球面 上，同樣，在 系的觀察者，也根據(jù)光速不變原理， 過一段時間光的波陣面是“同時”到 達(dá)以 為心的球面 上。于是在 系看來光波到達(dá) 球面上是“同時” 事件，而在 系看來則不是同時事 件，反之，在 系看來，光波到達(dá) 球面上是“同時”

8、事件，而在 系看則不是同時的。這就說明“同時”是相對的。因此，“同時”的絕對觀念是與光速不變原理相矛盾的。SOSOSSSS11 （ii）運(yùn)動尺的長度縮短 例如在 系中的觀察者， 用一直標(biāo)準(zhǔn)尺子 去測量一 支運(yùn)動尺 的長度，如圖 6.2.4。設(shè) 與 重合的時刻 為 ， 與 重合的時刻為 ，僅當(dāng) ，,即 尺的兩端同時與 兩端重合時,才可以認(rèn)為這兩支尺長度是相等的，這時 尺的長度 就是 尺運(yùn)動狀態(tài)的長度，即SABBAAAAtBBBtBAttABBAABBAl運(yùn)動尺長度lxxABAB12 但固定在 尺上的 系中的觀察者看， 尺是靜止的，它的靜止長度為 ，即 在 系觀察者看來， 尺與 尺的兩端不是同時重

9、合的，而是 ，即 端先于 重合， 端后與 重合，顯然有因此，在 系中測得的運(yùn)動尺長度 比靜止尺長度 縮短了。所謂“運(yùn)動尺的長度縮短”，就是指運(yùn)動尺長度比它處于靜止?fàn)顟B(tài)時的長度短，運(yùn)動物體沿運(yùn)動方向上BASBA0l靜止尺長度0lxxBAABSABBAABttBBAAllABBA0,即S0ll13 長度縮短，通常稱為洛倫茲收縮洛倫茲收縮。運(yùn)動物體在運(yùn)動方向上長度縮短的現(xiàn)象是滿足相對性原理的。 （iii）運(yùn)動鐘的時間變慢 確定一個運(yùn)動鐘走的快慢，需要用一系列校準(zhǔn)好的靜止鐘與它比較，在它運(yùn)動過程中要相繼與不同地點(diǎn)的靜止鐘相遇，這樣就可以比 較它們的讀數(shù)。 例如有一個運(yùn)動鐘 ，如圖 6.2.4，它是固定

10、在 系中， 系 以速度 相對于 系向右勻速直MSSvS14線運(yùn)動。在 系中不同地點(diǎn)放置校準(zhǔn)好的一些列靜止鐘 。所謂校準(zhǔn)好，就是說例如 三個鐘指針處在“12”的位置是同時發(fā)生的，這樣，在 系看來，只要 鐘的結(jié)構(gòu)相同，則任何時刻這三個鐘都是同步的即但是，由于同時的相對性，在 系中 鐘測得 三個鐘指向“12”的時間 ，應(yīng)有 一只運(yùn)動鐘比一系列靜止的、用光信號同步的鐘走慢了，運(yùn)動鐘時間變慢現(xiàn)象稱愛因斯坦延緩愛因斯坦延緩。S ,CBACBA, ,CBAS.CBAtttSMCBA,CBAttt,.CBAttt156.3 洛倫茲變換和狹義相對論的時空理論洛倫茲變換和狹義相對論的時空理論 6.3.1 洛倫茲變

11、換洛倫茲變換 要解決運(yùn)動物體電動力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的矛盾，就應(yīng)該拋棄舊的時空觀而代之以相對論時空觀。具體地說，兩個慣性系之間的時空變換不再是伽利略變換，而應(yīng)該用滿足狹義相對論基本原理的新的變換，這種新的時空變換關(guān)系就是洛倫茲變換。任何一個物理事件都是在某一時刻、某一地點(diǎn)發(fā)生的，因此它可以用一組時間和空間坐標(biāo)來描述，即 ，設(shè)在某一慣性系 中一個事件的時空坐標(biāo)為 ，對于這同一事件，在另一慣性系 中的時空坐標(biāo)為tzyx,Stzyx,Stzyx,16則洛倫茲變換就是給出同一事件在不同慣性系中的時空坐標(biāo) 和 之間的變換關(guān)系。 洛倫茲變換可以根據(jù)狹義相對論的兩條基本原理及長期實(shí)踐中獲得的時間、空間的普遍性質(zhì)而

12、得到的。 首先，根據(jù)光速不變原理，考察光 在真空中的傳播，設(shè)在 系中，一束光 在 時刻從 點(diǎn)發(fā)出， 經(jīng)過 時 間到達(dá) （如圖6.3.1 所示），則或令 （6.3.1）tzyx,tzyx,Sttzyx,dtdzzdyydxx,22222dtcdzdydx. 0222222dtcdzdydxds17 在 系中，根據(jù)光速不變原理，這束光在真空中的傳播應(yīng)滿足 （6.3.2） 若 和 是代表任意的兩個事件，一般地說， 。但光在真空中的傳播是特殊的兩個事件，要求普遍的時空變換關(guān)系也應(yīng)使光在真空中傳播的規(guī)律，即 和 得到滿足，因此，普遍的關(guān)系應(yīng)為 （6.3.3） 其次，根據(jù)長期實(shí)踐中所獲得的時空普遍性質(zhì)的S

13、. 0222222t dczdydxdsdtzyx,dttdzzdyydxx,0, 022sdds02ds02 sd.adssd18認(rèn)識，即時間和空間是均勻的以及空間的各向同性，可以證明，（6.3.3）式中的 與時間、空間的坐標(biāo)以及速度 的方向無關(guān)，只可能是 的偶函數(shù)，即 （6.3.4）而且（6.3.3）式可以寫成 （6.3.5）最后再根據(jù)相對性原理， 系相對于 系以速度 做勻速直線運(yùn)動，也可以看成 系相對于 系以速度 做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)（6.3.5）式，則有逆變換 （6.3.6）avv),()(vava.)(dsvasdSSvSS.)(sdvadsv19由（6.3.4），（6.3.5），（

14、6.3.6）式得所以 由（6.3.3）式得 （6.3.7） 可以普遍地證明，滿足（6.3.7）式的 與 之間的變換必須是線性變換。 為簡單起見，我們假定這兩個慣性系 與 的坐標(biāo)軸是互相平行的，相對運(yùn)動的速度是沿正 軸方向，而且選擇兩慣性系原點(diǎn)重合時為 （見圖6.3.2） .)()()(2dsadsvavasdvads. 12a.22不變量 sddstzyx,tzyx,SSx0tt20根據(jù)以上討論的結(jié)果及對稱性考慮，時空變換關(guān)系應(yīng)取如下形式 （6.3.8）對于 點(diǎn)， ，由（6.3.8）第一式得于是 （6.3.9）.,22211211taxatzzyytaxaxOvtxx, 0,01211tavt

15、a.1112vaa21變換（6.3.8）必須滿足（6.3.7）式不變量的要求，對（6.3.8）求微分并代入（6.3.7）式得因?yàn)?和 是任意的，上式同類項系數(shù)應(yīng)分別相等，并加上（6.3.9）式，于是有如下方程組 （6.3.10）.22221222212112222222222dtadxacdzdydtadxat dczdydxddtcdzdydxdxdt., 0, 11112221222222211222122112212vaacaacaaaacaac22由此解得 四個系數(shù)(可以利用matlab語句S=solve(c2*z2-x2=-1,c2*z*q-x*y=0,c2*q2-y2=c2,-y/

16、x=v,x,y,z,q)求解)，代入（6.3.8）式得 （6.3.11）式中 ，（6.3.11）式稱為洛倫茲變換。它的反變換關(guān)系為 （6.3.12）22211211,aaaa.,2cxvttzzyyvtxxcv,112.,2cvxttzzyyvtxx23這個反變換結(jié)果也可以從如下方法得到。我們把 系看成“靜止”的， 系是相對于 系以 的速度在 軸的正方向做勻速直線運(yùn)動。于是由 變換為 ，只需將（6.3.11）式中帶“ ”的與不帶“ ”的量互換，同時將 換成 ，這樣就可得到（6.3.12）式的結(jié)果。 洛倫茲變換也可改寫為矢量形式 （6.3.13）SS)( vSxtzyx,tzyx,)( vv.,

17、2ctttvrrrvrr|24 其中 和 分別表示 平行于 和垂直于 的分矢量，當(dāng)速度比較?。?）而空間范圍又不大時，洛倫茲變換（6.3.13）式就還原為伽利略變換。 狹義相對論的變換關(guān)系在愛因斯坦1905年的論文發(fā)表之前就已經(jīng)有了，在這方面，洛倫茲和龐加萊（Poincare）等人做了大量工作。尤其是洛倫茲，他從數(shù)學(xué)上導(dǎo)得，如果時間、空間坐標(biāo)變換修改成（6.3.11）式，那么真空中的麥克斯韋方程組在運(yùn)動坐標(biāo)系 中變?yōu)榫哂邢嗤问降姆匠探M。 |rr,1 rr ,rr,vvcv S256.4.1 四維空間 已知知道，對于洛倫茲變換若引進(jìn) ， ， ， ，則現(xiàn)在以 , , , 構(gòu)成四維笛卡爾坐標(biāo)，則洛

18、倫茲變換可以看成四維空間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動，相應(yīng)的變換是線性變換，因?yàn)殚L度保持不變，所以還具有正交變換的性質(zhì) 。 這種描述方法是1907年首先由閔可夫斯基引進(jìn)的，所以又稱閔可夫斯基空間，因?yàn)樗菑?fù)四維空間，所以空間中的“長度”或“間隔”的平方不是恒正的。 不變量222222tczyxSxx1yx2zx3ictx4不變量242322212xxxxs1x2x3x4x（i）四維空間的標(biāo)量 定義：在四維空間中，如果一個物理量只需要一個量表示，而且在坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時其數(shù)值不變，則稱此物理量為四維標(biāo)量。（ii）四維空間的矢量 定義：若一個物理量有四個分量 表示，當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時，它的變化關(guān)系與坐標(biāo)的變化關(guān)系相同即 則 為一

19、四維矢量 。（iii）四維空間的張量 定義：若一個物理量由16個分量 表示，而且當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時，變化關(guān)系為則 為二階張量。26AAAATTTT276.5 麥克斯韋方程組的協(xié)變性麥克斯韋方程組的協(xié)變性 6.5.1 四維電流密度及連續(xù)性方程的協(xié)變性四維電流密度及連續(xù)性方程的協(xié)變性 由大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，帶電粒子的電荷與粒子的運(yùn)動速度無關(guān)，即電荷是不變量，因此電量q是標(biāo)量。 設(shè)電荷密度 ，則三維空間小體積元中的電荷已知 和體積元 都是不變量，因此 的變換特性與 相同。4321,xxxxdq43214321,dxdxdxdxdqdxdxdxdxdq或4321dxdxdxdx4x28 設(shè)電流密度 ，考慮在

20、 時間內(nèi)通過 面元的電量或因此 的變換特性與 的相同，同理可以證明， 的變換特性與 的相同，因此，令 （6.5.1）則 的變換特性與坐標(biāo) 的相同，根據(jù)定義， 是一四維矢量，稱為四維電流密度四維電流密度。4321,xxxxjdtdydzicdxdxdxjdydzdtjdqx4321432111dxdxdxdxjicdqdx 1j1icxijiicx icicjjjj,321jjxj29 這樣，電荷守恒定律的連續(xù)性方程可以改寫為 （2.1.13）上式是四維矢量算符與四維矢量內(nèi)乘，其結(jié)果是一標(biāo)量，因此連續(xù)性方程是洛倫茲變換的協(xié)變式，即電荷守恒定律滿足相對性原理。0tj. 0 xj306.5.2 四維勢及電磁式方程的協(xié)變性四維勢及電磁式方程的協(xié)變性 在5.1節(jié)中已知真空中的失勢 和標(biāo)勢 滿足方程 （6.5.