輸油管布置問題的優(yōu)化模型

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報

2、名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：輸油管布置問題的優(yōu)化模型摘要本文針對輸油管線的布置問題，從不同角度出發(fā)，以總費用最省為目標(biāo)函數(shù)，建立了多個優(yōu)化模型。 對問題一：分為所鋪設(shè)的管

3、線中無共用管線和有共用管線這兩種情況考慮。當(dāng)所鋪設(shè)的管線中無共用管線時，建立直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各點坐標(biāo)，分別設(shè)兩煉油廠鋪設(shè)管線的單位費用為萬元、萬元，根據(jù)與是否相等分為兩種情況來考慮：當(dāng)時，利用對稱及兩點間直線最短的原理，可以找到此種情況下的鋪設(shè)管線的最佳路徑，此時要增建的車站的位置點的坐標(biāo)為(),根據(jù)點坐標(biāo)可以求出最省的總費用為萬元。當(dāng)時，設(shè)出車站建設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)總費用等于廠鋪設(shè)的非共用管線的費用和廠鋪設(shè)的非共用管線費用之和，最終建立總費用最省的優(yōu)化模型，并利用Matlab軟件進行求解6，由于結(jié)果過于繁瑣，不加表述。當(dāng)所鋪設(shè)的管線中有共用管線時，要使鋪設(shè)管線的總費用最小，需要考慮共用管線費用

4、與各煉油廠非共用管線的費用之和最小。根據(jù)此分析，建立直角坐標(biāo)系，分別設(shè)出共用管線和非共用管線交接點及車站建設(shè)點的坐標(biāo)，同樣根據(jù)總費用最省的計算方法，建立優(yōu)化模型，運用Matlab軟件對其求解6 ，由于此處結(jié)果過于復(fù)雜，不加表述。對問題二：首先對每個公司的估算值進行加權(quán)求和，確定出附加費用。建立直角坐標(biāo)系，分別設(shè)出各點的坐標(biāo)。從費用最省的角度出發(fā)，可建立一個總費用最小的目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)題意及參考文獻5中的結(jié)論找出約束條件，由此建立單目標(biāo)的優(yōu)化模型，運用Lingo軟件求解得出此種情況下最省的總費用為282.6973萬元，且要增建車站點坐標(biāo)為(5.45,0)。從對城市規(guī)劃的影響及擾民情況方面進行分析

5、，就要使得在城區(qū)內(nèi)鋪設(shè)的管線長度最短。同樣可以建立一個總費用最少的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)分析找出約束條件，從而建立優(yōu)化模型，并用Lingo求解得出此情況下最省的總費用為283.8307萬元，要增建車站點坐標(biāo)為(4.90,0)。對問題三：首先建立直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各點坐標(biāo)。其次根據(jù)問題二的分析方法進行建模，并用Lingo求解得到鋪設(shè)管線的最省總費用為251.9685萬元，要增建車站點坐標(biāo)為(6.73,0)。通過對問題三結(jié)果的分析可以發(fā)現(xiàn)，共用管線的長度僅為0.14千米，又因為根據(jù)資料7可得，當(dāng)兩煉油廠有共用管線時且采用間歇傳送成品油時，如果兩煉油廠傳送的成品油種類不同時，會產(chǎn)生一定的混油量，而混油會造成成

6、品油價值的貶值，從而造成經(jīng)濟損失，所以可以考慮需鋪設(shè)的管線中無共用管線。通過此分析可建立一個總費用最少的目標(biāo)函數(shù)，且根據(jù)分析找出其約束條件，進而建立優(yōu)化模型，用Lingo求解可得在此種情況下的最省總費用為251.9755萬元，要增建車站點坐標(biāo)為(6.73,0)。關(guān)鍵詞：費用最省 直角坐標(biāo)系 費爾馬點 優(yōu)化模型一、問題重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。油田設(shè)計學(xué)院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。針對兩煉油廠到鐵路線距離與兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相

7、同或不同的情形。兩油廠的具體位置已確定（見題中附圖），其中廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中虛線表示。圖中個字母表示的距離（單位：千米）分別為,。設(shè)所有管線的鋪設(shè)費用均為7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需要增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進行了估算（估算結(jié)果見題目）。要求為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這是的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送廠成品油的5.6萬元/千米，輸送廠成品油的

8、6.0萬元/千米，共用管線費用為7.2萬元/千米，拆遷等附加費用同上。要求給出管線的最佳布置方案及相應(yīng)的費用。二、符號說明 表示編號為的公司估算出的附加費用。 表示編號為的公司分配到的權(quán)重。 表示加權(quán)求和后確定的每千米的附加費用。 表示鋪設(shè)管線的最少總費用。三、基本假設(shè) 1、假設(shè)油田所在區(qū)域的鐵路線為直線。 2、假設(shè)鋪設(shè)管線時是沿著所設(shè)計的路徑直線鋪設(shè)的。 3、假設(shè)鋪設(shè)管線的總費用只考慮管線鋪設(shè)費用和附加費用。 4、假設(shè)將兩個煉油廠及要增建的車站看作三個點。 5、假設(shè)油田所在區(qū)域不存在影響輸油管線線路選擇的限制區(qū)域(如國家重點文物，國家軍事設(shè)施等)。 6、假設(shè)城區(qū)內(nèi)人口分布比較均勻。四、問題分

9、析結(jié)合該油田輸油管的布置所提出的三個問題和相關(guān)要求，我們從以下幾方面進行分析和討論。對問題一要分兩種情況考慮： (1)當(dāng)鋪設(shè)的管線中無共用管線時，該問題可以轉(zhuǎn)化為一個以總費用最省為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型。在這種情況下又分別考慮兩個煉油廠單位管線的鋪設(shè)費用相同和不同兩種情形；建立出不同的優(yōu)化模型。(2)當(dāng)鋪設(shè)的管線中有共用管線時，即要考慮共用管線的鋪設(shè)費用與各煉油廠非共用管線鋪設(shè)費用之和最小，從而建立出以總費用最省為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型。對問題二：由于鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)荣M用，首先根據(jù)三家工程咨詢公司具有的資質(zhì)，對各個公司估算的附加費用分配權(quán)重，進而通過加權(quán)求和確定出每千米的附加費

10、用。從單純考慮鋪設(shè)費用最省的角度，可以建立一個總費用最省的優(yōu)化模型。又從城市的規(guī)劃與擾民情況考慮，在城區(qū)內(nèi)鋪設(shè)的管道要盡可能短，由此角度考慮，同樣可以建立另一種總費用最省的優(yōu)化模型。對問題三：問題三是問題二的細(xì)化，即給出各煉油廠非共用管線的單位鋪設(shè)價格和共用管線的單位鋪設(shè)價格。因為都是要求鋪設(shè)費用最省，且問題三只是將問題二中的費用具體化，所以問題三可按照問題二中單純考慮總費用最少的模型的分析方法，建立模型，求出最佳的鋪設(shè)方案。五、模型的建立與求解此問題需要分兩種情況考慮：一是所鋪設(shè)的管線中沒有共用管線；二是所鋪設(shè)的管線中有共用管線。首先，設(shè)兩煉油廠為和,以鐵路線所在的直線為橫坐標(biāo)軸，以垂直與鐵

11、路線且過其中煉油廠的直線為縱坐標(biāo)軸，以點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)需要增建的車站為點；設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為(,0),點坐標(biāo)為；設(shè)鋪設(shè)廠管線費用為每千米萬元，鋪設(shè)廠管線費用為每千米萬元。各點的具體表示見圖1：圖1 煉油廠與車站坐標(biāo)示意圖當(dāng)時，即鋪設(shè)費用大小只取決于兩煉油廠到車站的距離之和，要滿足鋪設(shè)費用最少，只需要滿足距離和最小即可。因此可以利用幾何知識求解出鋪設(shè)管線總費用最省的設(shè)計方案。具體步驟如下：在圖一的基礎(chǔ)上，做出點關(guān)于軸的對稱點，然后連接，與軸交于點，再連接，點即為要增建車站的位置。和即為需要鋪設(shè)的管線，如圖2：圖2 各煉油廠非共用管線的費用相同時的設(shè)計圖根據(jù)幾何知識可

12、以求得點的坐標(biāo)為()，又根據(jù)勾股定理可以求得：，根據(jù)以上分析可求得此情況下的最小費用為：，即：。則此情況下最小的總費用為萬元。當(dāng)時，結(jié)合圖一，可以將該問題轉(zhuǎn)化為在軸上尋找一點，使得的值最小。由此可建立目標(biāo)函數(shù)為：，又根據(jù)勾股定理可求得，所以該目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為： (1)對該目標(biāo)函數(shù)的約束條件分析如下：根據(jù)參考文獻5的結(jié)論可知點是落在這個區(qū)域內(nèi)的。又因為此處考慮的是無共用管線的情況，所以點一定落在這條線段上，即: (2)(2)均為未知參數(shù)。根據(jù)以上分析，可建立單目標(biāo)優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù)： (3)運用Matlab軟件對以上模型進行求解(程序6見源程序一)，由于結(jié)果過于繁瑣，不便于表達(dá)，在此不做敘

13、述。具體運用時可直接將等參數(shù)帶入模型中求解。設(shè)兩煉油廠為和，以該鐵路線所在直線為橫坐標(biāo)軸，以垂直于該鐵路線且過煉油廠的直線為縱坐標(biāo)軸，以點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)從兩個煉油廠和鋪設(shè)的管線相接于點，過點做軸的垂線，與軸相交于，則共用管線的鋪設(shè)路線即為點向鐵路線做的那條垂線，點即為要增建的車站位置。過點做與軸平行的直線交與。設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為(,0),點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為。得到圖3：圖3 有共用管線時的設(shè)計圖結(jié)合圖三，運用兩點間的距離公式可以得出：，。因為要求鋪設(shè)管線的總費用最省，即使、乘以各自的所鋪設(shè)管線的費用之和最小，由此可建立目標(biāo)函數(shù)如下： 即： (4)對于約束條件我們做了

14、以下分析：(1)根據(jù)參考文獻5的結(jié)論可知點是落在這個區(qū)域內(nèi)的。由此可得， (5) (2)均為未知參數(shù)。綜合以上分析可建立模型如下：目標(biāo)函數(shù)： (6)運用Matlab對以上模型求解(程序6見源程序二)，由于結(jié)果過于繁瑣，不便于表達(dá)，在此不做敘述。具體運用時可直接將等參數(shù)帶入模型中求解。由于被聘請的三家工程咨詢公司的資質(zhì)不一樣，即公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)。而公司具有的資質(zhì)越高，其估算的準(zhǔn)確度就越高。根據(jù)網(wǎng)上查找的大量的資料以及三家工程咨詢公司所具有的資質(zhì)，分別為三家公司分配權(quán)值為0.5、0.25、0.25。首先為每個公司編號如表1：表1 各公司編號表工程咨詢公司公司一公司二公

15、司三公司編號123根據(jù)以上分析及表1，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式求得城區(qū)中附加費用的估算值為21.5萬元/千米。 以鐵路線所在直線為軸、以線段所在的直線為軸、以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，可知點坐標(biāo)為(0,5)，點坐標(biāo)為(20,8)，點坐標(biāo)為(0,0)，點坐標(biāo)為(20,0)。在城郊分界線上取一點，在中取一點，連接、。由點向軸引垂線，垂足設(shè)為點。過點、各做一條平行于軸的直線，分別與軸交于點，與城郊分界線分別交于點和，與交于點，設(shè)城郊分界線與軸的交點為點。設(shè)點坐標(biāo)為(,)，點坐標(biāo)為(15,)，點坐標(biāo)為(,0)，點坐標(biāo)為(0,)，點坐標(biāo)為(15,)，點坐標(biāo)為(20,)，點坐標(biāo)為(15,0)，點坐標(biāo)為(15,5)，

16、作出圖4：圖4 管線鋪設(shè)概況示意圖則、兩點為兩煉油廠的位置。由于鋪設(shè)在城區(qū)的管線需要增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，且此費用與管線的鋪設(shè)費用相差較大，從節(jié)省費用的角度出發(fā)，可以在城郊分界線上找出點，并在中找到一點，使得煉油廠鋪設(shè)管線的總費用最小。即為煉油廠需要鋪設(shè)的非共用管線的長度，即為煉油廠在城區(qū)內(nèi)需要鋪設(shè)的非共用管線的長度，即為煉油廠在郊區(qū)內(nèi)需要鋪設(shè)的非共用管線的長度，即為所需鋪設(shè)的共用管線的長度，點即為所需增建的車站的位置。設(shè),，結(jié)合上圖，根據(jù)兩點間的距離公式可以求得,。從節(jié)省費用的角度出發(fā)，結(jié)合題目中給出的鋪設(shè)管線的費用及附加費用，建立目標(biāo)函數(shù)如下：即：(7)對約束條件我們做了以下分析：

17、根據(jù)參考文獻5中的結(jié)論可知點是落在這個區(qū)域內(nèi)的，結(jié)合圖四得： ， (8)由上圖可得大于等于點到軸的最短距離，大于等于點到城郊分界線的最短距離，大于等于點到的最短距離。即: ， (9)綜合以上分析，可建立單目標(biāo)優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù)： (10) 運用Lingo軟件對此模型進行求解(程序見源程序三)，可得（原始結(jié)果見附錄一）：，即鋪設(shè)管線的最省總費用為282.6973萬元，交接點的坐標(biāo)為(5.45,1.85)，城區(qū)管線和郊區(qū)管線的交接點的坐標(biāo)為(15,7.37)，要增建車站點坐標(biāo)為(5.45,0)。具體位置見圖5：圖5 單純從總費用最省考慮的管線鋪設(shè)方案圖由于在城區(qū)中鋪設(shè)管線時需要進行拆遷，會影響

18、到市民的生活以及城市的規(guī)劃。從這個角度出發(fā)，應(yīng)盡量減少對市民生活及城市規(guī)劃的影響。所以城區(qū)內(nèi)鋪設(shè)管線的長度應(yīng)該盡可能的短，這時點應(yīng)為由點出發(fā)向城郊分界線做垂線的垂足，即點坐標(biāo)為(15,8)，即。在此種情況下，因為要求鋪設(shè)管線的總費用最少，可建立目標(biāo)函數(shù)如下: (11)對于約束條件的分析跟編號為(10)的約束條件相同。由此可建立模型如下：目標(biāo)函數(shù)： (12) 運用Lingo軟件對此模型求解(程序見源程序四)，可得(原始結(jié)果見附錄二)：，即：在此種情況下，鋪設(shè)管線的最省總費用為283.8307萬元，交接點的坐標(biāo)為(4.90,2.17)，城區(qū)管線和郊區(qū)管線的交接點的坐標(biāo)為(15,8)，要增建車站點坐

19、標(biāo)為(4.90,0)。具體坐標(biāo)位置如圖6：圖6 從城市規(guī)劃及擾民情況分析的管線鋪設(shè)方案圖 問題三是問題二的細(xì)化，即給出各煉油廠非共用管線的單位鋪設(shè)價格和共用管線的單位鋪設(shè)價格。因為都是要求鋪設(shè)費用最省，且問題三只是將問題二中的費用具體化，所以問題三可按照問題二的分析方法求解，結(jié)合題意及以上分析，可以建立目標(biāo)函數(shù)如下： (13)對此問題約束條件的分析與問題二中的模型的約束條件相同。由此可建立單目標(biāo)優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù): (14) 運用Lingo軟件對以上模型求解(程序見源程序五)，可得(原始結(jié)果見附錄三)：，即鋪設(shè)管線的最省總費用為251.9685萬元，交接點的坐標(biāo)為(6.73,0.14)，城

20、區(qū)管線和郊區(qū)管線的交接點的坐標(biāo)為(15,7.28)，要增建車站點坐標(biāo)為(6.73,0)。具體位置如圖7：圖7 輸油管線鋪設(shè)方案圖 根據(jù)資料7可得，當(dāng)兩煉油廠有共用管線時且采用間歇傳送成品油時，如果兩煉油廠傳送的成品油種類不同時，會產(chǎn)生一定的混油量，而混油會造成成品油價值的貶值，從而造成經(jīng)濟損失。又因為=0.14千米，即共用管線的鋪設(shè)長度較短，從長遠(yuǎn)的角度考慮，鋪設(shè)的管線中無共用管線較為合適，即的時候，此時。又因為要求總費用最省，可建立目標(biāo)函數(shù)如下： (15)對約束條件的分析和編號為(14)的模型的約束條件相同。由此可建立模型如下：目標(biāo)函數(shù)： (16)運用Lingo軟件對此模型求解(程序見源程序

21、六)，可得(原始結(jié)果見附錄四)：，即：在此種情況下的最省總費用為251.9755萬元，交接點的坐標(biāo)為(6.73,0)，城區(qū)管線和郊區(qū)管線的交接點的坐標(biāo)為(15,7.27)，要增建車站點坐標(biāo)為(6.73,0)。具體坐標(biāo)見圖8：圖8 從長遠(yuǎn)方面考慮的管線鋪設(shè)方案圖六、模型的評價6.1模型的優(yōu)點： (1)問題一從共用管線和非共用管線兩種情況考慮建立模型，考慮的比較充分，并且所建立的模型具有一定的普適性，可以應(yīng)用到選址問題的求解。 (2)合理地引入直角坐標(biāo)系，使問題的理解和處理變得更加容易。 (3)問題一模型求解時運用了Matlab軟件，問題二，問題三模型求解時運用了Lingo軟件，使結(jié)果變得更加合理科學(xué)。6.2模型的缺點： (1)問題一用Matlab求解出的結(jié)果過于繁瑣，不便于表述。 (2)對于問題二，利用權(quán)重確定附加費用的值，帶有一定的主觀性。七、參考文獻1