附錄A平面圖形的幾何性質

1、附錄附錄 A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質A. .1 形心和靜矩形心和靜矩A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑A. .3 平行移軸定理平行移軸定理A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩材料力學材料力學平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質 反映平面圖形的反映平面圖形的形狀形狀與與尺寸尺寸的的幾何量幾何量附錄附錄A A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質NF A NElFl A如：如：本章介紹：本章介紹： 平面圖形幾何性質的平面圖形幾何性質的定義定義、計算方法計算方法和和性質性質 T pI GTl p I1. .在軸向拉（壓）中：在軸向拉（壓）中：2. .在扭

2、轉中：在扭轉中：A. .1 形心和靜矩形心和靜矩一、靜一、靜矩矩二、形心二、形心三、組合圖形的靜矩和三、組合圖形的靜矩和形心形心四、靜矩的性質四、靜矩的性質附錄附錄A A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質一、靜一、靜矩矩A. .1 形心和靜矩形心和靜矩整個圖形整個圖形 A 對對 x 軸的靜矩：軸的靜矩：整個圖形整個圖形 A 對對 y 軸的靜矩：軸的靜矩：ydA微面積微面積 dA 對對 x 軸的靜矩軸的靜矩xdA微面積微面積 dA 對對 y 軸的靜矩軸的靜矩定義：定義：（面積矩）（面積矩）其值：其值：+ +、- -、0 單位：單位：m3 AxAySd AyAxSdxyOAydAx 討論水平面

3、的一塊均質薄討論水平面的一塊均質薄板重心與形心重合，通過板重心與形心重合，通過求重心的方法來求形心求重心的方法來求形心dAxt AAtx設板厚度為設板厚度為t，單位體積重為，單位體積重為 ，O-xy平面為水平面。平面為水平面。xyOdAxy設形心為設形心為C根據(jù)合力矩定理，有根據(jù)合力矩定理，有：dAt x AAt x dyAAxx AS dxAAyy AS同理或寫成或寫成C(xc)(yc)xydyAx ASxAA= xcdxAy ASyAA=yc舉例舉例求半徑為求半徑為 r 的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸 y 的靜矩及其形心坐標的靜矩及其形心坐標0Cy 3223423yCSrrzAr0z

4、S 22d2dArzz解解:z 軸是對稱軸，軸是對稱軸， 通過形心。通過形心。dyASz A2202rzrz dz323rzdzdA22zr yzro三、組合圖形的三、組合圖形的靜矩和形心靜矩和形心 組合圖形組合圖形由幾個簡單圖形由幾個簡單圖形（如矩形、圓形等）（如矩形、圓形等） 組成組成的平面圖形的平面圖形如：如：A. .1 形心和靜矩形心和靜矩1. .靜矩靜矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC A. .1 形心和靜矩形

5、心和靜矩四、四、靜矩的性質靜矩的性質形心軸形心軸 圖形對形心軸的靜矩為零圖形對形心軸的靜矩為零xSyS0 CyA CxA 0 通過圖形形心的坐標軸通過圖形形心的坐標軸反之，反之，圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸xyOACxyCc 性質性質 1 ：0 Cx0 CyA. .1 形心和靜矩形心和靜矩2002003030ASyxC 例例 1 確定形心坐標確定形心坐標mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 2211yAyA 21AA x（參考軸）yyCC解：解： 取參考坐標系取參考坐標系 xyA. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性

6、積 慣性半徑慣性半徑一、一、慣性矩與慣性積慣性矩與慣性積二、慣性二、慣性矩與極慣性矩的關系矩與極慣性矩的關系附錄附錄A A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質三、慣性積的性質三、慣性積的性質四、慣性半徑四、慣性半徑一、慣性一、慣性矩與慣性積矩與慣性積A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑整個圖形整個圖形 A 對對x 軸的慣性矩軸的慣性矩整個圖形整個圖形 A 對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩y2dA微面積微面積 dA 對對 x 軸的慣性矩軸的慣性矩x2dA微面積微面積 dA 對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩定義：定義：其值其值：+ + 單位單位：m4 AxAyId 2 AyAxI

7、d2xyOAydAx1. .慣性矩慣性矩整個圖形整個圖形 A 對對 x 軸和軸和 y軸的慣性積軸的慣性積定義：定義： xydA微面積微面積 dA 對對 x 軸和軸和 y 軸的慣性積軸的慣性積 的坐標軸的坐標軸其值：其值：+ +、- -、0 單位：單位：m4 AxyAxyId假設：假設： x 軸和軸和 y 軸為一對軸為一對相互垂直相互垂直一、慣性一、慣性矩與慣性積矩與慣性積2. .慣性積慣性積xyOAydAxA. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑二、慣性二、慣性矩與極慣性矩的關系矩與極慣性矩的關系即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面圖形對平面圖形對

8、任意一點任意一點的極慣性矩的極慣性矩等于等于該圖形對通過該圖形對通過該點的任意一對該點的任意一對相互垂直相互垂直的坐標軸的慣性矩的坐標軸的慣性矩之和之和 性質性質 2 ：xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 軸為一對軸為一對正交正交坐標軸坐標軸A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑1.1. 矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用圖形的慣性矩：常用圖形的慣性矩：A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑2.

9、 圓形截面圓形截面D324D pIIIyx 由對稱性由對稱性 yxII 21pI 444416464 DdD 644D 3. 環(huán)形截面環(huán)形截面dxyO p21 IIIyxA. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑2dxAIyAniAxiI1121222dddnnA AAAAAyAyAyA即，各個分面積對某軸的慣性矩之和等于它們的組合截面對同一軸的慣性矩。 1 inAyyiII同理，niAxyxyiII1 三、慣性三、慣性積的性質積的性質當當 x 、 y 軸中軸中有一軸為對稱軸有一軸為對稱軸xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi2

10、10lim0 xyA xyA - 在一對正交軸中，只要在一對正交軸中，只要有一個對稱軸有一個對稱軸，則該圖形，則該圖形對這對軸的對這對軸的慣性積為零慣性積為零。 性質性質 3 ：A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑 慣慣 性性 矩矩對對某一軸某一軸而言而言 極慣性矩極慣性矩對對某一點某一點而言而言特別指出：特別指出： 慣慣 性性 積積對對某一對正交軸某一對正交軸而言而言A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑圖形對圖形對 x 軸的軸的慣性慣性半徑半徑 單位：單位： mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 慣性半徑慣性半徑 在力學計算中

11、，有時把在力學計算中，有時把慣性矩慣性矩寫成寫成即：即：圖形對圖形對 y 軸的軸的慣性慣性半徑半徑A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑注意：注意：試問：試問：即：即：? Cxyi ? d 222CxAxyAiAAyI Cxyi Cyxi A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑A. .3 平行軸定理平行軸定理一、定理推導一、定理推導二、應用二、應用附錄附錄A A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質A. .3 平行軸公式平行軸公式一、定理推導一、定理推導yOAxCdAyxxccybacyxcbxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACA

12、ayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即： 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 顯然：顯然：性質性質 3：在平面圖形對所有相互平行的坐標軸的慣性矩在平面圖形對所有相互平行的坐標軸的慣性矩 中，以對形心軸的慣性矩為最小。中，以對形心軸的慣性矩為最小。同理同理慣性矩和慣性積的平行軸定理慣性矩和慣性積的平行軸定理yOAxCdAyxxccybacyxcA. .3 平行軸公式平行軸公式解：解： ccczzzIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 IIIa1a2yC1yC22002003030yCc

13、zc157.512302003 47mm 1003. 2 42mm 302005 .57 12 1AIIccyy 1a47mm 1098. 3 22 2AIIccyy 2a cccyyyIII47mm 1001. 6 cyIczI例例 1 求求 和和A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩一、公式推導一、公式推導二、主慣性矩二、主慣性矩附錄附錄A A 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩一、公式推導一、公式推導規(guī)定：規(guī)定： 角逆時針轉向為角逆時針轉向為 + xyOdAyxA sincos1yxx 兩組坐標系之間的關系：兩組坐標系之間的關系：

14、sincos1xyy 代入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111x1y1x11y 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y一、公式推導一、公式推導規(guī)定：規(guī)定： 角逆時針轉向為角逆時針轉向為 + 兩組坐標系之間的關系：兩組坐標系之間的關系：A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩顯然顯然 11yxyxIIII const pI xyOdAyxA x1y1x11y 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2c

15、os22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩顯然顯然const pI 性質性質5：平面圖形對通過一點的任意一對正交軸的兩個平面圖形對通過一點的任意一對正交軸的兩個 慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點的極慣慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點的極慣 性矩。性矩。xyOdAyxA x1y1x11y 11yxyxIIII A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩二、主慣性矩二、主慣性矩 1. .定義定義主慣性軸主慣性軸慣性積為零的一對坐標軸，慣性積為零的一對坐標軸，簡稱簡稱主軸主軸主慣性矩主慣性矩圖形對

16、主慣性軸的慣性矩圖形對主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸形心主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩形心主慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩性質性質6：圖形的對稱軸是形心主慣性軸圖形的對稱軸是形心主慣性軸A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩2. .主慣性軸的方位主慣性軸的方位 設主慣性軸的方位為設主慣性軸的方位為 0，對應的坐標軸為，對應的坐標軸為 x0、y0令令得到得到02cos2sin20000 xyyxyxIIII 22tg 0yxxyIII A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩3. . 主慣性矩主慣性矩因因故故 22tg 0

17、yxxyIII xyxyxyxy220 220422sinxyyxxyIIII 22042cosxyyxyxIIIII 有有 4)(212 2200 xyyxyxyxIIIIIII A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩4. .主慣性矩的性質主慣性矩的性質 當當Ix1取極值時，取極值時，對應對應的方位為的方位為 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin)( xyyxIIIyxxyIII 22tg1 02tg 即：即：01 性質性質7：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個為極大慣性主慣性矩為極值慣性矩，其中一個為極大慣性 矩矩Imax，另一個為極小慣性矩，另一個為極小慣性矩Imi

18、n。令令 A. .4 轉軸公式轉軸公式 主慣性矩主慣性矩解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。yz120108010IIIC zcyycz_212211AAyAyAy cm 171215 . 4175 . 0121 cm 97. 1 212211AAzAzAz cm 171215 . 0176121 cm 97. 3 1. .確定確定形心位置形心位置解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI1211AaIICCyy 12197. 361212123 45.193 4cm2222AaIICCyy 715 . 097. 3121723 87.84 4cm 32.278 CCCyyyIII4cm解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI CCCzzzIII22212121AbIAbICCzz 1215 . 097. 11211223 7197. 15 . 4127123 4cm 32.100 解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。