運籌學案例研究報告

1、運籌學小組報告對大氣污染問題的研究課程名稱 :管理運籌學小組案例研究報告 大氣污染問題的研究（修改版）小組成員：提交日期:2013年6月29日目錄一、問題回顧2二、模型建立62.1問題分析62.2 變量設定72.3 目標函數(shù)的設立72.4 約束條件的確立8三 模型求解及分析83.1求解過程83.2 問題的進一步分析9四、改進與總結(jié)24一、問題回顧控制大氣污染問題 N&L公司是一家全球著名的鋼鐵制造商，位于鋼鐵之城。該公司目前雇用了50，000名員工，是當?shù)氐闹饕獎趧恿陀谜?，因此整個城市都因這家公司而繁榮與發(fā)展起來，這里人們也一直都認為凡是對公司有利的必然對整個城市有利。但是現(xiàn)在人們的觀點發(fā)生

2、了一定的變化：公司鍋爐中排放出的氣體因未加治理，正破壞著城市的風貌并日益危及著城市居民的身體健康。 最近的一次股民選舉產(chǎn)生了一個較為英明的新董事會，其中的董事成員正與城市官員和居民討論如何處理空氣污染的問題，他們一起制定出了很嚴格的大氣排放質(zhì)量標準。 所排放的污染氣體中，三種主要的成分是：大氣微塵、氧化硫和碳氫化合物。新制定的排放氣體質(zhì)量標準要求公司降低這些污染氣體的排放量，具體要求如下表所示。污染氣體要求每年排放減少量（百萬磅）大氣微塵氧化硫碳氫化合物60150125董事會已經(jīng)指示公司的管理人員召集工程人員，用最經(jīng)濟的方法降低污染氣體的排放量。公司的污染氣體主要來自于兩個方面，一是鑄生鐵的鼓

3、風爐，一是煉鋼的敞口式反射爐。在這兩方面，工程師都認為最有效的降低污染的方法是(1)增加煙囪的高度，(2)在煙囪中加入過濾裝置，(3)在燃料中加入清潔的高級燃料。三種方法都有其技術(shù)限制(例如，煙囪可增加的高度是有限的)，但可以考慮在各自的技術(shù)限制內(nèi)，采取一定程度的措施。 下表顯示了在技術(shù)允許的范圍內(nèi)，最大限度的使用各種方法可以降低兩個爐子污染氣體的排放量。運用各種降污方法最大限度可減少的每種污染氣體的年排放量 增加煙囪高度 加入過濾裝置 加入高級燃料 污染氣體 鼓風爐 反射爐 鼓風爐反射爐 鼓風爐 反射爐 大氣微塵 氧化硫 碳氫化合物 12 35 37 9 42 53 25 18 28 20

4、31 24 17 56 29 13 49 20為了方便分析，假設各種方法也可以在技術(shù)允許的范圍內(nèi)，采取一部分程度的實施，從而達到一定程度的減少污染氣體的效果。此外，各種方法在兩個爐子上的實施比例可以不同，且在效果上也是互不影響的。在分析了上面的數(shù)據(jù)之后，可以發(fā)現(xiàn)，沒有一種方法可以實現(xiàn)全部的降污要求，而另一方面，在兩個爐子上都同時最大限度的使用各種方法的組合，會超額完成降污任務，但這樣做的費用是昂貴的，不利于公司的產(chǎn)品保持競爭力。因此，工程師認為，應該在考慮各種方法的成本與效益的基礎上，合理的組合各種方法。此外，因為兩個爐子的情況并不相同，所以針對兩個爐子的治理方法也將不同。實施分析每種方法的一

5、年總成本，該成本包括運營和維護費用，以及因為使用降污方法而致使生產(chǎn)效率降低，進而減少了的收入。此外，最大的成本是安裝設備的啟動成本。為了使一開始的啟動成本與今后的年成本可以相互比較，必須考慮貨幣的時間價值，將年成本折現(xiàn)。 這樣可以生成下面的數(shù)據(jù)表，該表表示的是最大限度的使用各種方法估計的年成本。并且，各種方法的使用成本與可獲得的降污能力是成比例的，也就是說，要取得一定比例的降污效果，所實施方法的成本在總成本中占同樣的比例。最大限度的使用各種方法估計的年成本(百萬美元)污染氣體 鼓風爐 反射爐大氣微塵氧化硫碳氫化合物 8 7 11 lO 6 9 現(xiàn)在，可以制定出降污規(guī)劃大致的框架了，即這一規(guī)劃必

6、須確定在兩個爐子上，使用哪幾種方法，每種方法的實施程度。 假設，你被任命為管理科學小組的組長，管理層要求你以最小的成本實現(xiàn)降低各種污染氣體的年排放量要求。a 描述該線性規(guī)劃問題的各個組成部分。b 在電子表格上建模。c 求得最優(yōu)解并產(chǎn)生靈敏度報告。 現(xiàn)在，管理層希望能在你的幫助之下，進行一些whatif分析。因為管理層對這幾種治理方法都沒有經(jīng)驗。所以各種方法的成本只是一個大致的估計，實際值可能在10的范圍內(nèi)。此外，第二個表格的數(shù)據(jù)也還存在一些不確定性，盡管這些不確定性或許比第三個表格中的要小一些。第一個表格中的數(shù)據(jù)是政策標準，但是，這些數(shù)據(jù)是在不知道成本的情況下確定的一些暫時性的數(shù)值，公司與政府

7、的官員都認為，應該在成本與收益分析的基礎上來確定最終的決策。政府官員估算出如果將每一張表中的政策標準增加10，對整個城市的價值是$3，500萬。因此，政府決定，公司每提高10的降污標準(表中的所有數(shù)據(jù)，直到50)，將可獲得$3，500，000的降稅。 最后，對政策標準中各種污染氣體的相對值還存在一點分歧，如表一所示，要求減少的大氣微塵的數(shù)量還不到其他兩種的一半，因此，有些人提出，是否減少這一差距。而另一些認為應該增大差距，因為氧化硫和碳氫化合物的危害比大氣微塵大得多。最后，人們同意在獲得最優(yōu)的成本收益平衡解之后，再對這一點探討一下，增加一種污染氣體的數(shù)量同時減少另一種，看看會有怎樣的影響。 d

8、判斷線性規(guī)劃模型中哪些系數(shù)是敏感系數(shù)，并說明哪些系數(shù)，如果可能的話，應該作進一步精確的估計。 e分析第三張表中的成本參數(shù)如果不準確的話，會造成怎樣的影響，如果實際值比計值少10，是否會影響最優(yōu)解?實際值比估計值多10，又將如何?為進一步的參數(shù)估計工作提出建議。 f對于每一種污染氣體，求出所要求排放減少量的微小變動會引起的成本的變化量排放減少量在多大的范圍內(nèi)變動，成本變化量會保持不變? g在保持總成本不變的前提下，政策中大氣微塵標準的每一單位的變動，可能會引起氧化硫排放標準多大的變動，又或者會引起碳氫化合物排放標準多大的變動?如果氧化硫和碳氫化合物同時因此而變動，且兩者變動的幅度相同，該變動的幅

9、度又是多少? h假設以表示每一張表中標準的增加百分比，=10，20，30，40，50，分別求出該修正的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解?？紤]稅收上的優(yōu)惠，管理者將會選擇那一個？ i根據(jù)上面計算出的，生成靈敏度報告，并重復f和g的分析，為污染標準中三種氣體的相對量作出最終的決策。-在本次研究之后，這一方法引起了人們的爭議。因為，增加煙囪的高度，只不過是通過將污染的范圍擴大而減少近距離的污染。環(huán)境專家認為，硫化物長久的留在大氣中極易引起酸雨。最后，美國的環(huán)境保護協(xié)會制定新的規(guī)則，規(guī)定不許使用增加煙囪高度的方法來減少污染。二、模型建立2.1問題分析 此問題是在滿足政策要求的降污標準的情況下尋找成本最小的線性規(guī)劃

10、問題，經(jīng)過對案例的分析，從中提取為建立模型的有用數(shù)據(jù)如下：降污排放量具體要求：污染氣體要求每年排放減少量（百萬磅）大氣微塵氧化硫碳氫化合物60150125運用各種降污方法最大限度可減少的每種污染氣體的年排放量：污染氣體增加煙囪高度加入過濾裝置加入高級燃料鼓風爐反射爐鼓風爐反射爐鼓風爐反射爐大氣微塵12925201713氧化硫354218315649碳氫化合物375328242920最大限度的使用各種方法估計的年成本(百萬美元)：污染氣體 鼓風爐 反射爐大氣微塵氧化硫碳氫化合物 8 7 11 lO 6 92.2 變量設定設六個決策變量（j=1.26），每一決策變量分別表示三種除污方法對應鼓風爐和

11、反射爐的使用程度，即降污方法的應用比例（01）降污方法鼓風爐反射爐增加煙囪高度X1X2加入過濾裝置X3X4加入高級燃料X5X62.3 目標函數(shù)的設立經(jīng)過分析可知，為降低大氣微塵，在鼓風爐上所需花費為（百萬美元）：8/(12+25+17)*(12X1+25X3+17X5)，其中8為充分使用各種方法所需花費，12、25、17分別為完全使用三種方法使得大氣微塵減少的排放量。同理可得，為減少氧化硫，在鼓風爐上的花費為：7/（35+18+56）*（35X1+18X3+56X5）為減少碳氫化合物，在鼓風爐上的花費為：11/(37+28+29)*(37X1+28X3+29X5)同樣，為減少大氣微塵，在反射爐

12、上的花費為：10/(9+20+13)*(9X2+20X4+13X6)為減少氧化硫，在反射爐上的花費為：6/(42+31+49)*(42X2+31X4+49X6)為減少碳氫化合物，在反射爐上的花費為：9/(53+24+20)*(53X2+24X4+20X6)綜上，令總成本為Z（百萬美元），為使成本最小化，建立的模型為：MinZ=8/(12+25+17)*(12X1+25X3+17X5)+10/(9+20+13)*(9X2+20X4+13X6)+7/（35+18+56）*（35X1+18X3+56X5）+6/(42+31+49)*(42X2+31X4+49X6)+11/(37+28+29)*(37

13、X1+28X3+29X5)+9/(53+24+20)*(53X2+24X4+20X6)2.4 約束條件的確立排放減少量的政策約束:技術(shù)約束:1，j=1,2，6非負約束:0，j=1,2，6三 模型求解及分析3.1求解過程將模型化簡后，利用EXCEL對該線性規(guī)劃問題進行求解，過程如下：求解結(jié)果如下：當X1=0.057329353 X2=1X3=0.991296868 X4=0X5=1 X6=0.656125082時求得最優(yōu)解Min Z=31.82143068靈敏度報告為：3.2 問題的進一步分析d、判斷線性規(guī)劃模型中哪些系數(shù)是敏感系數(shù)，并說明哪些系數(shù)，如果可能的話，應該作進一步精確的估計。為了測試

14、敏感度，我們將右端常數(shù)值分別增加5%和減少5%，考察右端常數(shù)變化后對最終結(jié)果是否有顯著的影響，計算結(jié)果如下表：增加5%最小費用值減少5%最少費用值大氣微塵6332.739925731.37458氧化硫157.532.29302142.531.59341碳氫化合物131.2532.55373118.7531.23213綜合上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，碳氫化合物的變動對最優(yōu)解的影響最大，所以碳氫化合物的約束系數(shù)是相對敏感的系數(shù)。e分析第三張表中的成本參數(shù)如果不準確的話，會造成怎樣的影響，如果實際值比估計值少10，是否會影響最優(yōu)解?實際值比估計值多10，又將如何?為進一步的參數(shù)估計工作提出建議。針對第三張表中

15、的成本參數(shù)，我們逐個重新進行核算，假設某個參數(shù)存在10%的估計誤差而其他成本參數(shù)都估計準確，分析此時對最優(yōu)解的影響。在此我們分別針對實際值比估計值多10%和少10%的情況分別計算，結(jié)果如下表：實際值比估計值多10%的情況：成本改變量（單個增加10%）新最優(yōu)解原最優(yōu)解變化值8改為8.8X1X2X3X4X5X60.0790816331100.8903061220.7627551020.05732935310.991296868010.6561250820.217522800.0087031320-0.1096938780.10663002影響：降污方法使用不變，比例有所微調(diào)，鼓風爐煙囪高度增加0.

16、22，反射爐的不變，過濾裝置增加0.0087，反射爐的不變，高級燃料鼓風爐的減少0.1097，反射爐的增加0.1066.10改為11X1X2X3X4X5X60.05732935310.991296868010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變7改為7.7X1X2X3X4X5X60.0790816331100.8903061220.7627551020.05732935310.991296868010.6561250820.0217522800.0087031320-0.1096938780.106633002影響

17、：降污方法使用不變，比例有所微調(diào)，鼓風爐煙囪高度增加0.22，反射爐的不變，過濾裝置增加0.0087，反射爐的不變，高級燃料鼓風爐的減少0.1097，反射爐的增加0.1066.6改為6.6X1X2X3X4X5X60.05732935310.991296868010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變11改為12.1X1X2X3X4X5X60.0790816331100.8903061220.7627551020.05732935310.991296868010.6561250820.0217522800.00870

18、31320-0.1096938780.106633002影響：降污方法使用不變，比例有所微調(diào)，鼓風爐煙囪高度增加0.22，反射爐的不變，過濾裝置增加0.0087，反射爐的不變，高級燃料鼓風爐的減少0.1097，反射爐的增加0.1066.9改為9.9X1X2X3X4X5X60.05732935310.991296868010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變實際值比估計值少10%的情況：成本改變量（單個減少10%）新最優(yōu)解原最優(yōu)解變化值8改為7.2X1X2X3X4X5X60.05732935310.99129686

19、8010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變。10改為9X1X2X3X4X5X60.131840091110.0351573580.63028069210.05732935310.991296868010.6561250820.07451073800.0087031320.035157358-0.3697193080.343874918影響：降污方法有所改變，比例有所微調(diào)。鼓風爐煙囪高度增加0.07，反射爐的不變，過濾裝置增加0.009，反射爐的增加0.04，高級燃料鼓風爐的減少0.3697，反射爐的增加0.344

20、。7改為6.3X1X2X3X4X5X60.05732935310.991296868010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變。6改為5.4X1X2X3X4X5X60.131840091110.0351573580.63028069210.05732935310.991296868010.6561250820.07451073800.0087031320.035157358-0.3697193080.343874918影響：降污方法有所改變，比例有所微調(diào)。鼓風爐煙囪高度增加0.07，反射爐的不變，過濾裝置增加0.0

21、09，反射爐的增加0.04，高級燃料鼓風爐的減少0.3697，反射爐的增加0.344。11改為9.9X1X2X3X4X5X60.05732935310.991296868010.6561250820.05732935310.991296868010.656125082000000影響：不改變。9改為8.1X1X2X3X4X5X60.131840091110.0351573580.63028069210.05732935310.991296868010.6561250820.07451073800.0087031320.035157358-0.3697193080.343874918影響：降污方

22、法有所改變，比例有所微調(diào)。鼓風爐煙囪高度增加0.07，反射爐的不變，過濾裝置增加0.009，反射爐的增加0.04，高級燃料鼓風爐的減少0.3697，反射爐的增加0.344。所以對于影響較大的參數(shù)應做進一步精確的估計。f. 對于每一種污染氣體，求出所要求排放減少量的微小變動會引起的成本的變化量。排放減少量在多大范圍內(nèi)變動，成本變化量會保持不變？單位：百萬美元 污染氣體成本變化量允許的增量允許的減量大氣微塵0.1490.15517.602氧化硫0.0638.3310.714碳氫化合物0.11718.7991.143g. 在保持總成本不變的前提下，政策中大氣微塵標準的每一單位變動，可能會引起氧化硫排

23、放標準多大的變動，又或者會引起碳氫化合物排放標準多大的變動？如果氧化硫和碳氫化合物同時因此而變動，且兩者變動的幅度相同，該變動的幅度又是多少？1）大氣微塵和氧化硫每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.149百萬美元。每增加一單位氧化硫的減排量，成本將增加0.063百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵的減排量，氧化硫的減排量會減少0.149/0.063=2.365單位。2）大氣微塵和碳氫化合物每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.149百萬美元。每增加一單位氧化硫的減排量，成本將增加0.117百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵的減排量，碳

24、氫化合物的減排量會減少0.149/0.117=1.274單位。3）大氣微塵和氧化硫與碳氫化合物每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.149百萬美元。每同時增加一單位的氧化硫和大氣微塵的減排量，成本會增加0.063+0.117=0.18百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵減排量，氧化硫和碳氫化合物每個減少0.149/0.18=0.828單位。h. 假設以表示每一張表中標準的增加百分比，=10，20，30，40，50，分別求出該修正的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解?？紤]稅收上的優(yōu)惠，管理者將會選擇那一個？利用EXCEL對原始數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：當=10時，利用EXCEL對更

25、改后數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：當=20時，利用EXCEL對更改后數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：當=30時，利用EXCEL對更改后數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：當=40時，利用EXCEL對更改后數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：當=50時，利用EXCEL對更改后數(shù)據(jù)進行求解所得結(jié)果如下：將結(jié)果匯總對比得：010203040500.0573290.601272111110.8282770.7337870.8506230.96746010.99129611111000.0624740.2553120.4481510.8541661111110.6561250.7177100.7804940.8644710.9484

26、48131.8214335.3058638.820742.3455745.8704550.42196稅收優(yōu)惠03.57.010.51417.531.8214331.8058631.820731.8455731.8704532.92196通過上表可以看出，當政策標準的排放減少量的增加百分比為=10時，同時考慮到稅收上的優(yōu)惠，企業(yè)可以實現(xiàn)最小的實際總成本，Z=31.80586百萬美元。i根據(jù)上面計算出的，生成靈敏度報告，并重復f和g的分析，為污染標準中三種氣體的相對量作出最終的決策。當政策標準的排放減少量的增加百分比為=10時，靈敏度報告為：對于每一種污染氣體，影子價格：大氣微塵為0.314699

27、976，氧化硫為0.026988062，碳氫化合物為0.097361478，即排放減少量的微小變動會引起的成本的變化量。使得成本變化量保持不變的排放減少量變化范圍：見下表，例如x1從可以減少0.558450147到可以增加0.025129671；x2可以減少0.047451923到可以增加1.065387133。變量值允許的增量允許的減量X10.0251496710.558450147X21.0653871330.047451923X32.9431431231E+30X41E+300.076921994X50.3614332671E+30X62.8596015080.405917361影子價格

28、：大氣微塵為0.314699976，氧化硫為0.026988062，因此大氣微塵每一單位的變動，氧化硫排放標準變化0.026988062/0.314699976=0.085758單位；影子價格：大氣微塵為0.314699976，碳氫化合物為0.097361478，因此大氣微塵每一單位的變動，碳氫化合物排放標準變化0.097361478/0.314699976=0.309379單位；如果氧化硫和碳氫化合物同時變且幅度相同，則變動的幅度為：（0.026988062+0.097361478）/0.314699976=0.395137單位。因為求得的最優(yōu)解為：名字終值大氣微塵 減少的排放量66氧化硫 減少的排放量165碳氫化合物 減少的排放量137.5而大氣微塵增加一單位，在總成本不變的前提下，氧化硫和碳氫化合物同時變且幅度相同為減少0.395137單位，因此如果考慮相對值，可以減少大氣微塵與其他二者的差距