基于有限元法的振動分析 鄭佳文

1、明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行基于有限元法的振動分析基于有限元法的振動分析陜西理工學院陜西理工學院 機械工程機械工程 鄭佳文鄭佳文1明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行內(nèi)容n 有限元法簡介n 一維單元 桿單元 梁單元n 二維單元與平面問題的有限元法 三角形單元 矩形單元 等參單元n 平面問題的有限元法2明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行有限元法簡介 有限元法是一種可用于精確地(但近似)解決許多復雜的振動問題的數(shù)值方法。 對于基本的一維元素進行有限元分析，能得到質(zhì)量矩陣與剛度矩陣和所需的力矢量，對于二維三維，元素矩陣會轉(zhuǎn)換成相關(guān)的更高維的空間。使用一致的和集中質(zhì)量矩陣的有限元方程并

2、結(jié)合邊界條件能為復雜系統(tǒng)提供解釋。3明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行當用有限元法來分析時，將梁分解成為梁單元，將各單元相鄰的節(jié)點處的彈性位移（橫向彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角）作為問題中的位置量。 列子4單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣集合系統(tǒng)質(zhì)量矩陣系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M系統(tǒng)剛度矩陣系統(tǒng)剛度矩陣K 梁的有限元模型明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行有限元基本思想講一個連續(xù)彈性體看成是由若干個基本單元在節(jié)點彼此相連的組合體；由于單元較小，允許對位移分布規(guī)律做出某種假設(shè)，基于這一簡化假定，回避了彈性力學中的微分方程組難以求解的困難；從而使這一無限自由的連續(xù)體問題變成一個有限自由度的離散系統(tǒng)

3、問題。5明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行一維單元一 桿單元 一個桿單元是從桿上劃分出的一個小段，如下圖所示。由于單元很小，、A均視為常量?，F(xiàn)在就以這最簡單的桿單元，推導出它的質(zhì)量、剛度矩陣，等效節(jié)點力。6圖1.2明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行)()(),(2211tututxu7(1) 求桿單元上任意點的位移u(x,t)本來，桿單元上任意點的位移u(x,t)與節(jié)點的位移u1(t)、u2(t)之間的關(guān)系是未知的，但是，只要單元劃分的足夠小，那么其間的關(guān)系就無關(guān)大局。所以可以假定它們之間有簡單的線性關(guān)系，即根據(jù)節(jié)點位移對單元內(nèi)任意點位移進行插值：（1）式中，1、 2稱為線性系數(shù)，與單

4、元里點的位置有關(guān)，是x的函數(shù)。此函數(shù)與單元的形狀有關(guān)，又叫形狀函數(shù)。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行)(), 0(1tutu8)(),(2tutlu形狀函數(shù)和插值函數(shù)一樣是任意的，但必須邊界條件：只有滿足此條件單元才能協(xié)調(diào)一致運動，而不致破壞系統(tǒng)的完整性，因此這兩個條件實際上就是變形協(xié)調(diào)條件。將式（1）帶入（2）中，就可以得到形狀函數(shù)1(x)、2(x)所滿足的邊界條件： （2） 1 , 00 0 , 102121ll （3）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行 lxxlxx21 ,19 xx21、我們可以用簡單的線性函數(shù)來近似，因此有：（4）代回（1）式中有： tulxtulxtxu2

5、1)1(),(（5）為此，我們已經(jīng)找到了用節(jié)點位移表示單元內(nèi)任意一點位移的表達式。以上邊界條件確定了由于這兩個函數(shù)的任意性明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行10（2）計算此單元的動能和勢能桿單元的動能可表示成：（6）上式中，是材料的密度，A是桿單元的橫截面積。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行11用矩陣形式表示（6）式為：（7）其中，稱為單元廣義速度列陣（8）所以，質(zhì)量矩陣可以認為是：（9）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行12桿單元的勢能可以寫成：（10）式中，E是彈性模量，（10）表示成矩陣形式為：（11）這里，所以剛度矩陣k可以表示成：（12）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤

6、行篤行 tftf21,13 tutu21,(3)計算等效節(jié)點力設(shè)單元上x處作用有分布力f ( x , t)，現(xiàn)在要把它等效成節(jié)點力遵循等效原則，即原載荷和等效之后的節(jié)點載荷在虛位移上所做的虛功相等。其實，就是對應于廣義坐標的廣義力，為此，計算txf,所做的虛功：把上式寫成矩陣形式：（13）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行14所以等效節(jié)點力可以寫成：（14）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行15由桿單元組成的系統(tǒng)分析FR劃分為三個桿單元，共有4個節(jié)點，每個節(jié)點處設(shè)一個廣義坐標，寫成一個陣列：u1F12（1）u2u223（2）u3u334（3）u4明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行1

7、6每個桿單元有兩個廣義坐標，用列陣U來改寫單元微分方程，單元（1）的方程改寫為：表示在節(jié)點處單元i給單元j的力。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行17單元格（2）：單元格（3）：明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行18系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行19當由個單元的廣義力列陣疊加成系統(tǒng)廣義力列陣F時，由于引入邊界條件進行處理，在右端，桿被約束，既不肯能發(fā)生位移，式中：為待求的廣義坐標列陣為待求的廣義坐標列陣為已知的被約束的廣義坐標為已知的被約束的廣義坐標為已知的廣義力列陣為已知的廣義力列陣為待求約束反力為待求約

8、束反力明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行20明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行 ,31tftf21tftf42, 二 梁單元如下圖所示，一個梁單元也是有兩個節(jié)點，但是有四個自由度，每個節(jié)點處，有兩種位移形式，一個是線位移，即撓度，一種是角位移。圖中，是力，是力矩。txf,是分布載荷 ,31tt tt42, 是對應的線位移，是對應的轉(zhuǎn)角。tx,是梁單元上任意位移 x處的撓度。圖12.2明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行22在靜載彎曲條件下，梁單元上任意點出的撓度是x的三次方程，可寫成：此方程必須滿足下面的邊界條件：由此可以求解處a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，進而撓度

9、方程為：（16）（17）（18）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行23上式可以寫成形狀函數(shù)的表示：其中，形函數(shù)分別為：梁單元的動能、勢能、虛功表達式分別為：（19）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行24式中I是橫截面的慣性矩上式中：（20）（21）（22）明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行25通過上式，可以得到梁單元的質(zhì)量、剛度矩陣，等效節(jié)點力：明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行26平面單元一 三角形單元 平面三角形單元 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 明德明德 礪志礪志 博學博

10、學 篤行篤行27首先，我們來分析一下三角形單元的力學特性，即建立以單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)各點位移的關(guān)系式。設(shè)單元e的節(jié)點編號為i、j、m，如圖3-2所示。由彈性力學平面問題可知，每個節(jié)點在其單元平面內(nèi)的位移可以有兩個分量，所以整個三角形單元將有六個節(jié)點位移分量，即六個自由度。用列陣可表示為： TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu其中的子矩陣（i，j，m 輪換） (a)式中 ui、vi 是節(jié)點i在x軸和y軸方向的位移。(5-7)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行28uxyvxy123456將位移在x軸和y軸的分量設(shè)為u，v，則：式中 1、2、6是待定常數(shù)。因三角形單元共有

11、六個自由度，且位移函數(shù)u、v在三個節(jié)點處的數(shù)值應該等于這些點處的位移分量的數(shù)值。假設(shè)節(jié)點i、j、m的坐標分別為（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：(b)uxyvxyuxyvxyuxyvxyiiijiijjjjjjmmmmmm123456123456123456 , , , (c)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行29mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxyuyuyuyxuyxuyxu11121 , 11121 , 213212111 xyxyxyiijjmm由 (c) 式左邊的三個方程可以求得 (d)其中(5-8) 從解析

12、幾何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點i、j、m的編排次序必須是逆時針方向，如圖5-2所示。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 30 圖5-2 平面三角形單元將 (d) 式代入 (b) 式的第一式，經(jīng)整理后得到 uab xc y uab xc y uab xc y uiiiijjjjmmmm12(e)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行31mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111

13、vab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmm12ycxbaNiiii21其中同理可得若令這樣，位移模式 (e) 和 (f) 就可以寫為（i , j , m輪換） (5-10)（i , j , m輪換） (5-9)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行32 式中 I是二階單位矩陣；Ni 、Nj 、Nm 是坐標的函數(shù)，它們反映了單元的位移狀態(tài)，所以一般稱之為形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。矩陣 N 叫做形函數(shù)矩陣。三節(jié)點三角形單元的形函數(shù)是坐標的線性函數(shù)。單元中任一條直線發(fā)生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節(jié)點處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。 uN uN

14、uN uvN vN vN viijjmmiijjmm eemjiNINININvuf(5-11)也可寫成矩陣形式明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行33三、應三、應 變變 xyxyuxvyuyvx 12000000bbbccccbcbcbijmijmiijjmme有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求得應變分量。將 (e) 、(f) 兩式代入上式，即得：(g)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行34 Be BBBBijmBbccbiiiii1200可簡寫成 其中 B 矩陣叫做單元應變矩陣，可寫成分塊形式而子矩陣由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以

15、矩陣B中的諸元素都是常量，因而單元中各點的應變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應變單元。 （i , j , m輪換） (3-15)(3-14)(3-13)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行35四、應四、應 力力 eBD SD B Se D 求得應變之后，再將（3-13）式代入物理方程 ，便可推導出以節(jié)點位移表示的應力。即(5-16)(h)(5-17)令則明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行36 SD BBBSSSijmijm DE11100122對稱 SD BEbcbccbiiiiiiii2 112122其中 S叫做應力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應力問題，彈性矩陣D為(5-18)

16、(i)所以，S的子矩陣可記為（i , j , m輪換） (5-19)明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行37 SSSiijjmm注意到（5-7）式，則有(5-21) 由（5-19）、（5-20）式不難看出，S中的諸元素都是常量，所以每個單元中的應力分量也是常量。 可見，對于常應變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應力和應變，即在單元的公共邊界上應力和應變的值將會有突變，但位移卻是連續(xù)的。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行38單元的變形能單元的剛度矩陣，為一6X6的矩陣。單元的動能單元的質(zhì)量矩陣，為一6X6的矩陣。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行39矩形單

17、元v1yu11u2v22u1v14u1v13x矩形單元的位移假定采用雙線性插值多項式明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行40等參單元四邊形四節(jié)點等參數(shù)單元四邊形四節(jié)點等參數(shù)單元1234022( , )iivNv 0i0i( , )iiuNu 001(1)(1)4iNl 四邊形四節(jié)點單元位移模式四邊形四節(jié)點單元位移模式: 其中其中母單元母單元明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行41 若以母單元上若以母單元上12邊為例，邊為例，通過映射可得在平面內(nèi)任一直通過映射可得在平面內(nèi)任一直線，線，12邊的方程為邊的方程為 = -1,代入代入( , )iixNx ( , )iiyNy 1211(1)(1)

18、22xxxcd12341(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4iixN xxxxx 通過局部座標與整體座標的映射關(guān)系把母單元變換到通過局部座標與整體座標的映射關(guān)系把母單元變換到整體座標上成為一個任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適整體座標上成為一個任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適合于任意曲邊的形狀。合于任意曲邊的形狀。oxy12341o111明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行42同理可得同理可得12341(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4iiyN yyyyy1211(1)(1)22yyyef把以參數(shù)把以參數(shù) 代表的代表的 x方程和方程和 y方程消去方程消去 ，則得則

19、得 x , y 所組成的直線方程所組成的直線方程 y=kx+b所以母單元上的四個邊都可以通過映射在所以母單元上的四個邊都可以通過映射在x, y座標面座標面上得出一個任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。上得出一個任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行43四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點 單元的應變單元的應變,00i xii yi yi xNBNNN,ii yNNy 1234eeuxvBBBBByuvyx,ii xNNxi = 1,2,3,4 其中其中明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行44其中其中iiiNNNxyxy,xx,xx,yyiiiNNNxyxy,i xii y

20、iNNxyNNxy,yy由于形函數(shù)由于形函數(shù) N 是是 x, y的函數(shù)，現(xiàn)對的函數(shù)，現(xiàn)對, 求導，這是復合函數(shù)求導求導，這是復合函數(shù)求導把上二式寫成矩陣形式把上二式寫成矩陣形式明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行45其中其中 ,xyJxy 1,i xii yiNNJNN,Jx yy x 1,1yyJxxJ稱為雅可比稱為雅可比(Jacobian)矩陣矩陣 為了把為了把 Bi矩陣中的矩陣中的Ni,x和和 Ni,y化成化成 Ni,和和 Ni, ，則代入下式則代入下式其中雅可比矩陣的逆陣由下式給出其中雅可比矩陣的逆陣由下式給出明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行也可把形函數(shù)也可把形函數(shù)Ni對的對的

21、, 偏導數(shù)寫成通式偏導數(shù)寫成通式: i= 1,2,3,446,2,1111122i xi yiii xi yi yi xNNESDBNNNN xeeyxyDBSl 四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點 單元的應力單元的應力對于平面應力情況對于平面應力情況明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行47 1111eTTKBDB tdxdyBDB t J d d 11121314212223243132333441424344ekkkkkkkkKkkkkkkkk 1111TTijijijkBDBtdxdyBDBt J d d l 四邊形四節(jié)點單元的剛度矩陣四邊形四節(jié)點單元的剛度矩陣Ke:Ke可劃分成四行四列的子矩陣可劃分成四行四列的子矩陣 :i, j = 1,2,3,4 明德明德 礪志礪志 博學博學 篤行篤行48對于平面應力情況對于平面應力情況: ,.,2,112211122i xj xi yj yi xj yi yj xTiji yj xi xj yi yj yi xj xNNNNNNNNEBDBNNNNNNNN TTePNp tdxdyNp t J d d l 等效節(jié)點力計算等效節(jié)點力計算: 1. 集中力的等效節(jié)點力集中力的等效節(jié)點力:由于計算復雜，把有集中力處由