基于有限元法的振動(dòng)分析 鄭佳文

1、明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行基于有限元法的振動(dòng)分析基于有限元法的振動(dòng)分析陜西理工學(xué)院陜西理工學(xué)院 機(jī)械工程機(jī)械工程 鄭佳文鄭佳文1明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行內(nèi)容n 有限元法簡(jiǎn)介n 一維單元 桿單元 梁?jiǎn)卧猲 二維單元與平面問(wèn)題的有限元法 三角形單元 矩形單元 等參單元n 平面問(wèn)題的有限元法2明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行有限元法簡(jiǎn)介 有限元法是一種可用于精確地(但近似)解決許多復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值方法。 對(duì)于基本的一維元素進(jìn)行有限元分析，能得到質(zhì)量矩陣與剛度矩陣和所需的力矢量，對(duì)于二維三維，元素矩陣會(huì)轉(zhuǎn)換成相關(guān)的更高維的空間。使用一致的和集中質(zhì)量矩陣的有限元方程并

2、結(jié)合邊界條件能為復(fù)雜系統(tǒng)提供解釋。3明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行當(dāng)用有限元法來(lái)分析時(shí)，將梁分解成為梁?jiǎn)卧瑢⒏鲉卧噜彽墓?jié)點(diǎn)處的彈性位移（橫向彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角）作為問(wèn)題中的位置量。 列子4單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚰舷到y(tǒng)質(zhì)量矩陣系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M系統(tǒng)剛度矩陣系統(tǒng)剛度矩陣K 梁的有限元模型明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行有限元基本思想講一個(gè)連續(xù)彈性體看成是由若干個(gè)基本單元在節(jié)點(diǎn)彼此相連的組合體；由于單元較小，允許對(duì)位移分布規(guī)律做出某種假設(shè)，基于這一簡(jiǎn)化假定，回避了彈性力學(xué)中的微分方程組難以求解的困難；從而使這一無(wú)限自由的連續(xù)體問(wèn)題變成一個(gè)有限自由度的離散系統(tǒng)

3、問(wèn)題。5明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行一維單元一 桿單元 一個(gè)桿單元是從桿上劃分出的一個(gè)小段，如下圖所示。由于單元很小，、A均視為常量。現(xiàn)在就以這最簡(jiǎn)單的桿單元，推導(dǎo)出它的質(zhì)量、剛度矩陣，等效節(jié)點(diǎn)力。6圖1.2明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行)()(),(2211tututxu7(1) 求桿單元上任意點(diǎn)的位移u(x,t)本來(lái)，桿單元上任意點(diǎn)的位移u(x,t)與節(jié)點(diǎn)的位移u1(t)、u2(t)之間的關(guān)系是未知的，但是，只要單元?jiǎng)澐值淖銐蛐?，那么其間的關(guān)系就無(wú)關(guān)大局。所以可以假定它們之間有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，即根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)單元內(nèi)任意點(diǎn)位移進(jìn)行插值：（1）式中，1、 2稱為線性系數(shù)，與單

4、元里點(diǎn)的位置有關(guān)，是x的函數(shù)。此函數(shù)與單元的形狀有關(guān)，又叫形狀函數(shù)。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行)(), 0(1tutu8)(),(2tutlu形狀函數(shù)和插值函數(shù)一樣是任意的，但必須邊界條件：只有滿足此條件單元才能協(xié)調(diào)一致運(yùn)動(dòng)，而不致破壞系統(tǒng)的完整性，因此這兩個(gè)條件實(shí)際上就是變形協(xié)調(diào)條件。將式（1）帶入（2）中，就可以得到形狀函數(shù)1(x)、2(x)所滿足的邊界條件： （2） 1 , 00 0 , 102121ll （3）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行 lxxlxx21 ,19 xx21、我們可以用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)來(lái)近似，因此有：（4）代回（1）式中有： tulxtulxtxu2

5、1)1(),(（5）為此，我們已經(jīng)找到了用節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任意一點(diǎn)位移的表達(dá)式。以上邊界條件確定了由于這兩個(gè)函數(shù)的任意性明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行10（2）計(jì)算此單元的動(dòng)能和勢(shì)能桿單元的動(dòng)能可表示成：（6）上式中，是材料的密度，A是桿單元的橫截面積。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行11用矩陣形式表示（6）式為：（7）其中，稱為單元廣義速度列陣（8）所以，質(zhì)量矩陣可以認(rèn)為是：（9）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行12桿單元的勢(shì)能可以寫(xiě)成：（10）式中，E是彈性模量，（10）表示成矩陣形式為：（11）這里，所以剛度矩陣k可以表示成：（12）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤

6、行篤行 tftf21,13 tutu21,(3)計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力設(shè)單元上x(chóng)處作用有分布力f ( x , t)，現(xiàn)在要把它等效成節(jié)點(diǎn)力遵循等效原則，即原載荷和等效之后的節(jié)點(diǎn)載荷在虛位移上所做的虛功相等。其實(shí)，就是對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力，為此，計(jì)算txf,所做的虛功：把上式寫(xiě)成矩陣形式：（13）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行14所以等效節(jié)點(diǎn)力可以寫(xiě)成：（14）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行15由桿單元組成的系統(tǒng)分析FR劃分為三個(gè)桿單元，共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處設(shè)一個(gè)廣義坐標(biāo)，寫(xiě)成一個(gè)陣列：u1F12（1）u2u223（2）u3u334（3）u4明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行1

7、6每個(gè)桿單元有兩個(gè)廣義坐標(biāo)，用列陣U來(lái)改寫(xiě)單元微分方程，單元（1）的方程改寫(xiě)為：表示在節(jié)點(diǎn)處單元i給單元j的力。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行17單元格（2）：?jiǎn)卧瘢?）：明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行18系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行19當(dāng)由個(gè)單元的廣義力列陣疊加成系統(tǒng)廣義力列陣F時(shí)，由于引入邊界條件進(jìn)行處理，在右端，桿被約束，既不肯能發(fā)生位移，式中：為待求的廣義坐標(biāo)列陣為待求的廣義坐標(biāo)列陣為已知的被約束的廣義坐標(biāo)為已知的被約束的廣義坐標(biāo)為已知的廣義力列陣為已知的廣義力列陣為待求約束反力為待求約

8、束反力明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行20明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行 ,31tftf21tftf42, 二 梁?jiǎn)卧缦聢D所示，一個(gè)梁?jiǎn)卧彩怯袃蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)，但是有四個(gè)自由度，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處，有兩種位移形式，一個(gè)是線位移，即撓度，一種是角位移。圖中，是力，是力矩。txf,是分布載荷 ,31tt tt42, 是對(duì)應(yīng)的線位移，是對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角。tx,是梁?jiǎn)卧先我馕灰?x處的撓度。圖12.2明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行22在靜載彎曲條件下，梁?jiǎn)卧先我恻c(diǎn)出的撓度是x的三次方程，可寫(xiě)成：此方程必須滿足下面的邊界條件：由此可以求解處a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，進(jìn)而撓度

9、方程為：（16）（17）（18）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行23上式可以寫(xiě)成形狀函數(shù)的表示：其中，形函數(shù)分別為：梁?jiǎn)卧膭?dòng)能、勢(shì)能、虛功表達(dá)式分別為：（19）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行24式中I是橫截面的慣性矩上式中：（20）（21）（22）明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行25通過(guò)上式，可以得到梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量、剛度矩陣，等效節(jié)點(diǎn)力：明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行26平面單元一 三角形單元 平面三角形單元 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 明德明德 礪志礪志 博學(xué)博

10、學(xué) 篤行篤行27首先，我們來(lái)分析一下三角形單元的力學(xué)特性，即建立以單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)各點(diǎn)位移的關(guān)系式。設(shè)單元e的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為i、j、m，如圖3-2所示。由彈性力學(xué)平面問(wèn)題可知，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在其單元平面內(nèi)的位移可以有兩個(gè)分量，所以整個(gè)三角形單元將有六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，即六個(gè)自由度。用列陣可表示為： TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu其中的子矩陣（i，j，m 輪換） (a)式中 ui、vi 是節(jié)點(diǎn)i在x軸和y軸方向的位移。(5-7)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行28uxyvxy123456將位移在x軸和y軸的分量設(shè)為u，v，則：式中 1、2、6是待定常數(shù)。因三角形單元共有

11、六個(gè)自由度，且位移函數(shù)u、v在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值應(yīng)該等于這些點(diǎn)處的位移分量的數(shù)值。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：(b)uxyvxyuxyvxyuxyvxyiiijiijjjjjjmmmmmm123456123456123456 , , , (c)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行29mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxyuyuyuyxuyxuyxu11121 , 11121 , 213212111 xyxyxyiijjmm由 (c) 式左邊的三個(gè)方程可以求得 (d)其中(5-8) 從解析

12、幾何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編排次序必須是逆時(shí)針?lè)较?，如圖5-2所示。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 30 圖5-2 平面三角形單元將 (d) 式代入 (b) 式的第一式，經(jīng)整理后得到 uab xc y uab xc y uab xc y uiiiijjjjmmmm12(e)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行31mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111

13、vab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmm12ycxbaNiiii21其中同理可得若令這樣，位移模式 (e) 和 (f) 就可以寫(xiě)為（i , j , m輪換） (5-10)（i , j , m輪換） (5-9)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行32 式中 I是二階單位矩陣；Ni 、Nj 、Nm 是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映了單元的位移狀態(tài)，所以一般稱之為形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)。矩陣 N 叫做形函數(shù)矩陣。三節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)是坐標(biāo)的線性函數(shù)。單元中任一條直線發(fā)生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節(jié)點(diǎn)處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。 uN uN

14、uN uvN vN vN viijjmmiijjmm eemjiNINININvuf(5-11)也可寫(xiě)成矩陣形式明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行33三、應(yīng)三、應(yīng) 變變 xyxyuxvyuyvx 12000000bbbccccbcbcbijmijmiijjmme有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求得應(yīng)變分量。將 (e) 、(f) 兩式代入上式，即得：(g)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行34 Be BBBBijmBbccbiiiii1200可簡(jiǎn)寫(xiě)成 其中 B 矩陣叫做單元應(yīng)變矩陣，可寫(xiě)成分塊形式而子矩陣由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以

15、矩陣B中的諸元素都是常量，因而單元中各點(diǎn)的應(yīng)變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應(yīng)變單元。 （i , j , m輪換） (3-15)(3-14)(3-13)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行35四、應(yīng)四、應(yīng) 力力 eBD SD B Se D 求得應(yīng)變之后，再將（3-13）式代入物理方程 ，便可推導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力。即(5-16)(h)(5-17)令則明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行36 SD BBBSSSijmijm DE11100122對(duì)稱 SD BEbcbccbiiiiiiii2 112122其中 S叫做應(yīng)力矩陣，若寫(xiě)成分塊形式，有對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，彈性矩陣D為(5-18)

16、(i)所以，S的子矩陣可記為（i , j , m輪換） (5-19)明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行37 SSSiijjmm注意到（5-7）式，則有(5-21) 由（5-19）、（5-20）式不難看出，S中的諸元素都是常量，所以每個(gè)單元中的應(yīng)力分量也是常量。 可見(jiàn)，對(duì)于常應(yīng)變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變，即在單元的公共邊界上應(yīng)力和應(yīng)變的值將會(huì)有突變，但位移卻是連續(xù)的。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行38單元的變形能單元的剛度矩陣，為一6X6的矩陣。單元的動(dòng)能單元的質(zhì)量矩陣，為一6X6的矩陣。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行39矩形單

17、元v1yu11u2v22u1v14u1v13x矩形單元的位移假定采用雙線性插值多項(xiàng)式明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行40等參單元四邊形四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元四邊形四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元1234022( , )iivNv 0i0i( , )iiuNu 001(1)(1)4iNl 四邊形四節(jié)點(diǎn)單元位移模式四邊形四節(jié)點(diǎn)單元位移模式: 其中其中母單元母單元明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行41 若以母單元上若以母單元上12邊為例，邊為例，通過(guò)映射可得在平面內(nèi)任一直通過(guò)映射可得在平面內(nèi)任一直線，線，12邊的方程為邊的方程為 = -1,代入代入( , )iixNx ( , )iiyNy 1211(1)(1)

18、22xxxcd12341(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4iixN xxxxx 通過(guò)局部座標(biāo)與整體座標(biāo)的映射關(guān)系把母單元變換到通過(guò)局部座標(biāo)與整體座標(biāo)的映射關(guān)系把母單元變換到整體座標(biāo)上成為一個(gè)任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適整體座標(biāo)上成為一個(gè)任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適合于任意曲邊的形狀。合于任意曲邊的形狀。oxy12341o111明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行42同理可得同理可得12341(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4iiyN yyyyy1211(1)(1)22yyyef把以參數(shù)把以參數(shù) 代表的代表的 x方程和方程和 y方程消去方程消去 ，則得則

19、得 x , y 所組成的直線方程所組成的直線方程 y=kx+b所以母單元上的四個(gè)邊都可以通過(guò)映射在所以母單元上的四個(gè)邊都可以通過(guò)映射在x, y座標(biāo)面座標(biāo)面上得出一個(gè)任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。上得出一個(gè)任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行43四邊形四節(jié)點(diǎn)四邊形四節(jié)點(diǎn) 單元的應(yīng)變單元的應(yīng)變,00i xii yi yi xNBNNN,ii yNNy 1234eeuxvBBBBByuvyx,ii xNNxi = 1,2,3,4 其中其中明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行44其中其中iiiNNNxyxy,xx,xx,yyiiiNNNxyxy,i xii y

20、iNNxyNNxy,yy由于形函數(shù)由于形函數(shù) N 是是 x, y的函數(shù)，現(xiàn)對(duì)的函數(shù)，現(xiàn)對(duì), 求導(dǎo)，這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)，這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)把上二式寫(xiě)成矩陣形式把上二式寫(xiě)成矩陣形式明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行45其中其中 ,xyJxy 1,i xii yiNNJNN,Jx yy x 1,1yyJxxJ稱為雅可比稱為雅可比(Jacobian)矩陣矩陣 為了把為了把 Bi矩陣中的矩陣中的Ni,x和和 Ni,y化成化成 Ni,和和 Ni, ，則代入下式則代入下式其中雅可比矩陣的逆陣由下式給出其中雅可比矩陣的逆陣由下式給出明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行也可把形函數(shù)也可把形函數(shù)Ni對(duì)的對(duì)的

21、, 偏導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成通式偏導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成通式: i= 1,2,3,446,2,1111122i xi yiii xi yi yi xNNESDBNNNN xeeyxyDBSl 四邊形四節(jié)點(diǎn)四邊形四節(jié)點(diǎn) 單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力對(duì)于平面應(yīng)力情況對(duì)于平面應(yīng)力情況明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行47 1111eTTKBDB tdxdyBDB t J d d 11121314212223243132333441424344ekkkkkkkkKkkkkkkkk 1111TTijijijkBDBtdxdyBDBt J d d l 四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的剛度矩陣四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的剛度矩陣Ke:Ke可劃分成四行四列的子矩陣可劃分成四行四列的子矩陣 :i, j = 1,2,3,4 明德明德 礪志礪志 博學(xué)博學(xué) 篤行篤行48對(duì)于平面應(yīng)力情況對(duì)于平面應(yīng)力情況: ,.,2,112211122i xj xi yj yi xj yi yj xTiji yj xi xj yi yj yi xj xNNNNNNNNEBDBNNNNNNNN TTePNp tdxdyNp t J d d l 等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算: 1. 集中力的等效節(jié)點(diǎn)力集中力的等效節(jié)點(diǎn)力:由于計(jì)算復(fù)雜，把有集中力處由