直線與平面垂直的判定全

1、教學(xué)內(nèi)容：一、理解直線與平面垂直的定義；一、理解直線與平面垂直的定義；2.3.12.3.1直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定二、探究、歸納直線與平面垂直的判定二、探究、歸納直線與平面垂直的判定定理及應(yīng)用。定理及應(yīng)用?；仡欀R：回顧知識：空間中一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？空間中一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？ （1）直線在平面內(nèi)，）直線在平面內(nèi)，（2）直線與平面平行，）直線與平面平行，（3）直線與平面相交）直線與平面相交知識探究（一）：知識探究（一）：直線與平面垂直的概念直線與平面垂直的概念 (垂直垂直)大漠孤煙直大漠孤煙直ABABABABABABABABCC1B1AB內(nèi)過點(diǎn)內(nèi)過點(diǎn)B的

2、直線的直線AB所在直線所在直線內(nèi)不過點(diǎn)內(nèi)不過點(diǎn)B的直線的直線AB所在直線所在直線內(nèi)內(nèi)任意一條任意一條直線直線AB所在直線所在直線一、直線和平面垂直的定義一、直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直這條直線和這個平面垂直線和這個平面垂直.其中直線叫做其中直線叫做平面的垂線平面的垂線，平面叫做平面叫做直線的垂面直線的垂面.交點(diǎn)叫做交點(diǎn)叫做垂足垂足. A A平面的垂線平面的垂線直線的垂面直線的垂面垂足垂足, .llmm 任意 LP直線和平面垂直的畫法直線和平面垂直的畫

3、法: 通常把直線畫成和表示平面的平通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直。行四邊形的一邊垂直。深入理解深入理解“線面垂直定義線面垂直定義”判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）1.1.如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直內(nèi)所有的直線都垂直. . （ ）2.2.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直么它與平面垂直. . （ ) )ba 利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得

4、到了線面垂直的最基本的性質(zhì)本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì). .探索新知：探索新知： 但是，直接考察直線與平面內(nèi)但是，直接考察直線與平面內(nèi)所有所有直線都直線都垂直是垂直是不可能不可能的，這就有必要去尋找比定義法的，這就有必要去尋找比定義法更簡捷、更可行更簡捷、更可行的直線與平面垂直的方法的直線與平面垂直的方法!, .llmm 任意探索新知：探索新知：做一做一做做想一想一想想ABCD1.1.折痕折痕ADAD與桌面垂直嗎？與桌面垂直嗎？2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕ADAD與桌面所在的平面垂直？與桌面所在的平面垂直？ 請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，

5、我們一起做一個試驗(yàn)：過三角形的我們一起做一個試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)頂點(diǎn)A A翻折紙片，得到折痕翻折紙片，得到折痕ADAD，將，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BDBD、DCDC與桌面接觸）與桌面接觸）ABCD 當(dāng)且僅當(dāng)折痕當(dāng)且僅當(dāng)折痕 AD 是是 BC 邊上的高時，邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面所在直線與桌面所在平面 垂直垂直 ABCDABCD2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕ADAD與桌面所在的平面垂直？與桌面所在的平面垂直？探索新知：探索新知：探索新知：探索新知： 由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的由剛才分析可以知道，直線與平面垂直的判定需要

6、哪幾個條件？判定需要哪幾個條件？你能根據(jù)剛才的分析歸納出你能根據(jù)剛才的分析歸納出直線與平面垂直線與平面垂直判定定理直判定定理嗎嗎 (1) (1) 平面有兩條直線平面有兩條直線 (2) (2) 這兩條直線要相交這兩條直線要相交(3) (3) 平面外的直線要與這兩條直線都垂直平面外的直線要與這兩條直線都垂直二、二、 直線與平面垂直的判定定理：直線與平面垂直的判定定理： mnmnpllmln 線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直lmnP 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交相交直線直線都都垂直垂直，則該直線與此平面垂直。，則該直線與此平面垂直。一相交兩垂直一相交兩垂直判斷下列命題是

7、否正確？判斷下列命題是否正確？(1)過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直( )(2)過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直( )P lP l例例1.1.在下圖的長方體中，請列舉與平面在下圖的長方體中，請列舉與平面ABCDABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？關(guān)系？BACDBACD例例2、在正方體、在正方體AC1中，求證：中，求證：(2)D1B平面平面ACB1(1)AC平面平面D1DBC1BD1ACA1DB1(1)ABCD是正方形,ACBD1,D DAC平面1,ACD D1,

8、D DDBD1.ACD DB 平面GC1BD1ACA1DB1例例2、在正方體、在正方體AC1中，求證：中，求證：(2)D1B平面平面ACB1由異成直線所成的角知由異成直線所成的角知D1B平面平面ACB1 901所所成成角角為為與與ACBD 9011所所成成角角為為與與ABBD11ABBD ACBD 1AABAC 1OH例例2.2.如圖，已知如圖，已知abab、a.a. 求證：求證：bb. .例題示范例題示范, ,鞏固新知鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，由直線與平面垂直的定義可知，直線直線a a與這兩條相交直線是垂直的，與這兩條相交

9、直線是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可證，可證b b與這兩條相交與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。面垂直。ababnm:m,n.證明 在平面 內(nèi)作兩條相交直線a,.m an 因?yàn)橹本€根據(jù)直線與平面垂直的定義知 a,.m bn 又因?yàn)?b/a 所以 b,m n 又因?yàn)閙,n是兩條相交直線 所以 b例例2.2.如圖，已知如圖，已知abab、a.a. 求證：求證：b.b.（線面垂直 線線垂直）（線線垂直 線面垂直）我們知道我們知道, ,當(dāng)直線和平面垂直時當(dāng)直線和平面垂直時, ,該直線叫做平面該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直的垂線。如果直線和

10、平面不垂直, ,是不是也該給它是不是也該給它取個名字呢取個名字呢? ?此時又該如何刻畫直線和平面的這種此時又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢關(guān)系呢? ?如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)Q是是是點(diǎn)是點(diǎn)P到平面的垂線段到平面的垂線段 pQ過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做 這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)與垂足間的線段叫做。 一一.斜線在平面內(nèi)的射影斜線在平面內(nèi)的射影. .垂線、斜線、射影垂線、斜線、射影( () )垂線垂線點(diǎn)點(diǎn)P在平面在平面 內(nèi)的射影內(nèi)的射影 線段線段PQ（2 2）斜線）斜線 一條直線和一個平面相交，但不和一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面這個平面垂直

11、，這條直線叫做這個平面的的斜線和平面的交點(diǎn)斜線和平面的交點(diǎn)叫做叫做。從平面外一點(diǎn)向平從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與斜面引斜線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)足間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的到這個平面的斜線段斜線段PR 如圖：是斜線如圖：是斜線AC在內(nèi)的射影，線段在內(nèi)的射影，線段BC是是 ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做垂線，過垂足和斜足的直線叫做 垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的面的 ( () )射影射影直線直線BC斜線段斜線段AC在內(nèi)的射影在內(nèi)的射影 ACB FE說明：說明：斜線上斜線上任意一點(diǎn)在平面任

12、意一點(diǎn)在平面上的射影，一定上的射影，一定在斜線的射影上。在斜線的射影上。思考：思考：斜線上的一個點(diǎn)在平面上的射斜線上的一個點(diǎn)在平面上的射影會在哪呢影會在哪呢？思考思考：從平面外一點(diǎn)從平面外一點(diǎn)向這個平面引的垂線段向這個平面引的垂線段和斜線段，它們的射影和線段本身之間和斜線段，它們的射影和線段本身之間有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？從平面外一點(diǎn)從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線向這個平面所引的垂線段和斜線段段和斜線段AB、AC、AD、AE中，那中，那一條最短？一條最短？ ACBDE 垂線段比任何垂線段比任何一條斜線段都短一條斜線段都短2、過點(diǎn)為連則則邊點(diǎn)則0 0ABC所ABC所在在平平面面外外一一P,作P

13、,作PO PO ,垂,垂足足O,接O,接PA,PB,PC.PA,PB,PC.1).若1).若PA = PB = PC,O是PA = PB = PC,O是ABC的ABC的_心_心. .2).若2).若PA = PB = PC,PA = PB = PC,C = 90 ,O是C = 90 ,O是AB的AB的_._.*3).若*3).若PA PA PB,PB PB,PB PC,PC PC,PC PA,O是PA,O是ABCABC的的_心_心. .外外中中垂垂鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是則若心的是則若點(diǎn)邊的是則若連接為垂足作外一點(diǎn)所在平面過ABCOPAP

14、CPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC中中外外垂垂重心重心:三條中線的交點(diǎn)三條中線的交點(diǎn)垂心垂心:三條高的交點(diǎn)三條高的交點(diǎn)外心外心:三條垂直平分線的交點(diǎn)三條垂直平分線的交點(diǎn)(到三個頂點(diǎn)的距離相等到三個頂點(diǎn)的距離相等)內(nèi)心內(nèi)心:三角平分線的交點(diǎn)三角平分線的交點(diǎn)中心中心:正的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)正的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條側(cè)棱的三條側(cè)棱PA=PB=PCPA=PB=PC試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形為三角形ABC的

15、的外心外心已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條的三條側(cè)棱側(cè)棱PA,PB,PCPA,PB,PC兩兩垂直兩兩垂直, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的垂心垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三條邊的距離相等的三條邊的距離相等, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在在底面底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的內(nèi)心內(nèi)心OEF典型：典型：四面體四面體P-ABC

16、的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P在平面上的射影為在平面上的射影為O(1)P到三頂點(diǎn)距離相等到三頂點(diǎn)距離相等(3)P到三邊到三邊AB、BC、AC距離相等距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直側(cè)棱兩兩垂直PABCO外外垂垂內(nèi)內(nèi) O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 如圖，直四棱柱如圖，直四棱柱 （側(cè)棱與底面垂直（側(cè)棱與底面垂直的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形 滿足什么滿足什么條件時，條件時， ？(只能添加一個合適的條件只能添加一個合適的條件)ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD解解:底面底面ABCD可以是菱形可以是菱形,正方形正方形, 或者是對角線相

17、互或者是對角線相互垂直的任意四邊形垂直的任意四邊形比比誰最棒!A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如圖，正方體、如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直線）直線A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直線）直線A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例題示范例題示范, ,鞏固新知鞏固新知分析分析: :找出直線找出直線A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A

18、1 1B B1 1CDCD內(nèi)的射內(nèi)的射影影, ,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。閱讀教科書閱讀教科書P67上的解答過程上的解答過程對棱兩兩垂直對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體例：四面體P-ABC中，中，ACPBBC,PAABPC求證：若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必然垂直另一組對邊必然垂直O(jiān) O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC的的心心例例3、三棱錐、三棱錐V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。（1）求證：）求證：A

19、C 平面平面VKB （2）求證：求證：VB ACABCVK(1)(1)連接連接VK,KBVK,KB，由，由VA=VC,KVA=VC,K為為ACAC中中點(diǎn)，由三線合一可知點(diǎn)，由三線合一可知VK VK AC,AC,同理可得同理可得KB ACKB AC，且，且VKKB=KVKKB=K 所以所以AC AC 平面平面VKB VKB ( (判定定理判定定理) )(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，AC AC 平面平面VKBVKB又因?yàn)橛忠驗(yàn)閂B VB 平面平面VKBVKB 所以所以VB VB AC (定義定義) 變式：變式：1、在例、在例3中若中若E、F分別為分別為AB、BC 的中的中點(diǎn)，試判斷點(diǎn)，試

20、判斷EF與平面與平面VKB的位置關(guān)系的位置關(guān)系 AVBCE EF FK例例3、三棱錐、三棱錐V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。（1）求證：）求證：AC 平面平面VKB （2）求證：求證：VB AC2、在、在1的條件下，有人說的條件下，有人說“VBAC，VBEF， VB平面平面ABC”，對嗎？，對嗎？BCDAFE,(1):(2):(3):4:ABCDAPAABCDAAEPBEEEFPCFBCPABAEPBCAFPC已知矩形過 作面再過 作于過 作于求證面求證面求證例ba 如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么 這兩條直線平行。這

21、兩條直線平行。3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理 例例2 2、如圖，已知如圖，已知AC、AB分別是平面分別是平面的垂線和斜的垂線和斜 線，線，C、B分別是垂足和斜足，分別是垂足和斜足，a ，aBC。 求證：求證：aAB線面垂直線面垂直線線垂直線線垂直三垂線定理三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直射影垂直,那么它就和這條斜線垂直那么它就和這條斜線垂直.變變: :如圖，已知如圖，已知AC、AB分別是平面分別是平面的垂線和斜線的垂線和斜線,C、B分別是垂足和斜足，分別是垂足和斜足，a ， 。aAB三垂線定

22、理的逆定理三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直斜線垂直,那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.求證求證: aBC結(jié)論1.結(jié)論2.結(jié)論3. 常用結(jié)論發(fā)散常用結(jié)論發(fā)散結(jié)論結(jié)論1：過一點(diǎn)有且只有一個平過一點(diǎn)有且只有一個平面和已知直線垂直。面和已知直線垂直。結(jié)論結(jié)論2：如果兩條平行直線中的如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。一條直線也垂直于這個平面。結(jié)論結(jié)論3：如果兩條直線同垂直于如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直

23、線平行。一個平面，那么這兩條直線平行。 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。 bmmbbamama/已知： ， 。 ba/a求證： 。 b證明：方法1設(shè)是 內(nèi) 的任意一條直線。 m）（相相垂垂直直垂垂直直，則則這這兩兩條條直直線線互互另另一一條條直直線線與與這這個個平平面面）一一條條直直線線在在平平面面內(nèi)內(nèi)，（）（兩兩條條直直線線平平行行）垂垂直直于于同同一一個個平平面面的的（）（兩兩個個平平面面互互相相平平行行）垂垂直直于于同同一一條條直直線線的的（：判判斷斷下下列列命命題題是是否否正正確確練練習(xí)習(xí)：.3.2.1. 1._,. 2的的位位置置關(guān)關(guān)系系是是

24、與與，則則且且和和平平面面已已知知直直線線 bababa a b bb或或,/小試牛刀小試牛刀線面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直的性質(zhì)定理：符號語言：符號語言：圖形語言：圖形語言：垂直于同一平面的兩直線互相平行垂直于同一平面的兩直線互相平行./abab，ab abnm:m,n.證明 在平面 內(nèi)作兩條相交直線a,.m an 因?yàn)橹本€根據(jù)直線與平面垂直的定義知 a,.m bn 又因?yàn)?b/a 所以 b,m n 又因?yàn)閙,n是兩條相交直線 所以 b例例2.2.如圖，已知如圖，已知abab、a.a. 求證：求證：b.b.（線面垂直 線線垂直）（線線垂直 線面垂直）例例2 2、如圖，已知、如圖，已知abab，

25、aa。求證：求證：bb。例題示范例題示范, ,鞏固新知鞏固新知分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，由直線與平面垂直的定義可知，直線直線a a與這兩條相交直線是垂直的，與這兩條相交直線是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可證，可證b b與這兩條相交與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。面垂直。ab閱讀閱讀P66P66頁的證明過程頁的證明過程. .五、過程設(shè)計(jì)五、過程設(shè)計(jì)( (三三) ) 線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)若若PA=PB=PC，則，則O是是ABC的的 . .PABC O外心

26、外心例例4.4.關(guān)于三角形的四心問題關(guān)于三角形的四心問題 設(shè)設(shè)O為三棱錐為三棱錐PABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P在底面上的射影在底面上的射影.(2)若若PA=PB=PC,C=900,則則O是是AB的的_點(diǎn)點(diǎn).中中PABC O例例4.4.關(guān)于三角形的四心問題關(guān)于三角形的四心問題垂心垂心EFPABC O (3)若三條側(cè)棱兩兩互相垂直若三條側(cè)棱兩兩互相垂直, ,則則O是是ABC的的 . .例例4.4.關(guān)于三角形的四心問題關(guān)于三角形的四心問題EFPABC O (5)若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則若三條側(cè)棱與底面成相等的角，則O是是ABC的的_. 外心外心例例4.4.關(guān)于三角形的四心問題關(guān)于三角形的四心問題例例1

27、、已知直角、已知直角ABC所在平面外有一點(diǎn)所在平面外有一點(diǎn)P，且，且PA=PB=PC，D是斜邊是斜邊AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：PD平面平面ABC.ABCPD 證明：證明：PA=PB，D為為AB中點(diǎn)中點(diǎn) PDAB，連接，連接CD， D為為RtABC斜邊的中點(diǎn)斜邊的中點(diǎn) CD=AD, 又又PAPC,PD=PD PAD PCD 而而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面平面ABC例例2、如圖、如圖 平面平面、相交于相交于PQ，線段線段OA、OB分別垂直平面分別垂直平面、，求證：求證：PQABPQOAB證明：證明：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又又OAOB=0 PQ平面

28、平面OAB 而而AB平面平面OAB PQABSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作業(yè)：如圖 是所在平面外一點(diǎn)，SA， 是的垂心，求證；平面SABCHSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作業(yè)：如圖 是所在平面外一點(diǎn)，SA，是的垂心，求證；平面SASBSASCSASBCSBSCS平面SABCAHBCSAAHABCSHA面SABCHHABC是的 垂 心ABSHBCABB同理BCSHSHABC面1.如圖,已知點(diǎn)M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且MA=MC求證：AC平面BDMMABCDOBD ACBDACO證明：連接，設(shè)，連接MOABCDACBDO四邊形是菱形ACBDOAC是中點(diǎn)MO

29、ACACBDBDMOOMAMCAMC是等腰ACMBD面ABCD證明：E 2. 在空間四邊形在空間四邊形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD， 求證：對角線求證：對角線AC BD。 CEAEEBD,連接的中點(diǎn)取ACBDACEAC,平面ACEBDECEAE,平面又BDCEDCBC,BDAEADAB,PABCO3.如圖，圓如圖，圓O所在一平面為所在一平面為 ，AB是圓是圓O 的直徑，的直徑，C 在圓周上在圓周上, 且且PA AC, PA AB,求證：（求證：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC PACBCAACPAPAB

30、CACBC，ABOC面又得由為直徑上一點(diǎn)為圓,1)2(典例 平面內(nèi)有一個三角形ABC，平面外有一點(diǎn)P，自P向平面作斜線PA，PB，PC，且PAPBPC，若點(diǎn)O是ABC的外心，求證：PO平面ABC.【解】如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接PD，PE，OD，OE.因?yàn)镻APBPC，所以PDAB，PEBC，因?yàn)镺是ABC的外心，所以O(shè)DAB，OEBC，又因?yàn)镻DDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，從而推得PO平面ABC._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是則若心的是則若點(diǎn)邊的是則若連接為垂足作外一點(diǎn)所在平面過A

31、BCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC中中外外垂垂重心重心:三條中線的交點(diǎn)三條中線的交點(diǎn)垂心垂心:三條高的交點(diǎn)三條高的交點(diǎn)外心外心:三條垂直平分線的交點(diǎn)三條垂直平分線的交點(diǎn)(到三個頂點(diǎn)的距離相等到三個頂點(diǎn)的距離相等)內(nèi)心內(nèi)心:三角平分線的交點(diǎn)三角平分線的交點(diǎn)中心中心:正的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)正的重心、垂心、內(nèi)心、外心重合的點(diǎn)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是則若心的是則若點(diǎn)邊的是則若連接為垂足作外一點(diǎn)所在平面過ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPC

32、PBPAOPOPABCVABC 解題分析解題分析:2022-7-2例例1：如圖，已知如圖，已知AC、AB分別是平面分別是平面的垂線的垂線 和斜線，和斜線，C、B分別是垂足和斜足，分別是垂足和斜足，a ， aBC求證：求證：aAB ACBa2022-7-2例例2：如圖，如圖，BAC在平面在平面內(nèi)，內(nèi)，P為平面為平面外一外一 點(diǎn)，點(diǎn)，PABPAC求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在平面在平面上上 的射影在的射影在BAC的平分線上的平分線上 ACBPOEF例例1 1 如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,已知已知C=90,C=90, AC=BC=1,PA AC=BC=1,PA面面ABC,ABC,且且PA=

33、 ,PA= , 求求(1)PB(1)PB與面與面ABCABC所成的角所成的角 (2)PB(2)PB與面與面PACPAC所成的角所成的角. .2B BC CA AP P鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1.1.平行四邊形平行四邊形ABCDABCD所在平面所在平面 外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)P P，且，且PAPA= =PBPB= =PCPC= =PDPD，求證：點(diǎn)，求證：點(diǎn)P P與平行四邊形對角線交與平行四邊形對角線交點(diǎn)點(diǎn)O O的連線的連線POPO垂直于垂直于ABAB、AD.AD.CABDOP2022-7-2例例2：如圖，在棱長為如圖，在棱長為1的正方體中的正方體中 (1)求求B1D 與平面與平面ABCD所成的角的正切；所成

34、的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求求A1C1 與平面與平面ABC1D1所成的角；所成的角；(3)求求BB1 與平面與平面A1BC1所成的角的正切所成的角的正切MH2022-7-2例例5：ABC的定點(diǎn)在平面的定點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)A、C在平面在平面 的同側(cè)，的同側(cè)，AB、BC與與所成角分別是所成角分別是300和和 450若若AB3，BC42，AC5，求，求AC 與平面與平面所成的角所成的角 ABCA1C1E2022-7-2例例6：如圖，如圖，P是正方形是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)， PA平面平面ABCD，AE PD，PA3AB求求 直線直線AC與平面與平面ABE所成

35、角的正弦值所成角的正弦值 PABCDE 【5】如圖如圖, AB為平面為平面的一條斜線的一條斜線, B為斜為斜足足,AO平面平面, 垂足為垂足為O, 直線直線BC在平面在平面內(nèi)內(nèi),已已知知ABC=60 ,OBC=45 , 則斜線則斜線AB和平面和平面所成的角是所成的角是_.ACODB45 設(shè)設(shè)OB=2,2,BD 則則2 2BA . .Rt,BOA在在中中22cos,22 2ABO45 .ABO 引課引課我們知道我們知道, ,當(dāng)直線和平面垂直時當(dāng)直線和平面垂直時, ,該直線叫做平面該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直的垂線。如果直線和平面不垂直, ,是不是也該給它是不是也該給它取個名字呢取個

36、名字呢? ?此時又該如何刻畫直線和平面的這種此時又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢關(guān)系呢? ?如圖如圖, ,若一條直線若一條直線PAPA和一個和一個平面平面相交相交, ,但不垂直但不垂直, ,那那么這條直線就叫做這個平么這條直線就叫做這個平面的斜線面的斜線, ,斜線和平面的交斜線和平面的交點(diǎn)點(diǎn)A A叫做斜足。叫做斜足。PA斜足斜足斜線斜線A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如圖，正方體、如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直線）直線A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B

37、B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直線）直線A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例題示范例題示范, ,鞏固新知鞏固新知分析分析: :找出直線找出直線A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD內(nèi)的射內(nèi)的射影影, ,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。閱讀教科書閱讀教科書P67上的解答過程上的解答過程AGFEDCBHHC與平面與平面ABCD 所成的角是？所成的角是？BG和和EA與平面與平面ABCD所成的角所成的角 分別是？分別是？GBC與與EABHCDEC和和EG與平面與平面ABCD所成的角分別是？所成的角分別是