同濟(jì)大學(xué)微積分課件

1、預(yù)備知識預(yù)備知識1. 集合的概念集合的概念在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱;aA否則，記為否則，記為.aA一、集合一、集合如果元素如果元素 在集合在集合 中，記為中，記為aA為一個為一個. 集合中的事物稱為該集合的集合中的事物稱為該集合的.只有有限個元素的集合稱為只有有限個元素的集合稱為，否則稱為，否則稱為.常用數(shù)集常用數(shù)集:自然數(shù)集自然數(shù)集:0,1,2, ,Nn整數(shù)集整數(shù)集:0, 1, 2,Zn 有理數(shù)集有理數(shù)集:*,pQpZ qZq復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集:2,1Cabi a bR i 2.集合的運算集合的運算集合的集合的:ABx xAxB且

2、集合的集合的:ABx xAxB或集合的集合的:A Bx xAxB但設(shè)設(shè) 是兩個集合，由此定義如下幾個集合：是兩個集合，由此定義如下幾個集合：,A B 集合的運算滿足如下運算率：集合的運算滿足如下運算率：:,ABBA ABBA:,ABCABCABCABC:,ABCACBC.ABCACBC 3.區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域:,;a bx axb:,;a bx axb設(shè)設(shè) 是實數(shù)，且是實數(shù)，且, a b,ababxabx:,;a bx axb( , ;a bx axbabxabx ,)ax ax :(,).xx 注意：無窮端不能寫成閉的記號注意：無窮端不能寫成閉的記號 ( ,)ax ax xaxax( ,

3、)U ax xa設(shè)設(shè) 是實數(shù)，且是實數(shù)，且 則定義則定義點點 的的 鄰域鄰域為集合：為集合：, a0,a：| x axa,aaaaxa( ,)0U axxa如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點點 的空的空a：,aaa a|,x axaxaaaxa1. 映射的概念映射的概念( ).yT x二、映射二、映射設(shè)設(shè) 是兩個非空集合，如果存在一個是兩個非空集合，如果存在一個法則法則 使得使得,X Y,T:.T XY而元素而元素 稱為稱為 的象，記作的象，記作 ， 即即yx TxX, xYy對對 中的每個元素中的每個元素 按此法則在按此法則在 中有唯一的元素中有唯

4、一的元素TXY與之對應(yīng)，那么稱與之對應(yīng)，那么稱 為為從從 到到 的映射的映射，記作，記作XYT( )T X,2 ,XYTxxtan2XYTxx例例 設(shè)設(shè)1,2,3 ,2,4,6,8 ,XY則則 是是 到到 的映射的映射.TXY例例 設(shè)設(shè)1,1 ,XY 則則 是是 到到 的映射的映射.TXY2. 幾類重要映射幾類重要映射：既單又滿的映射稱為一一對應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對應(yīng).例例 在前面的兩例中，例在前面的兩例中，例2是一一對應(yīng)，而例是一一對應(yīng)，而例1則不是則不是. 設(shè)設(shè) 是是 到到 的映射的映射.TXY：若：若 即即 使得使得,YT X,yYxX .yT x：若：若 則必有則必有12,xx1

5、2.T xT x3. 逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射 則則：12YXTyy逆映射：設(shè)逆映射：設(shè) 是是 到到 的一一映射，則對的一一映射，則對 中任一元素中任一元素TXYY, y例例 設(shè)設(shè)2XYTxx1,2,3 ,2,4,6 ,XYX, x ,T xy可以確定可以確定 中的唯一元素中的唯一元素 滿足滿足 稱此對應(yīng)稱此對應(yīng)T1.T關(guān)系為映射關(guān)系為映射 的的逆映射逆映射，記為，記為21, .( )XZTxT Tx復(fù)合映射復(fù)合映射：設(shè)有映射：設(shè)有映射 其中其中1122:,:,TXY TYZ稱此映射為由稱此映射為由 構(gòu)成的復(fù)合映射，記為構(gòu)成的復(fù)合映射，記為12,T T21.TTX1Y2YZ12,YYX

6、Z,T由此可以確定一個從由此可以確定一個從 到到 的映射的映射1, sin,XYTxx22, , YZTyy2, (sin) . XZTxx例：設(shè)例：設(shè),1,1 ,0,1 ,XR YZ 則復(fù)合映射則復(fù)合映射 為為21TT 1.概念概念( , )( ),x y yf x xD三、一元函數(shù)三、一元函數(shù) 從數(shù)集從數(shù)集 到實數(shù)集到實數(shù)集 的任一映射的任一映射 稱為定義在稱為定義在 上的上的DRfD稱為稱為 的圖象的圖象. 而數(shù)集而數(shù)集 則稱為函數(shù)則稱為函數(shù) yf xD yf x .yf xRR，通常記為，通常記為 而而 中的集合中的集合的的.注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的注：在以后的

7、討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的例例 則定義域為則定義域為211,1yxx例例 則定義域為則定義域為1,yx,1 .1,11,.方式給出，即定義域為使方式給出，即定義域為使表達(dá)式有效的一切實數(shù)表達(dá)式有效的一切實數(shù).以下例中函數(shù)的定義域均為實數(shù)集。以下例中函數(shù)的定義域均為實數(shù)集。1 0,sgn0 0,1 0.xyxxx例例3 符號函數(shù)符號函數(shù)sgn ,yxxysgnyxO例例 取整函數(shù)取整函數(shù) .yx 1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyO2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性有界有界yxOMM無界無界MMyxO 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為

8、數(shù)集數(shù)集,XD yf x,Df如果如果 都有都有 就稱就稱 0,M,xX ,f xM在在 上有界上有界, 否則稱為無界函數(shù)否則稱為無界函數(shù).XxyOsinyxxyOtanyx1122例例 在在 上是有界函數(shù)，上是有界函數(shù)，sinyx, 在在 上無界上無界.tanyx,2 2 域內(nèi)是無界函數(shù)域內(nèi)是無界函數(shù).例例 試說明函數(shù)試說明函數(shù) 在在 的任何空心鄰的任何空心鄰 11sinf xxx0 x 解解 設(shè)設(shè) ，取，取 ， 0M 012/2xn其中其中1112222nMM 則則022f xnM所以所以 無界無界. f xOxy11sinyxx單調(diào)性單調(diào)性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為 區(qū)間區(qū)間,

9、D f x,ID如果對任意的如果對任意的 當(dāng)當(dāng) 時，總有時，總有12,x xI12xx 12,f xf x則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為區(qū)間為區(qū)間 上的單調(diào)增加函數(shù)；上的單調(diào)增加函數(shù)；I f x如果如果 時，總有時，總有12xx 12,f xf x則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為區(qū)間為區(qū)間 上的單調(diào)減少函數(shù)上的單調(diào)減少函數(shù).I f x圖形特征：圖形特征： yfx1xxyO2x 1f x2f x yfx1xxyO2x 1f x2f x單調(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形奇偶性奇偶性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為 關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，D f x如果對任意的如果對任意的 都有都有

10、,xD fxf x就稱就稱 為偶函數(shù)；為偶函數(shù)； f x如果對任意的如果對任意的 都有都有,xD fxf x 就稱就稱 為奇函數(shù)為奇函數(shù). f x圖形特征：圖形特征：偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) yfxxxyOx yfxxxyOx,xD,xTD使得對任意的使得對任意的 當(dāng)當(dāng) 總有總有通常我們說的周期指的是最小正周期通常我們說的周期指的是最小正周期.周期函數(shù)周期函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為 如果存在數(shù)如果存在數(shù),D f x0,T f x Tf x就稱就稱 為周期函數(shù)，為周期函數(shù)， 稱為稱為 的周期的周期. T f x f x例如，例如， 的最小正周期是的最小正周期是 sinf xx2 .

11、xyOsinyx2344322222例：狄利克雷函數(shù)例：狄利克雷函數(shù)則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期.1 ,( )0 ,xQD xxQ3. 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)反函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是一一對應(yīng)，是一一對應(yīng)， 則其逆映則其逆映 :f Df D注：習(xí)慣上用注：習(xí)慣上用 表示為自變量，所以函數(shù)表示為自變量，所以函數(shù) 的的 x yf xf 1:ff DD射射 為為 的反函數(shù)的反函數(shù). 1xfy 1.yfx的反函數(shù)的反函數(shù) 仍表示為仍表示為注：函數(shù)注：函數(shù) 與它的反函數(shù)與它的反函數(shù) 的圖形的圖形 yf x 1yfx關(guān)于關(guān)于 對稱對

12、稱.yxxyOyx yf x 1yfx , x f x ,f xx復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣.當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個集合均為數(shù)集時，即得到復(fù)合當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個集合均為數(shù)集時，即得到復(fù)合函數(shù)的定義函數(shù)的定義.4. 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)yxO冪函數(shù)冪函數(shù) （ 是常數(shù)）是常數(shù)）yx11yxyx2yx3yx1yx (1)xy aa (01)xyaa1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0,1 .xyaaayxO對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)log0,1 .ayx aayxOlog (1)ayx alog (01)ayxa1三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù) s

13、in .yxxyOsinyx2344322222cosyx余弦函數(shù)余弦函數(shù) /2xyOcosyx3 /23 /2/22正切函數(shù)正切函數(shù)tan .yxxyO2232523252cotyx余切函數(shù)余切函數(shù)xyO2233tanyxcotyx正割函數(shù)正割函數(shù)1sec.cosyxx1csc.sinyxx余割函數(shù)余割函數(shù)tanyxcotyxxyO2232523252xyO2233反三角函數(shù)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)arcsin .yxarcsinyx1xyO122反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)arccos .yx1xyO1arccosyx反正切函數(shù)反正切函數(shù)arctan .yxarctanyxxyO22arccotyxxyO反余切函數(shù)反余切函數(shù)arccot .yx5.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運算和由常數(shù)函數(shù)及