非慣性坐標系中的靜止液體

1、1非慣性坐標系非慣性坐標系中的靜止液體中的靜止液體 流體靜力學基本方程式是對流體靜力學基本方程式是對慣性坐標系慣性坐標系建立的，建立的，在在非慣性坐標系非慣性坐標系中，流體處于相對靜止狀態(tài)，則其中，流體處于相對靜止狀態(tài)，則其表面力仍然具有各向同性和切應力為零的性質，因表面力仍然具有各向同性和切應力為零的性質，因此，基本方程同樣可以成立。不同的是此，基本方程同樣可以成立。不同的是在非慣性坐在非慣性坐標系中，流體處于靜止狀態(tài)，其所受的力還應包括標系中，流體處于靜止狀態(tài)，其所受的力還應包括慣性力，即基本方程中的慣性力，即基本方程中的質量力應為重力和慣性力質量力應為重力和慣性力兩部分之和兩部分之和。2

2、直線等加速運動容器中的靜止液體直線等加速運動容器中的靜止液體 如圖，一個盛有液體的容器相對于地面作直如圖，一個盛有液體的容器相對于地面作直線勻加速運動，線勻加速運動， 其加速度其加速度 為為：akajaiaazyx如果將非慣性坐標系固定在容器上，則根據如果將非慣性坐標系固定在容器上，則根據達朗貝爾原理，該非慣性坐標系中的流體將受到達朗貝爾原理，該非慣性坐標系中的流體將受到慣性力的作用，且單位質量流體受到的慣性力為慣性力的作用，且單位質量流體受到的慣性力為-a。zga-afx03gaf將上式代入基本方程得將上式代入基本方程得：pag1于是容器中單位質量流體的質量力就由慣性力和于是容器中單位質量流

3、體的質量力就由慣性力和重力兩部分組成：重力兩部分組成：其直角坐標系下的分量式為其直角坐標系下的分量式為：zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx04則非慣性坐標系中靜止液體壓力的全微分可以表則非慣性坐標系中靜止液體壓力的全微分可以表示為示為：)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布：czagyagxagpzzyyxx)()()(其中：其中：c c為積分常數，由具體問題確定為積分常數，由具體問題確定。5ozax h例題例題：如圖為運送液體的槽車簡化模型。槽：如圖為運送液體的槽車簡化模型。槽

4、車以等加速度車以等加速度a做水平運動，車內液高做水平運動，車內液高H，試，試求槽車在等加速運動過程中求槽車在等加速運動過程中自由液面的形狀自由液面的形狀。假定自由液面的壓力為假定自由液面的壓力為p0。60,0,0,0zyxzyxaaaagggg帶入壓力全微分公式帶入壓力全微分公式：)(gdzadxdp解解：將固定在槽車上的運動：將固定在槽車上的運動坐標系的原點置于坐標系的原點置于靜止時自由液面的中點靜止時自由液面的中點。則槽車運動時單位質。則槽車運動時單位質量液體受到的重力和液體的量液體受到的重力和液體的加速度加速度分量分別為：分量分別為：ozax h由于自由液面為等壓面，由于自由液面為等壓面

5、，dp=0，所以有，所以有7adx=-gdz積分得積分得 z =-ax/g+c自由液面通過原點，則自由液面通過原點，則c=0，則自由液面方程則自由液面方程為為： xgazs 說明自由液面是斜率為說明自由液面是斜率為- -a/g的傾斜平面的傾斜平面。 此外，槽車內液體的壓力分布為此外，槽車內液體的壓力分布為：cgzaxp)(8改寫成改寫成：)(0zxgagppghpp0)(0gzaxpp)/(zgax式中式中 項正好等于液體自由液面以下項正好等于液體自由液面以下的垂直深度的垂直深度h，0pc 可確定可確定則：此式表明，在非慣性坐標系中，靜止液體中壓力此式表明，在非慣性坐標系中，靜止液體中壓力同樣

6、只是液體深度的函數同樣只是液體深度的函數。ozx ha9ozayx等壓面方程等壓面方程 邊界條件 壓強分布方程壓強分布方程1.1.平面上的等加速運動平面上的等加速運動( (非慣性非慣性/ /動坐標系動坐標系) )101010pXxpYypZz10010paxpypgzddd0pa xg zddd0zaxpg ,0,Xa YZg appaxgz0,apaxgzcxyzpp0axgz自由液面方程自由液面方程圖圖2-122-12（a a） 102.2.容器沿斜面的等加速運動容器沿斜面的等加速運動zxyaoacos, 0,singZYgaXdcosd)sin(ddzgxgaWp 0d p a(sin)

7、cos0,0,pcagxgzxzpp acpa(sin)cosppagxgzdsindcoszagxg 11例例1一灑水車以等加速一灑水車以等加速a=0.98m/s2在平地行駛，靜止時，在平地行駛，靜止時，B點處水點處水深深1m，距，距o點水平距點水平距1.5m，求運動時，求運動時B點的水靜壓強。點的水靜壓強。解：gzaxpa=0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入OmH.gp2151注意坐標的正負號aoBzx例例3圖圖12例例2： 一加滿水的柱體直徑為一加滿水的柱體直徑為30cm30cm，60cm60cm高，問逐高，問逐漸加上多少加速度會溢出漸加上多少加速度會溢出1/41/4的水量？

8、的水量？1/21/2的水量？的水量？全部的水量？全部的水量？ 60cm30cm水量水量13解：若溢出解：若溢出1/4水量，則水量，則 =45如圖：如圖：那么那么 ax=gtan45=g=9.81m/s2 160cm30cm水量水量若溢出若溢出1/2的水量，則的水量，則 tan =ax/g=60/30=2即即ax=2g 水全部溢出實際上水全部溢出實際上是不可能實現的。是不可能實現的。1/2水量水量 214如圖，是一個旋轉容器，容器如圖，是一個旋轉容器，容器半徑為半徑為R。靜止狀態(tài)時，裝有深度。靜止狀態(tài)時，裝有深度為為H的液體。的液體。 當容器以角速度當容器以角速度做等速旋轉做等速旋轉時，液體除受

9、到重力作用外還要受時，液體除受到重力作用外還要受到離心慣性力的作用。到離心慣性力的作用。 則單位質量流體的重力分量為則單位質量流體的重力分量為等角速度旋轉容器內液體的相對平衡xzhOyxr2y2x20yxrggggzyx, 0, 0150sincos2222zyxayraxra由達郎貝爾原理，單位質量流體受到的慣性力為由達郎貝爾原理，單位質量流體受到的慣性力為- -a，大小為，大小為r2，其分量為，其分量為 于是，容器中液體所受的單位質量力為于是，容器中液體所受的單位質量力為：fx=2rcos =2 xfy= 2rsin =2 yfz=-gyxr2y2x20yxr16將質量力代入全微分公式有將

10、質量力代入全微分公式有：dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)由于等壓面上由于等壓面上dp=0,則等壓面方程則等壓面方程: 2 xdx+2 ydy -gdz=0積分積分: 2202222221,0,0,021,2rgzCzrCgzrCgzyxxzOz0zh17壓強分布為壓強分布為:ghzzgzrggpppCppzrCzrggp)()21(,0,0)21(02200022xzOz0zh18高速回轉圓筒內的流體壓力分布 如離心機轉鼓，轉速少則幾百轉，如離心機轉鼓，轉速少則幾百轉，多則數萬轉。那么這種情況下，液體內多則數萬轉。那么這種情況下，液體內部的壓力分布及自由面是什么樣呢？部的壓力分布及

11、自由面是什么樣呢？19高轉速使液體所受的旋轉慣性力遠大于重高轉速使液體所受的旋轉慣性力遠大于重力。此時，壓力全微分公式力。此時，壓力全微分公式-gdz項可以忽項可以忽略，即略，即 dp= ( 2 xdx+ 2 ydy-gdz)可簡化為：可簡化為： dp=2(xdx+ydy)而等壓液面方程則近似為：而等壓液面方程則近似為： 2 r 2/ 2=C 近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑為為r0。2021積分積分：002ddprprpr r整理后整理后：)(220220rrpp 該式為離心機設計和操作分析中經常用到的該式為離心機設計和操作分析中經常用到的壓力分布關系

12、式壓力分布關系式。22例例:有一容器繞有一容器繞o-o?軸勻速旋轉，軸勻速旋轉，n=60000rpm，已知已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,靜止時水靜止時水面高度面高度h=900mm。試求：。試求：r=30mm處的壓強。處的壓強。23解：在高速旋轉時，容器內液體將形成圓柱環(huán)，設內環(huán)半徑為r1，則)(2308 .151000)50(90050)(2122001121222122rrppmmrrrmmrrHrRhR處的壓強為則則液體不會溢出。，解得：2422210001013250 030 015823012 9MPan()( .).25例：例：圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處

13、圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處開口，當容器以等角速度開口，當容器以等角速度 繞垂直軸繞垂直軸z旋旋轉時，液體借離心力向外甩，但是受頂轉時，液體借離心力向外甩，但是受頂蓋限制，液面不能形成拋物面。試分析蓋限制，液面不能形成拋物面。試分析液體內的壓力分布。液體內的壓力分布。z0RBpa 26液體內各點的壓強分布符合下式，即液體內各點的壓強分布符合下式，即 gzrCp222常數常數C，可利用，可利用r=0，z=0，p=pa確定，即確定，即C=pa。故。故 gzrppa222z0RBpa 27222RppaB 故作用于頂蓋上（故作用于頂蓋上（z=0）各點的壓力仍按）各點的壓力仍按拋物面分布，如圖箭頭所

14、示，邊緣拋物面分布，如圖箭頭所示，邊緣B處處 邊緣邊緣B處（處（r=R，z=0）壓力最大為（表壓）壓力最大為（表壓）:222RpppaBgz0RBpa 28可知可知 越大，則邊緣越大，則邊緣處壓力越大，處壓力越大，離心鑄造離心鑄造就就是依據此原理，即通過離是依據此原理，即通過離心鑄造機的高速旋轉而增心鑄造機的高速旋轉而增大鑄模外緣處液態(tài)金屬的大鑄模外緣處液態(tài)金屬的壓力，從而得到較密實的壓力，從而得到較密實的鑄件。鑄件。z0RBpa 29例例.盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開 口，當其旋口，當其旋轉時，液體借離心慣性力而向外甩，但當液體轉時，液體借離心慣性力而向外甩，但當液體

15、剛要甩出容器時，在容器內部即產生真空，緊剛要甩出容器時，在容器內部即產生真空，緊緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體內的壓強分布及內的壓強分布及o點處的真空度。點處的真空度。0RBpaz DC A30gzrCp222利用利用r=R，z=0時時 p=pa，以確定常數，以確定常數C, 即即222RpCa流體內各點的壓強分布符合下式，即流體內各點的壓強分布符合下式，即31gzRrppa)(2222z=0, r=0 處真空度為處真空度為222Rpppav0RBpaz DC A32 由上式可知，由上式可知， 越大則越大則0點處的真空越大，點處的真空越大，離心式

16、離心式水泵和離心式風機水泵和離心式風機就是根就是根據此原理設計的，當葉輪據此原理設計的，當葉輪旋轉時，在葉輪中心處形旋轉時，在葉輪中心處形成真空，流體被吸入，又成真空，流體被吸入，又借離心力將流體甩向外緣，借離心力將流體甩向外緣，增大壓力后輸送出去。增大壓力后輸送出去。 0RBpaz DC A33在生產實際中，可根在生產實際中，可根據旋轉容器中液面高度的據旋轉容器中液面高度的變化來測定旋轉角速度。變化來測定旋轉角速度。因為旋轉前后容器內液體因為旋轉前后容器內液體體積不會改變。旋轉后中體積不會改變。旋轉后中間出現一個被旋轉拋物面間出現一個被旋轉拋物面包圍的空腔，當空腔的底面半徑為包圍的空腔，當空

17、腔的底面半徑為R，即與容，即與容器半徑相當時，有器半徑相當時，有)(022122HHRHRhR34化簡后可得化簡后可得：hHH20根據自由表面方程根據自由表面方程：grz22200222HHgRRr處，有在由（由（1）、（）、（2）兩式得）兩式得)(20HhgR35例題例題1: d=300mm, H=500mm敞口圓柱形容器中，注水高度敞口圓柱形容器中，注水高度為為h1=300mm，容器繞軸作等，容器繞軸作等角速度旋轉。角速度旋轉。1.確定使水的自由界面正好達到容確定使水的自由界面正好達到容器邊緣時的轉數器邊緣時的轉數n1;2.求拋物面頂端碰到容器底時的轉求拋物面頂端碰到容器底時的轉數數n2,此時容器停止旋轉后，水面高此時容器停止旋轉后，水面高度度h2將為多少？將為多少？36解：1.根據可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm此時角速度為102hHH1033229 81300 10010150 1018 676 rad sg(hH )R.()./37rpmn17814. 3676.1830301則2.2.（方法一方法一）當拋物面頂