有限單位沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器的設計方法

1、第七章 FIR濾波器的設計主要內(nèi)容主要內(nèi)容 概述概述 線性相位線性相位 FIR DF FIR DF 約束條件和頻率響應約束條件和頻率響應 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 頻率取樣法頻率取樣法7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比較比較nIIR與與FIR性能特性比較性能特性比較nIIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：n幅頻特性較好；但相頻特性較差；幅頻特性較好；但相頻特性較差； n有穩(wěn)定性問題；有穩(wěn)定性問題；nFIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：n可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性n因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)n可用可用 FFT 計算計算n但階次比但階次比 IIR

2、 濾波器要高得多濾波器要高得多nIIR 與與 FIR 設計方法比較設計方法比較nIIR DF：n無限沖激響應，無限沖激響應，H(Z) 是是 z-1 的有理分式，的有理分式，借助于模擬濾波器借助于模擬濾波器設計方法設計方法，階數(shù)低（同樣性能要求）。其優(yōu)異的幅頻特性是，階數(shù)低（同樣性能要求）。其優(yōu)異的幅頻特性是以非線性相位為代價的。以非線性相位為代價的。n缺點：缺點：只能設計特定類型的濾波器，不能逼近任意的頻響。只能設計特定類型的濾波器，不能逼近任意的頻響。 nFIR DF：n有限沖激響應，系統(tǒng)函數(shù)有限沖激響應，系統(tǒng)函數(shù) H(Z) 是是 z-1 的多項式，的多項式，采用直采用直接逼近要求的頻率響應

3、接逼近要求的頻率響應。設計靈活性強。設計靈活性強n缺點：缺點： 設計方法復雜；設計方法復雜； 延遲大；延遲大； 階數(shù)高。階數(shù)高。nFIR DF 的技術(shù)要求：的技術(shù)要求：n通帶頻率通帶頻率p，阻帶頻率，阻帶頻率s 及最大衰減及最大衰減p，最小衰減，最小衰減sn很重要的一條是保證很重要的一條是保證 H(z) 具有具有線性相位線性相位。7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比較比較7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 設計方法設計方法nFIR 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器n設計設計 FIR 濾波器的任務：濾波器的任務：n給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準則，

4、選給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準則，選定定 h(n) 及階數(shù)及階數(shù) N。n兩種設計方法：兩種設計方法： 窗函數(shù)加權(quán)法窗函數(shù)加權(quán)法 頻率采樣法頻率采樣法7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 零極點零極點n FIR濾波器的濾波器的I/O 關(guān)系：關(guān)系：10Nry(n)h(r)x(nr) 0 1 21( ), , , ,.,h nnNn FIR 濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：12110011NNNrNrh( )zh( )z.h(N)H(z)h(r)zz 在在 Z 平面上有平面上有 N-1 個零點；在原點處有一個（個零點；在原點處有一個（N-1）階極點，永）階極點

5、，永遠穩(wěn)定。遠穩(wěn)定。n FIR 系統(tǒng)定義：系統(tǒng)定義：一個數(shù)字濾波器一個數(shù)字濾波器 DF 的輸出的輸出 y(n)，如果僅取決于，如果僅取決于有限有限個過去的輸入和現(xiàn)在的輸入個過去的輸入和現(xiàn)在的輸入x(n), x(n-1),. ., x(n-N+1)，則稱之，則稱之為為 FIR DF。 n FIR 濾波器的單位沖激響應：濾波器的單位沖激響應：n FIR DF 的頻率響應為：的頻率響應為：FIR 濾波器的最重要特點是能實現(xiàn)線性相位。濾波器的最重要特點是能實現(xiàn)線性相位。具有線性具有線性相移特性的相移特性的 FIR 濾波器是濾波器是 FIR 濾波器中應用最廣泛的濾波器中應用最廣泛的一種。一種。1j ()

6、r0()( )H ()eNjj nnH eh n e H()：幅度函數(shù)，它是一個取值可正可負的實函數(shù)。：幅度函數(shù)，它是一個取值可正可負的實函數(shù)。 () = arg H(ejw) 為數(shù)字濾波器的相位函數(shù)。為數(shù)字濾波器的相位函數(shù)。 7.1 概述：概述：FIR DF 頻率響應頻率響應n信號通過信號通過線性濾波器線性濾波器時，其時，其幅度和相位可能會發(fā)生改變幅度和相位可能會發(fā)生改變，濾波器增益濾波器增益 |H()|和相位和相位 () 可能會隨頻率的變化而可能會隨頻率的變化而改變。改變。n如：如：輸入正弦信號輸入正弦信號 Acos(n0) 則：則：輸出為輸出為 |H(0)| Acos(n0)，其中相移，

7、其中相移(0) 輸出頻率和輸入頻率相同，但幅度和相位都發(fā)生了變化輸出頻率和輸入頻率相同，但幅度和相位都發(fā)生了變化n輸出信號比輸入信號滯后的樣點數(shù)輸出信號比輸入信號滯后的樣點數(shù) n (位移位移) 可由下式求得可由下式求得: 設：設：n00 000()n- 濾波器在數(shù)字頻率濾波器在數(shù)字頻率0 處的相位延遲（位移）處的相位延遲（位移） 由于相位延遲由于相位延遲 n 的不同，最終產(chǎn)生了相位失真。的不同，最終產(chǎn)生了相位失真。 確保不產(chǎn)生相位失真的辦法：使確保不產(chǎn)生相位失真的辦法：使不同頻率不同頻率的信號通過濾波器時有的信號通過濾波器時有相同的延遲相同的延遲 n。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真n

8、對對不同的頻率不同的頻率有有恒定的相移恒定的相移，會產(chǎn)生相位失真，會產(chǎn)生相位失真. 如：方波如：方波 y(t) 可以用無數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來得到：可以用無數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來得到： 41111y(t)sin( t)sin(3 t)sin(5 t)sin(7 t)sin(9 t)3579 若每個正弦波相移若每個正弦波相移/2 弧度：弧度： 確保所有頻率具有相同相位延遲的簡單方法：確保所有頻率具有相同相位延遲的簡單方法： 隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有線性相位特性，線性相位特性，即使所有頻率的相位延遲保持恒即使所有頻率的相位延遲保持恒定，這

9、種方法可通過使系統(tǒng)的相位函數(shù)定，這種方法可通過使系統(tǒng)的相位函數(shù)()為頻為頻率率的的線性函數(shù)線性函數(shù)來實現(xiàn)。來實現(xiàn)。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真p41111y (t)=cos( t)cos(3 t)cos(5 t)cos(7 t)cos(9 t)3579 可見相移之后正弦波之和已不再是方波?？梢娤嘁浦笳也ㄖ鸵巡辉偈欠讲?。7.2 線性相移線性相移FIR DF 約束條件和頻率響應約束條件和頻率響應n三個內(nèi)容：三個內(nèi)容： 約束條件約束條件n恒延時濾波恒延時濾波n偶對稱：恒相延時和恒群延時同時成立偶對稱：恒相延時和恒群延時同時成立 n奇對稱：僅恒群延時成立奇對稱：僅恒群延時成立 頻率響應

10、頻率響應nType I：h(n) 偶對稱、偶對稱、N 為奇數(shù)為奇數(shù)nType II：h(n) 偶對稱、偶對稱、N 為偶數(shù)為偶數(shù)nType III：h(n) 奇對稱、奇對稱、N 為奇數(shù)為奇數(shù)nType IV：h(n) 奇對稱、奇對稱、N 為偶數(shù)為偶數(shù) FIR DF 零極點分布零極點分布相延時：相延時： ( )( )p 群延時：群延時： ()()gdd .1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒延時濾波約束條件：恒延時濾波n恒延時濾波恒延時濾波 n濾波器的延時有相延時和群延時兩種濾波器的延時有相延時和群延時兩種10()()()( )|()|( )NjjnjjjnH eh n

11、eH eeHe 令令j( )= arg H(e ) 恒延時濾波器：恒延時濾波器：p() 或或g() 是是不隨不隨變化的常量，變化的常量，這這時濾波器具有線性相位特性。時濾波器具有線性相位特性。( ) （負號是因為系統(tǒng)必有時延）（負號是因為系統(tǒng)必有時延） 由于由于 FIR 濾波器的頻率響應為濾波器的頻率響應為 :1010()( )( )cossinNjj nnNnH eh n eh nnjn w(w)01010( )sin( )arg()arctan( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故: n恒相延時和恒群延時同時成立恒相延時和恒群延時同時成立n要使要使p、g 都不隨都不隨 變化變化

12、,() 必須是一條過原點直線必須是一條過原點直線.1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒延時濾波約束條件：恒延時濾波于是于是: 1010( )sinsintan()cos( )cosNnNnh nnh nn 1100( )sincos( )cossinNNnnh nnh nn 100( ) in()Nnh n sn h(0)sin()h(N-1)sinh(n)sin-nh(N-0 h(1)sinh(0)sin()h(N-1 h (1 1 -( hN-1)(N-2)s)s)sinin-(-n)si(nN(N-1-n-2) N-1in 0) .1 線性相移線

13、性相移FIR DF 約束條件：恒延時約束條件：恒延時可以證明，當可以證明，當 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )( )pgN 上式成立，此時上式成立，此時恒相延時和恒群延時同時成立時，線性相位恒相延時和恒群延時同時成立時，線性相位濾波器的濾波器的必要條件必要條件是：是： 不管不管 N 為偶數(shù)，還是為偶數(shù)，還是 N 為奇數(shù)，系統(tǒng)為奇數(shù)，系統(tǒng)沖激響應沖激響應 h(n) 都關(guān)于中心點都關(guān)于中心點 (N-1)/2 偶偶對稱對稱。當。當 N 為奇數(shù)時對稱中心軸位于整數(shù)為奇數(shù)時對稱中心軸位于整數(shù)樣點上樣點上; 當當 N 為偶數(shù)時對稱中心軸位于非整為偶數(shù)時對稱中心軸位于非整

14、數(shù)樣點上。數(shù)樣點上。h(n) 為偶對稱，為偶對稱，N 為偶數(shù)為偶數(shù)012N 7nh(n)h(n) 為偶對稱，為偶對稱，N 為奇數(shù)為奇數(shù)012N 6nh(n).1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒延時約束條件：恒延時02( ) 于是有：于是有： 1010( )sincos()tancot2sin()( )cosNnNnh nnh nn 1100j ( )()H( )e( )( )cossinNNjj nnnH eh n eh nnjn n只要求恒群延時成立只要求恒群延時成立 若只要求群延時若只要求群延時g() 為一常數(shù)，則為一常數(shù)，則相移特性為不過原相移特性為不過原點的

15、直線。點的直線。0()2 1010( )sin( )arg()arctan2( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故.1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時約束條件：恒群延時1100( )coscos( )sinsinNNnnh nnh nn 10( )cos()0Nnh nn 可以證明，當可以證明，當 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )gN 上式成立，此時上式成立，此時故故.1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時約束條件：恒群延時FIR濾波器單獨滿足恒定群延時的必要條件為：濾波器單獨滿足恒

16、定群延時的必要條件為： 沖激響應沖激響應 h(n) 對中心點對中心點 (N-1)/2 成成奇對稱奇對稱。此時，無論。此時，無論 N 為奇為奇數(shù)或偶數(shù)，濾波器的相頻特性均為線性，并包含有數(shù)或偶數(shù)，濾波器的相頻特性均為線性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移： 因此，信號通過此類濾波器時不僅產(chǎn)生因此，信號通過此類濾波器時不僅產(chǎn)生 (N-1)/2 個取樣點的延遲，還將個取樣點的延遲，還將產(chǎn)生產(chǎn)生 90o 的相移，通常這類濾波器又被稱為的相移，通常這類濾波器又被稱為 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的應用價值。應用價值。N-1( )22 1111222NNNhh Nh 當當 N 為奇數(shù)

17、時為奇數(shù)時，故，故102Nh 012N 7h(n) 為奇對稱，為奇對稱，N 為偶數(shù)為偶數(shù)nh(n)012N 6h(n) 為奇對稱，為奇對稱，N 為奇數(shù)為奇數(shù)nh(n).1 線性相移線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時約束條件：恒群延時00,()1 2( )(1) N h nh Nn 相相時時延延和和群群時時延延同同時時成成立立n 奇對稱：奇對稱：() 對所有的頻率成分都有一個對所有的頻率成分都有一個 90相移。相移。因此，因此，有四種類型的有四種類型的 FIR DF： 7.2.1 7.2.1 線性相移線性相移 FIR DF FIR DF 約束條件約束條件n線性相位約束條件線

18、性相位約束條件n對于任意給定的值對于任意給定的值 N，當，當 FIR 濾波器的濾波器的 h(n) 相對其中心點相對其中心點 (N-1)/2 是對稱時，不管是偶對稱還是奇對稱，是對稱時，不管是偶對稱還是奇對稱，此時濾波器的此時濾波器的相移特性是線性的，且群延時都是相移特性是線性的，且群延時都是 = (N-1)/2 。n偶對稱偶對稱 ： () 為過原點的，斜率為為過原點的，斜率為 - 的一條直線的一條直線0,()221 2()(1) N h nh Nn 僅僅 群群 時時 延延 同同 時時 成成 立立INIINIIINIVN 類類型型 ： h h( (n n) )偶偶對對稱稱， 為為奇奇數(shù)數(shù)類類型型

19、 ： h h( (n n) )偶偶對對稱稱， 為為偶偶數(shù)數(shù)類類型型： h h( (n n) )奇奇對對稱稱， 為為奇奇數(shù)數(shù)類類型型： h h( (n n) )奇奇對對稱稱， 為為偶偶數(shù)數(shù)7.2.2 7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type IType Inh(n) 偶對稱，偶對稱，N 為奇數(shù)（恒相時延、恒群時延為奇數(shù)（恒相時延、恒群時延n此時，由于此時，由于 h(n) 序列的長度為奇數(shù)，因此濾波器的頻率序列的長度為奇數(shù)，因此濾波器的頻率響應函數(shù)可進行以下響應函數(shù)可進行以下拆分（前后對稱部分、中心點）拆分（前后對稱部分、中心點）：1111121200

20、121()( )( )( )2NNNNjwjwjnwjNnnwjnwnnNH eh n eh n eh n ehe h(n) 為偶對稱，為偶對稱，N 為奇數(shù)為奇數(shù)012N 6nh(n)對上式的第二和式作變量替換（對上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到后得到:1111122(1)2001()( )(1)2NNNjwjwjnwj NwjnwnnNH eh n eh Nn eehe 由對稱條件由對稱條件1( )()h nh Nn 則則 H(ej) 表示為：表示為：111220111220111220(1)11221()( )21( )21( )12c s2o2NNjjnNNjnNNjn

21、j NjnNNjjjjwjnnnNH eh nheNehh nNehheeeeeneeNn 令令 12Nnn 則上式為則上式為 1 11221120()211()2 ()cos 22( )cos( )NNnnjjNNjjNNH eehhnnea nneH 7.2.2 7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type IType I 由此可以看出其線性相位特性。由于由此可以看出其線性相位特性。由于 cos(n) 對于對于 =0、2都是偶對稱，所以都是偶對稱，所以幅度函數(shù)幅度函數(shù)H() 對對=0、2也是偶對稱也是偶對稱。其中其中1( )()21( )2 ()2

22、Na nh n0Na nhn n0 幅度函數(shù)：幅度函數(shù)：120H( )( )cosNna nn 相位函數(shù)：相位函數(shù)：N-1( )-2 0246800.81h(n)0246800.81a(n)0120123frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=9H(w)7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type Inh(n) 偶對稱，偶對稱，N 為偶數(shù)（恒相時延、恒群時延為偶數(shù)（恒相時延、恒群時延

23、n由于由于h(n) 序列的長度為偶數(shù)，因此濾波器的頻率響應函數(shù)可拆分序列的長度為偶數(shù)，因此濾波器的頻率響應函數(shù)可拆分成如下成如下兩部分（前后對稱部分，中心點處無值）兩部分（前后對稱部分，中心點處無值）：7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type IIh(n) 為偶對稱，為偶對稱，N 為偶數(shù)為偶數(shù)012N 7nh(n)對上式的第二和式作變量替換（對上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到后得到:由對稱條件由對稱條件1( )()h nh Nn 則則 H(ej) 表示為：表示為：1112200()( )( )( )NnNNNjjnjnjnnnH eh n eh

24、 n eh n e 11221001()()( )()NNjjnj NjnnnH eh n eh Nn ee 令令 2Nnn，則上式為：，則上式為： 120112120122()cos ()(jnj NwjjnnnNNNjH eh neneeNnhe 11212212122212()()()cos() ( )cos() ( )NNjwjwnNNjwjnrNH eehnnweb nnweH 其中其中22212( )(), ,.,/Nb nhn nN （注意（注意 n 從從1 開始，即開始，即 b(0)=0或或沒有定義）沒有定義） 7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：T

25、ype II7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type II 與所設計的與所設計的 b(n) 或或 h(n) 無關(guān)，恒為無關(guān)，恒為 0。這種類型（即。這種類型（即 h(n) 偶對偶對稱，稱，N為偶數(shù)）為偶數(shù)）不能用于高通或帶阻濾波器不能用于高通或帶阻濾波器。 2）由于）由于 cos(n-1/2) 對于對于 =是奇對稱是奇對稱，所以，所以，H(w) 對對 =也是奇對稱；也是奇對稱；以以 =0 =0、22為偶對稱為偶對稱。 幅度函數(shù)幅度函數(shù)：N2rn 11H ( )b(n) cos (n-)2 相位函數(shù)：相位函數(shù)：N-1( )-2 024600.81

26、h(n)0246800.81b(n)01200.511.52frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=8n 從從1開始開始Hr (w)注意：注意： 1) 在在 = 處，有：處，有：21102( )( )cosNrnHb nn 111111222(1)(1)0001111112222001()22()( )(1)( )11( )2 sin() 2 ( )sin() 2212 ( )sin2NNNjjnj Njnjnj NjnnnnN

27、NNNjjnnNjH eh n eh Nn eeh n eeeNNeh njneh nnnjNehn 1120Nn nh(n) 奇對稱，奇對稱，N 為奇數(shù)（恒群時延為奇數(shù)（恒群時延nh(n) 長度為奇數(shù)，拆分成前后兩部分：長度為奇數(shù)，拆分成前后兩部分：7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type III對上式的第二和式作變量替換，并利用對稱條件對上式的第二和式作變量替換，并利用對稱條件 h(n)=-h(N-1-n)，得，得:111121002()( )( )( )NNNjjnjnjnNnnnH eh n eh n eh n e 012N 6h(n) 為奇對稱，為奇對

28、稱，N 為奇數(shù)為奇數(shù)nh(n)Hr (w)7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type III12Nnn ，則上式為：，則上式為： 111222()()( )sin( )NNjjn jH eec nneH 其中其中1212212( ), ,.,()/Nc nhnnN令令幅度函數(shù)幅度函數(shù)：121( )( )sinNrnHc nn （）相位函數(shù)：相位函數(shù)：2N-1( )-2 02468-0.4-0.6h(n)0246800.81c(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Re

29、sponse012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi n 從從1開始開始與與 c(n) 或或 h(n) 的值無關(guān)，因此，這種類型的濾波器的值無關(guān)，因此，這種類型的濾波器不適用于低通、不適用于低通、帶阻或高通濾波器設計帶阻或高通濾波器設計 2）由于）由于 sin(n) 對于對于 =0、2 都是奇對稱，所以，都是奇對稱，所以，H(w) 以以 =0、 、2為奇對稱為奇對稱。 注意：注意： 1) 在在 =0 和和 處，有：處，有：1210()( )sinNjnH ec nn 7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻

30、率響應：Type III7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type IVnh(n) 奇對稱，奇對稱，N 為偶數(shù)（恒群時延為偶數(shù)（恒群時延1122212()()()( )sin()( )nNNjwjjH eed nneH 012N 7h(n) 為奇對稱，為奇對稱，N 為偶數(shù)為偶數(shù)nh(n)其中其中21 2 322( ), , ,.,NNd nhnn 211( )d( )sin-2NrnHnn 122N （ ）7.2.2 線性相移線性相移 FIR DF 頻率響應：頻率響應：Type IV02468-0.4-0.6h(n)0246800.20.40.

31、60.81d(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi Hr (w)與與 d(n) 或或 h(n) 的取值無關(guān)，因此傳輸函數(shù)的取值無關(guān)，因此傳輸函數(shù) H(z) 在在 z = 1 處為零點。處為零點。顯然，這種類型顯然，這種類型不能用于實現(xiàn)低通濾波器不能用于實現(xiàn)低通濾波器。2）由于）由于 sin(n-1/2) 在在 =處偶對稱，在處偶對稱，在0、2 是奇對稱，所以，是奇對稱，所以，H(w) 以以 = 偶對稱，偶對

32、稱，0、2為奇對稱為奇對稱。 注意：注意： 1) 在在 =0 處，有：處，有：21102()( )sin()NjnH ed nn 表表7-1 四種線性相位四種線性相位FIR濾波器特性濾波器特性n 一般的一般的 FIR DF 的零、極點：的零、極點：1111100()()( )( )( )( )NNnNNnNnnf zH zh n zzh n zz 在在z=0處，有一個（處，有一個（N-1）階的極點，故濾波器穩(wěn)定；）階的極點，故濾波器穩(wěn)定； 其零點要求其零點要求 f(z)=0，根據(jù)代數(shù)理論，它為，根據(jù)代數(shù)理論，它為 N-1階多階多項式，應有項式，應有 N-1 個根，所以有個根，所以有 N-1 個

33、零點。如果個零點。如果 h(n) 為實數(shù)值，其根肯定是共軛對稱的。為實數(shù)值，其根肯定是共軛對稱的。7.2.3 線性相移線性相移 FIR DF 零極點分布零極點分布1( )()h nh Nn 1,.,0Nn11001( )( )()NNnnnnH zh n zh Nn z 令：令：m=N-1-n)()()()(1)1(10)1(10)1( zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN于是：于是： )()(1)1( zHzzHN7.2.3 線性相移線性相移 FIR DF 零極點分布零極點分布n線性相移線性相移 FIR DF 的零極點：的零極點： 如果如果 zi 是是 H(z) 的零點，即的零點，即

34、H(zi) = 0 則則 H(z-1) =0，即，即 zi-1 亦為亦為 H(z) 的零點。的零點。 n 上面提到上面提到 Zi 肯定是共軛的，故肯定是共軛的，故 Zi* 亦必為其零點亦必為其零點n 于是零點有：于是零點有：11,*,*iiiiz z zz1-1Za1Za21/bb7.2.3 線性相移線性相移 FIR DF 零極點分布零極點分布總結(jié)總結(jié): :1) 一般情況，一般情況， ijiierz ，有四個零點，有四個零點： ijiierz ijiierz *ijiierz 11ijiierz 11*)( 2) r=1，單位圓上的零點：，單位圓上的零點： iijijiezez - (共軛對共

35、軛對) 3) 位于實軸上的實數(shù)：位于實軸上的實數(shù)：b, 1/b (實軸上的倒數(shù)對實軸上的倒數(shù)對)。4) zi =1：單零點：單零點 11*iiiizzzz思路：思路：理想數(shù)字濾波器理想數(shù)字濾波器設計的設計的 FIR 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器()( )jjnddnHeh n e 10()( )NjjnnH eh n e窗窗函函數(shù)數(shù)截截短短( )( )dh nh n 要求：要求：7.3 FIR DF 窗函數(shù)設計法窗函數(shù)設計法hd(n) 無限長，且非因果無限長，且非因果 h(n) 有限長，且因果有限長，且因果 n設所要求的設所要求的 DF 的頻率響應是的頻率響應是 Hd(ejw)，需要注需要注意：意：它

36、可能是低通、高通、帶通和帶阻它可能是低通、高通、帶通和帶阻 FIR DF，沒有特指某種類型的數(shù)字濾波器。，沒有特指某種類型的數(shù)字濾波器。n不管是何種不管是何種 FIR DF，它的頻率響應是頻域中的，它的頻率響應是頻域中的周期函數(shù)，周期為周期函數(shù)，周期為 2，所以它可以展開為傅氏，所以它可以展開為傅氏級數(shù)形式：級數(shù)形式：()( )jjnddnHehn e 12( )()jjnddh nHeed 7.3.1 7.3.1 窗函數(shù)設計法：窗函數(shù)設計法：基本原理基本原理 式中式中 hd(n) 是傅里葉系數(shù)，也是單位取樣響應序列。是傅里葉系數(shù)，也是單位取樣響應序列。 由傅里葉級數(shù)理論可得：由傅里葉級數(shù)理論

37、可得： 7.3.1 窗函數(shù)設計法：基本原理窗函數(shù)設計法：基本原理因此，所要求的因此，所要求的 DF 的系統(tǒng)函數(shù)便可求得：的系統(tǒng)函數(shù)便可求得：n顯然，顯然，Hd(z) 是非因果的，且是非因果的，且 hd(n) 的持續(xù)時間為的持續(xù)時間為 - +，物理上不可實現(xiàn)。物理上不可實現(xiàn)。n我們可以采用我們可以采用逼近逼近 Hd(ejw) 的方法的方法 首先把首先把 hd(n) 先截短為有限項先截短為有限項，把，把 hd(n) 截為截為2N+1項，得：項，得：( )( )nddnHzhn z ( )( )nddnHzh n z MNnndznhzH)()(1然后把截短后的然后把截短后的 hd(n) 右移，使之

38、變成因果性的右移，使之變成因果性的序列。序列。 令令 H(z) 等于等于 H1(z) 乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，則，則 210()( )( )MMMn MndnndMhH zzH zhnMn zz 20( )( )MnnH zh n z 20()( )MjjnnH eh n e 頻率響應頻率響應 z=ejn顯然顯然nH(z) 是是物理可實現(xiàn)物理可實現(xiàn)的的n其沖激響應其沖激響應 h(n) 的的持續(xù)持續(xù)時間時間也是也是有限有限的的n選擇選擇 hd(n) = hd(N-1-n)，保證，保證H(z) 具有線性具有線性相位相位。 7

39、.3.1 窗函數(shù)設計法：基本原理窗函數(shù)設計法：基本原理n 將將 hd(n) 截短：截短： 0( ),|( ),dh n nMh n else相當于將相當于將 hd(n ) 與一窗函數(shù)與一窗函數(shù) wR(n) 相乘，即相乘，即( )( )( )dRh nh n wn7.3.2 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs Gibbs 效應效應其中其中10,|( ),R nMwn else 在一定意義上來看，窗函數(shù)決定了我們能夠在一定意義上來看，窗函數(shù)決定了我們能夠 “看到看到” 多多少個原來的沖激響應，少個原來的沖激響應，“窗窗” 這個用詞的含義也就在此。這個用詞的含義也就在此。n 窗函數(shù)的頻譜：窗函數(shù)

40、的頻譜： jM-jM-jMjjnjnRR-jnn -M2M+12M+1-jj-j222-jj-j222e-eeW (e )w (n)ee1-e(2M1)Nee-esinsin22sinsinee-e22 = =此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù)，此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù)，在在 +2/N 之間為其主之間為其主瓣，主瓣寬度瓣，主瓣寬度 = 4/N，在主瓣兩側(cè)有無數(shù)幅度逐漸在主瓣兩側(cè)有無數(shù)幅度逐漸減小的旁瓣減小的旁瓣, 見圖所示。見圖所示。22sin(/ )()sin(/ )jRNWe 2/N-2/N主瓣主瓣第第1個旁瓣個旁瓣第第2個旁瓣個旁瓣7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應1212()()(

41、)()()jjjdRjjdRH eHeWeHeWed n 截短，根據(jù)時域相乘映射為頻域卷積，得：截短，根據(jù)時域相乘映射為頻域卷積，得：為便于分析，我們假定為便于分析，我們假定 |Hd(ejw)| 是理想低通濾波器是理想低通濾波器 LPF。式中積分等于式中積分等于由由 c 到到 c 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi) WNej(w-) 下的面積，隨著下的面積，隨著變化，變化，窗函數(shù)的主瓣和不同正負、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)窗函數(shù)的主瓣和不同正負、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)間間，使得此面積發(fā)生變化，使得此面積發(fā)生變化， 也即也即 |H(ejw)| 的大小產(chǎn)生波動。的大小產(chǎn)生波動。-wc0wc()jRWe 7.

42、3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應02N2NWR()-c0cHd()8950.08950.04680.0468卷積卷積-wc0wc-Hd()7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應n現(xiàn)在分析幾個特殊頻率點的濾波器性能：現(xiàn)在分析幾個特殊頻率點的濾波器性能： = 0 時：時： 由于一般情況下都滿足由于一般情況下都滿足 c 2 / N，因此，因此，H(0) 的值近似等于窗譜函數(shù)的值近似等于窗譜函數(shù) WR(ejw) 與與軸圍出的軸圍出的整個面整個面積積。 02N 2N WR()-wc0wc-Hd()ccj01R1H (e )W ( )d2 =c 時時： 此時窗譜主瓣

43、一半在積分區(qū)間內(nèi)一半在區(qū)間外，因此，窗譜曲線圍出此時窗譜主瓣一半在積分區(qū)間內(nèi)一半在區(qū)間外，因此，窗譜曲線圍出的面積，近似為的面積，近似為=0 時時所圍面積的一半所圍面積的一半，即，即 。011122()()() cccjjRcH eH ewd 111()H (0)2cH -wc0wcHd()w =wcWR(w-)7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應=c - 2/N 時，正肩峰時，正肩峰 此時窗譜主瓣全部處于積分區(qū)間內(nèi)，而其中一個最大負瓣剛好移出積分此時窗譜主瓣全部處于積分區(qū)間內(nèi)，而其中一個最大負瓣剛好移出積分區(qū)間，這時得到最大值，形成正肩峰。之后，隨著區(qū)間，這時得到最大值，形成正肩

44、峰。之后，隨著值的不斷增大，值的不斷增大，H(ejw) 的值迅速減小，此時進入濾波器過渡帶。的值迅速減小，此時進入濾波器過渡帶。=c + 2/N 時，負肩峰時，負肩峰 此時窗譜主瓣剛好全部移出積分區(qū)間，而其中一個最大負瓣仍全部處于區(qū)此時窗譜主瓣剛好全部移出積分區(qū)間，而其中一個最大負瓣仍全部處于區(qū)間內(nèi)，因此得到最小值，形成負肩峰。之后，隨著間內(nèi)，因此得到最小值，形成負肩峰。之后，隨著值的繼續(xù)增大，值的繼續(xù)增大， H(ejw) 的值振蕩并不斷減小，形成濾波器阻帶波動。的值振蕩并不斷減小，形成濾波器阻帶波動。112121 089502()().( )cccRcHwdHMaxNN 1120 08950

45、().( )cHHMinN -wc0wcHd()WR(w-)2cw wN -wc0wcHd()WR(w-)2cw wN 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應過渡帶：過渡帶：正負肩峰之間的頻帶正負肩峰之間的頻帶。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。 對于矩形窗對于矩形窗 WR(ejw), 此寬度為此寬度為 4/N。 肩峰及波動：這是由窗函數(shù)的旁瓣引起的肩峰及波動：這是由窗函數(shù)的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動越快、越多。相對值越大，波動越厲害，肩峰越強。旁瓣越多，波動越快、越多。相對值越大，波動越厲害，肩峰越強。肩峰肩峰和波動與所選窗函數(shù)的形狀有關(guān)，要改善阻帶的衰減

46、特性只能通過改變窗和波動與所選窗函數(shù)的形狀有關(guān)，要改善阻帶的衰減特性只能通過改變窗函數(shù)的形狀。函數(shù)的形狀。 在對在對 hd(n) 截短時，由于窗函數(shù)的頻譜具有旁瓣，這些旁瓣在與截短時，由于窗函數(shù)的頻譜具有旁瓣，這些旁瓣在與 Hd(ejw) 卷積時產(chǎn)生了通帶內(nèi)與阻帶內(nèi)的波動，稱為卷積時產(chǎn)生了通帶內(nèi)與阻帶內(nèi)的波動，稱為吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象。長度長度 N 的改變只能改變的改變只能改變 坐標的比例及窗函數(shù)坐標的比例及窗函數(shù) WR(ejw) 的絕對大小，但不的絕對大小，但不能改變肩峰和波動的相對大小（因為不能改變窗函數(shù)主瓣和旁瓣的相對比能改變肩峰和波動的相對大?。ㄒ驗椴荒芨淖兇昂瘮?shù)主瓣和旁瓣的相對比例，

47、波動是由旁瓣引起的），例，波動是由旁瓣引起的），即增加即增加 N，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，過，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，過渡帶減小，但相對振蕩幅度卻不減小。渡帶減小，但相對振蕩幅度卻不減小。n 加窗處理對理想矩形頻率響應的影響：加窗處理對理想矩形頻率響應的影響：結(jié)論：結(jié)論：過渡帶寬度與窗的寬度過渡帶寬度與窗的寬度 N 有關(guān)，隨之增減而變化。有關(guān)，隨之增減而變化。 阻帶最小衰減（與旁瓣的阻帶最小衰減（與旁瓣的相對幅度相對幅度有關(guān)）只由窗函數(shù)決定，與有關(guān)）只由窗函數(shù)決定，與 N 無關(guān)。無關(guān)。 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應n設計設

48、計FIR DF時，窗函數(shù)不僅可以時，窗函數(shù)不僅可以影響過渡帶寬影響過渡帶寬度度，還能，還能影響肩峰和波動的大小影響肩峰和波動的大小，因此，選擇窗，因此，選擇窗函數(shù)應使其頻譜：函數(shù)應使其頻譜：主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡。主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡。旁瓣相對于主瓣越小越好旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動減小，這樣可使肩峰和波動減小，即能量盡可能集中于主瓣內(nèi)。，即能量盡可能集中于主瓣內(nèi)。n對于窗函數(shù)，對于窗函數(shù)，這兩個要求是相互矛盾的這兩個要求是相互矛盾的，要根據(jù)需要，要根據(jù)需要進行折衷的選擇，進行折衷的選擇，7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效應效應.3

49、、各種窗函數(shù)。、各種窗函數(shù)。 1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) 前面已分析過，其頻率響應為前面已分析過，其頻率響應為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee 2. 三角形窗三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN其頻率響應為：其頻率響應為： 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee 3. 漢寧漢寧(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )()2()( )0.5()0.25()12 ()()1HnNNjjRNRj

50、HnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN當當N1時，時，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN旁瓣相互抵消，能量更加集中在主瓣，但主瓣寬度增加一倍 4. 漢明漢明(Hamming)窗窗改進的升余弦窗改進的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN其頻域函數(shù)其頻域函數(shù)WHm (e j)為為22()()11()0.54() 0.23() 0.23()22( )0.54() 0.23() 0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeW eW eW eWW eWWNN其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)WH

51、m()為為當當N1時，可近似表示為時，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN 5. 布萊克曼布萊克曼(Blackman)窗窗24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN其頻域響應為其頻域響應為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeW eWeW eW eW e其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN圖圖 常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù) 圖圖 常用窗函數(shù)的幅頻特性常用

52、窗函數(shù)的幅頻特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 圖圖 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗； (d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 6. 凱塞凱塞貝塞爾窗貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21 (1)11( )1( ) )! 2 kkkInnNInNxIxk式中式中 I I0 0(x)(x)是零

53、階第一類修正貝塞爾函數(shù)，是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)， 可用下面級數(shù)計算：可用下面級數(shù)計算： 一般一般I0(x)取取1525項，便可以滿足精度要項，便可以滿足精度要求。求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為49。當。當=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。時，窗函數(shù)接近哈明窗。=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為：窗的幅度函數(shù)為：(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn表表 六種窗函數(shù)的基本參數(shù)六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 下面總結(jié)用窗函數(shù)設計下面總

54、結(jié)用窗函數(shù)設計FIR濾波器的步驟。濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求，構(gòu)造理想線性相位濾波器根據(jù)技術(shù)要求，構(gòu)造理想線性相位濾波器的頻率響應的頻率響應Hd(ej) ，求出其單位取樣響應，求出其單位取樣響應hd(n)。1)()2jjddHeh ne d (2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗選擇窗函數(shù)的形式函數(shù)的形式，并估計窗口長度，并估計窗口長度N。 設待求濾波器的過渡帶用設待求濾波器的過渡帶用表示，它近似表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。（可查表）等于窗函數(shù)主瓣寬度。（可查表） (3) 確定理想濾波器的確定理想濾波器的截止頻率截止頻率，求出實際，求出實際設計的濾

55、波器的單位取樣響應設計的濾波器的單位取樣響應h(n)： h(n)=hd(n)w(n) (4)驗算技術(shù)指標是否滿足要求。設計出的驗算技術(shù)指標是否滿足要求。設計出的濾波器頻率響應用下式計算：濾波器頻率響應用下式計算：10()( )Njj nnH eh n eP343 例例 7-1nnnnnnnheeHcccHPcjjHP,)()sin()()sin()(,)(10 其他，頻率響應：頻率響應：單位脈沖響應單位脈沖響應：理想高通濾波器理想高通濾波器nnnnnnnheeHccccBPccccjjBP1212111200)()(sin)()(sin)(,)(頻率響應：頻率響應：單位脈沖響應單位脈沖響應：理

56、想帶通濾波器理想帶通濾波器nnnnnnnnnheeHccccBPccccjjBP12211221100)()(sin)()(sin)()(sin)(,)(頻率響應頻率響應：單位脈沖響應：單位脈沖響應：理想帶阻濾波器理想帶阻濾波器N12和低通時的情況一樣，為了得到有限長的和低通時的情況一樣，為了得到有限長的h(n)需用一長為需用一長為N的窗函數(shù)的窗函數(shù)w(n)截斷截斷 h d(n) 。 按照線性相位濾波器的要求，按照線性相位濾波器的要求，h(n)必須是必須是偶對偶對稱稱的，并且濾波器的時延常數(shù)的，并且濾波器的時延常數(shù))(相位響應均為相位響應均為 同時為了保證同時為了保證高通、帶阻濾波器高通、帶阻

57、濾波器的可實現(xiàn)性，的可實現(xiàn)性，N必須為奇數(shù)必須為奇數(shù).7.4 頻率采樣設計法頻率采樣設計法 窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，把理想的hd(n)用一定形狀的窗口函數(shù)截成有限長的用一定形狀的窗口函數(shù)截成有限長的h(n),以以此此h(n)來近似理想的來近似理想的hd(n)，從而頻率響應，從而頻率響應H(ejw)也近似于理想的頻率響應也近似于理想的頻率響應Hd(ejw)。 頻域采樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻率響應頻域采樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻率響應Hd(ejw)加以等間隔采樣，以采樣值來近似逼近理想的加以等間隔采樣，以采樣值來近似逼近理想的Hd(ejw)。即：即：2()( )j

58、ddkNeHHk以此以此H Hd d(k)(k)作為實際作為實際FIRFIR濾波器的頻率特性的抽樣值濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)H(k)： ( )( ), 0,1,.,1dH kHkkN由由DFTDFT定義，用有限長的序列定義，用有限長的序列H(k)H(k)可得：可得：21010 11( )( ), , ,.,NjnkNkh nH k ekNN10()( )NjwjwnnH eh n e10( )( )NnnH zh n z由由h(n)h(n)可求得實際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：可求得實際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：21110002110012011( )( )( )1 ( )11 ( )1NNNjnknn

59、NnnkNNjnknNknNNjkkNH zh n zH k ezNH kezNzH kNez則：該系統(tǒng)的頻率響應為：則：該系統(tǒng)的頻率響應為：12011()( )( )1j NNjjjkz ekjNeH eH zH kNee2jkNNNNezz經(jīng)過推導，有：經(jīng)過推導，有： (1)1N20sin()2()( )Nsin()2kj NNjjkwNH eeH k ewkN12011()( )( )1jNNjjjkz ekjNeH eH zH kNee稱為內(nèi)插函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)(1)2sin2( )sin2NjNeN2,0,1,2,1;1, i=k 2 (-k)0, ik wi iNNwN令101(1)

60、()22()( ) (), sin ()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNNwkeew kNNN即：參考教材參考教材P126-128 由上面的分析知：由上面的分析知：h(n)的頻率響應的頻率響應H(ejw)在采在采樣點上的值嚴格地等于所希望的值樣點上的值嚴格地等于所希望的值Hd(k),而在采而在采樣點之間的值樣點之間的值H(ejw) 是由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)是由各采樣值的內(nèi)插函數(shù)的疊加而成，因而會有一定的誤差。的疊加而成，因而會有一定的誤差。101(1)()22()( ) (), sin ()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNN