導(dǎo)數(shù)的背景 曲線在某點(diǎn)處的切線、瞬時(shí)速度

1、引入引入:一、切線問題：一、切線問題：（1）對于簡單的曲線，如圓和圓錐曲線，它們）對于簡單的曲線，如圓和圓錐曲線，它們的切線是如何定義的？的切線是如何定義的？（2）與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是否一定是曲）與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是否一定是曲線的切線？線的切線？（3）曲線的切線與直線是否只有一個(gè)交點(diǎn)？）曲線的切線與直線是否只有一個(gè)交點(diǎn)？二、最值問題：二、最值問題：求函數(shù)求函數(shù)y=x3-2x-1，x-1，1的最大值和最小值。的最大值和最小值。第三章第三章 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)3.1.1曲線的切線曲線的切線一一.曲線的切線曲線的切線y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖，曲線如圖，曲線C是

2、函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，P(x0,y0)是是曲線曲線C上的任意一點(diǎn)，上的任意一點(diǎn)，Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近鄰近一點(diǎn)，一點(diǎn)，PQ為為C的割線，的割線，.tan,: xyyMQxMP則則.就就是是割割線線的的斜斜率率表表明明：xy PM/x軸軸,QM/y軸，軸，為為PQ的傾斜角的傾斜角.PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T請看當(dāng)點(diǎn)請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P,即即x0時(shí)時(shí),若割線若割線PQ有一個(gè)極限位置有一個(gè)極限位置

3、PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的的斜率斜率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切線線 這個(gè)概念這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限函數(shù)平均變化率的極限.注：（注：（1）切線是割線的極限位置，切線的斜率是一個(gè)）切線是割線的極限位置，切線的斜率是一個(gè) 極限極限 （2）若割線在）若割線在P點(diǎn)有極限

4、位置，則在此點(diǎn)有切線點(diǎn)有極限位置，則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在,則在此點(diǎn)處無切線則在此點(diǎn)處無切線; （3）曲線的切線）曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可可以有多個(gè)以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè)甚至可以無窮多個(gè).（3）曲線的切線與曲線是否只有一個(gè)交點(diǎn)嗎？）曲線的切線與曲線是否只有一個(gè)交點(diǎn)嗎？例例1: 求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線的斜率、切線方程處的切線的斜率、切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx求曲線上一點(diǎn)的切線的斜率一般可以分為三步：求曲線上一點(diǎn)的切線的斜率一般可以分為三步：（1）求）

5、求y；并整理；求xy)2(；求xyx0lim)3(求曲線在某點(diǎn)處的切線方程：先利用切線的斜率，求曲線在某點(diǎn)處的切線方程：先利用切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求切線方程然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.的切線的斜率。處，在點(diǎn)：求曲線例) 11 (12Pxy 練習(xí)練習(xí):如圖如圖,已知曲線已知曲線 , 求求: (1)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxy

6、yxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是ss(t)，則物，則物 體在體在t到到t+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 ttsttsts)()(二、瞬時(shí)速度：二、瞬時(shí)速度：ttsttststvtt)()(limlim)(00 平均速度反映了物體運(yùn)動時(shí)的快慢程度平均速度反映了物體運(yùn)動時(shí)的快慢程度,但要精確但要精確地描述非勻速直線運(yùn)動地描述非勻速直線運(yùn)動,就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動就要

7、知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動的快慢程度的快慢程度,也既需要通過瞬時(shí)速度來反映也既需要通過瞬時(shí)速度來反映.物體在時(shí)刻物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度，就是物體在，就是物體在t到到t+t這這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)t0時(shí)的平均速度的極限；時(shí)的平均速度的極限；例例3: 物體作自由落體運(yùn)動物體作自由落體運(yùn)動,運(yùn)動方程為：運(yùn)動方程為： g=10m/s2 ，位移單位是，位移單位是m，時(shí)間單位是，時(shí)間單位是s，.求：求：221gts (1) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(

8、s)時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度.解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當(dāng)當(dāng)_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 即物體在時(shí)刻即物體在時(shí)刻t0=2(s)的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度等于等于20(m/s).當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔t 逐漸變小時(shí)逐漸變小時(shí),平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s) 時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v=20

9、(m/s).練習(xí)練習(xí): 某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動,運(yùn)動規(guī)律是運(yùn)動規(guī)律是s=5t2+6，求，求t=1時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)刻的瞬時(shí)速度.求瞬時(shí)速度一般可以分為三步：求瞬時(shí)速度一般可以分為三步：（1）求）求s；并整理；求ts)2(；求tst0lim)3(（1）能從極限的角度理解曲線在點(diǎn)）能從極限的角度理解曲線在點(diǎn)P處切線處切線的定義；的定義；小結(jié)：小結(jié)：能求曲線在點(diǎn)能求曲線在點(diǎn)P處切線的斜率及方程；處切線的斜率及方程；（2）能從極限的角度理解某時(shí)刻的瞬時(shí)速度）能從極限的角度理解某時(shí)刻的瞬時(shí)速度能求某時(shí)刻的瞬時(shí)速度能求某時(shí)刻的瞬時(shí)速度白榆樹 白榆樹小苗http:/備用備用:已知曲線已知曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P(1,2),用斜率的定義求用斜率的定義求 過點(diǎn)過點(diǎn)P的切線的傾斜角和切線方程的切線的傾斜角和切線方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解. 12212422)1 ( 24lim22)1 ( 2)( 24lim22)1 ( 2limlim20220