數(shù)學322最大值最小值問題北師大版選修2289377PPT學習教案

1、數(shù)學數(shù)學322最大值最小值問題北師大版選修最大值最小值問題北師大版選修2289377一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定義，如果及其附近有定義，如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說說f(xf(x0 0) )是函數(shù)的一個是函數(shù)的一個極大值極大值，記作，記作y y極大值極大值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是極大值點是極大值點。如果。如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各點的函附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說數(shù)值都小，我們就說f(x

2、f(x0 0) )是函數(shù)的一個是函數(shù)的一個極小值極小值。記。記作作y y極小值極小值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是極小值點是極小值點。極大值與極小值。極大值與極小值統(tǒng)統(tǒng)稱為極值稱為極值. . 一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義知知 識識 回回 顧顧第1頁/共17頁1 1、在定義中，取得極值的點稱為極值點，、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值極值點點是是自變量自變量(x)(x)的值，的值，極值極值指的是指的是函數(shù)值函數(shù)值(y)(y)。注意注意2 2、極值是一個、極值是一個局部局部概念，極值只是某個點概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它的函數(shù)值與它附近點附近點的函數(shù)值比較是最大或的

3、函數(shù)值比較是最大或最小最小, ,并并不意味不意味著它在函數(shù)的整個的定義域著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。內(nèi)最大或最小。第2頁/共17頁3 3、函數(shù)的、函數(shù)的極值不是唯極值不是唯一一的即一個的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。值或極小值可以不止一個。第3頁/共17頁4 4、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，極大值未必大于極小值，如下圖所示，如下圖所示， 是極大值點，是極大值點， 是極小值是極小值點，而點，而 1x4x41()( )f xf x第4頁/共17頁

4、3.3.用函數(shù)的導數(shù)為用函數(shù)的導數(shù)為0 0的點，順次將函數(shù)的定義的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. .檢查檢查f f(x x) )在方程根左右的值的符號，求出極大值和在方程根左右的值的符號，求出極大值和極小值極小值. .二、二、 求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的極值的步驟的極值的步驟: :1.1.求導數(shù)求導數(shù)f(x);f(x);2.2.求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x為極值點為極值點.).)注意注意: :如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)f(x)在在x x0 0處取得極值處取得極值, ,意味著意味著0 0) )(x(xf f0 0反

5、之不一定成立！反之不一定成立！如如y=xy=x3 3第5頁/共17頁一一. .最值的概念最值的概念( (最大值與最小值最大值與最小值) )新新 課課 講講 授授 如果在函數(shù)定義域如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在內(nèi)存在x x0 0, ,使使得對任意的得對任意的xxI, ,總有總有f(x) f(xf(x) f(x0 0),),則稱則稱f(xf(x0 0) )為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)在定義域上的在定義域上的最大值最大值. .最值是相對函數(shù)最值是相對函數(shù)定義域整體定義域整體而言的而言的. .第6頁/共17頁)(xfba,1.1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), , 最值唯一最值唯一; ;極值不唯一極值不唯一; ;注

6、意注意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .第7頁/共17頁二二. .如何求函數(shù)的最值如何求函數(shù)的最值? ?1.1.利用函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的單調(diào)性; ;2.2.利用函數(shù)的圖象利用函數(shù)的圖象; ;3.3.利用函數(shù)的導數(shù)利用函數(shù)的導數(shù). .如如: :求求y=2x+1y=2x+1在區(qū)間在區(qū)間1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在區(qū)間在區(qū)間1,31,3上的最值上的最值. .第8頁/共17頁 2. 2.將將y=f(x)y=f(x)的各極值與的各極值與f (a)f (a)、 f(b)f(b)比較，其中最大的一個為最大比較，其中最大的

7、一個為最大值，最小的一個為最小值值，最小的一個為最小值 1. 1.求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b內(nèi)極值內(nèi)極值( (極極大值或極小值大值或極小值) ) 利用導數(shù)求函數(shù)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上最值的步驟上最值的步驟: :第9頁/共17頁 例例1 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值與上的最大值與最小值最小值2425yxx2,2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x當當x 變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化

8、情況如下表：yy , 從表上可知，最大值是從表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 第10頁/共17頁練習練習1 1 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在區(qū)間在區(qū)間-1-1，44內(nèi)的最大值和最小值內(nèi)的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1 （-1,2-1,2） 2 2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函數(shù)故函數(shù)f (x) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間-1-1，44內(nèi)的內(nèi)的最大最大值為值為8 8，最小值為，最小值為-1 -1 )

9、(xf)(xf 第11頁/共17頁6060解解:設(shè)箱底邊長為設(shè)箱底邊長為x cm， 箱子容積為箱子容積為V=x2 h例例2 在邊長為在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高則箱高260 xh 26032xx xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0 (舍去舍去)得得V (40)=16000答：當答：當箱底邊長為箱底邊長為x=40時時

10、,箱子容積最大，箱子容積最大，最大值為最大值為16000cm3)600( x; 0()40, 0( ）時時，當當xVx. 0()60,40( ）時時，當當xVx。為為極極大大值值，且且為為最最大大值值)40(V第12頁/共17頁例例3.已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格價格p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量求產(chǎn)量q為何值為何值時時,利潤利潤L最大。最大。.8125qp 分析分析:利潤利潤L等于收入等于收入R減去成本減去成本C,而收入而收入R等于產(chǎn)量乘價格等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出由此可得出利潤利潤L與產(chǎn)量與產(chǎn)

11、量q的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式,再用導數(shù)求最大利潤再用導數(shù)求最大利潤.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利潤利潤2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的極值點求得唯一的極值點84q因為因為L只有一個極值點只有一個極值點,所以它是最大值所以它是最大值.答答:產(chǎn)量為產(chǎn)量為84時時,利潤利潤L最大最大.第13頁/共17頁求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(xxxf1 ,5,1)()2(xxxf4, 1,71862)() 3(23xxxxf答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值，最小值 f (/2)= /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值，最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值，最小值 f (3)= 61練習練習2：6第14頁/共17頁求函數(shù)求函數(shù) 在在 內(nèi)的極值；內(nèi)的極值； )(xf),(ba1. 求求 在在 上的最大值與最小值的步驟上的最大值與最小值的步驟:)( xf,ba求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間端點在區(qū)間端點 的值；的值； )(xf)(