2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)4.7《解三角形應(yīng)用》達(dá)標(biāo)練習(xí)（教師版）

1、2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)4.7解三角形應(yīng)用達(dá)標(biāo)練習(xí)一、選擇題如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東80° D.南偏西80°【答案解析】答案為：D.解析：由條件及題圖可知，A=B=40°，又BCD=60°，所以CBD=30°，所以DBA=10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.如圖所示，一座建筑物AB的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一座

2、通信塔CD.在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為( )A.30 m B.60 m C.30 m D.40 m【答案解析】答案為：B；解析：在RtABM中，AM=20(m).過(guò)點(diǎn)A作ANCD于點(diǎn)N，如圖所示.易知MAN=AMB=15°，所以MAC=30°15°=45°.又AMC=180°15°60°=105°，所以ACM=30°.在AMC中，由正弦定理得=，解得MC=

3、40(m).在RtCMD中，CD=40×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高為60 m.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為( )A.a km B.a km C.a km D.2a km【答案解析】答案為：B；解析：由題圖可知，ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2BC22AC·BC·cosACB=a2a22·a·a·=3a2，解得AB=a(km).已知在ABC中，D是A

4、C邊上的點(diǎn)，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，則sin C的值為()A. B. C. D.【答案解析】答案為：A；解析：設(shè)AB=AD=2a，則BD=a，則BC=4a，所以cosADB=，所以cosBDC=，整理得CD23aCD10a2=0，解得CD=2a或者CD=5a(舍去).故cos C=，而C，故sin C=.故選A.某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行15 km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是()A.5 km B.10 km C.5 km D.5 km【答案解析】答案為：C.解析：作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開(kāi)始的位

5、置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置，所以在ABC中，有BAC=60°30°=30°，B=120°，AC=15，由正弦定理，得=，即BC=5，即這時(shí)船與燈塔的距離是5 km.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A.0.5小時(shí) B.1小時(shí) C.1.5小時(shí) D.2小時(shí)【答案解析】答案為：B.解析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示.BE=BF=30 km，ABD為等腰直角三角形且AB=40 km，由勾股定理得AD=BD=20 km，由BDAD

6、， 可得ED=DF，在RtBED中，由勾股定理得ED=10 km，所以EF=2ED=20 km，因此B市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為20÷20=1(h).如圖，某海上緝私小分隊(duì)駕駛緝私艇以40 km/h的速度由A處出發(fā)，沿北偏東60°方向進(jìn)行海上巡邏，當(dāng)航行半小時(shí)到達(dá)B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏東30°方向上，則緝私艇所在的B處與船C的距離是()A.5() km B.5() kmC.10() km D.10() km【答案解析】答案為：C.解析：由題意知BAC=60°30°=30°，CBA=30

7、6;45°=75°，所以ACB=180°30°75°=75°，故AC=AB，因?yàn)锳B=40×=20，所以AC=AB=20.在ABC中，由余弦定理得：BC2=AC2AB22AC·ABcosCAB=4004002×20×20cos 30°=400(2)，故BC=10().已知a，b，c分別為銳角ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若sin A=，sin B>sin C，a=3，SABC=2，則b的值為()A.2或3 B.2 C.3 D.6【答案解析】答案為：C；解析：因?yàn)锳BC為銳角三角

8、形，所以cos A=，由余弦定理得cos A=，因?yàn)镾ABC=bcsin A=bc×=2，所以bc=6，將代入得=，則b2c2=13，由sin B>sin C可得b>c，聯(lián)立可得b=3，c=2.故選C.某觀察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25°.現(xiàn)在B處測(cè)得此公路上距B處30 km的C處有一人正沿此公路騎摩托車以40 km/h的速度向A城駛?cè)?，行駛?5 min后到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得B與D之間的距離為8 km，則此人到達(dá)A城還需要()A.40 min B.42 min C.48 min D.60 min【答案解析】答案為

9、：C解析：由題意可知，CD40×10，BAD45°，cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32，所需時(shí)間t0.8 h，此人還需要0.8 h即48 min到達(dá)A城.故選C.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB=2ab，若ABC的面積S=c，則ab的最小值為( )A.28 B.36 C.48 D.56【答案解析】答案為：C.解析：在ABC中，2ccosB=2ab，由正弦定理，得2sinCcosB=2sinAsinB.又A=(BC)，所以sinA=sin(BC)=sin(BC)，所以

10、2sinCcosB=2sin(BC)sinB=2sinBcosC2cosBsinCsinB，得2sinBcosCsinB=0，因?yàn)閟inB0，所以cosC=，又0<C<，所以C=.由S=c=absinC=ab×，得c=.由余弦定理得，c2=a2b22abcosC=a2b2ab2abab=3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))，所以()23ab，得ab48，所以ab的最小值為48，故選C.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2ccos B=2ab，若ABC的面積為c，則ab的最小值為()A. B. C. D.3【答案解析】答案為：B；解析：由正弦定理及2ccos

11、B=2ab，得2sin Ccos B=2sin Asin B.因?yàn)锳BC=，所以sin A=sin(BC)，則2sin C·cos B=2sin(BC)sin B，即2sin B·cos Csin B=0，又0B，所以sin B0，則cos C=.因?yàn)?C，所以C=，所以sin C=，則ABC的面積為absin C=ab=c，即c=3ab，結(jié)合c2=a2b22ab·cos C，可得a2b2ab=9a2b2.a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，2abab9a2b2，即ab，故ab的最小值是，故選B.ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin Cc

12、os C=1cos ，若ABC的面積S=(ab)sin C=，則ABC的周長(zhǎng)為()A.25 B.5 C.23 D.3【答案解析】答案為：D；解析：由sin Ccos C=1cos 2sin cos =1cos cos 2cos 2sin 1=0，cos 0，sin cos =，兩邊平方得sin C=，由sin cos =可得sin <cos ，0<<，即0<C<，由sin C=得cos C=.又S=absin C=(ab)sin C=，ab=ab=4，a=b=2，再根據(jù)余弦定理可得c2=a2b22abcos C=82，解得c=1，故ABC的周長(zhǎng)為3，故選D.二、填

13、空題如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.【答案解析】答案為：32解析：設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中，AB=v，BS=8 n mile，BSA=45°，由正弦定理，得=，所以v=32.如圖，某工程中要將一長(zhǎng)為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng) .【答案解析】答案為：100.解析：設(shè)坡底需加長(zhǎng)x m，由正弦

14、定理得=，解得x=100.在ABC中，已知BC=2，·=2，則ABC面積的最大值是 .【答案解析】答案為：.解析：由=，得2=()2，設(shè)|=c，|=b，則b2c2=8，又因?yàn)?#183;=bc·cosA=2，所以cosA=，所以sin2A=1，設(shè)ABC的面積為S，則S2=(bc)2sin2A=(b2c24)，因?yàn)閎c=4，所以S23，所以S.所以ABC面積的最大值是.如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且BAC=135°.若山高AD=100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為 m/s(精確到0.1).【答案解析】答案為：22.6；解析：因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°