自考專題線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破線性代數(shù)自考經(jīng)管類

1、第17頁 共17頁自考專題線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破|線性代數(shù)自考經(jīng)管類線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破 第一章 行列式 （一）行列式的定義 行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù). 1二階行列式 由4個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為 2三階行列式 由9個(gè)數(shù)得到下列式子： 稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念. 3余子式及代數(shù)余子式 設(shè)有三階行列式 對(duì)任何一個(gè)元素，我們劃去它所在

2、的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素的余子式，記成 例如 ， 再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式. 例如 ， 那么 ，三階行列式定義為 我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡(jiǎn)寫成 4n階行列式 一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式. 5特殊行列式 上三角行列式 下三角行列式 對(duì)角行列式 （二）行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù). 性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào). 推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行

3、列式的值等于零. 推論2 如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零. 性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開. 性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D. 定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即 或 前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式. 本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值. 定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即 或 （三）行列式的計(jì)算 行列

4、式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法： （1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開： 例1計(jì)算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開. 例2 計(jì)算行列式 解：方法1這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)

5、，切忌用文字作字母，因?yàn)槲淖挚赡苋?值.要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行： 方法2 觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與 有相同值的五階行列式： 這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化為零. 例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則 定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的n元線性方程組為 如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解： 其中是把D中

6、第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式. 把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有 定理2 設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組 如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解： 換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零. 第二章 矩陣 （一）矩陣的定義 1矩陣的概念 由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表 稱為一個(gè)m行n列矩陣或矩陣 當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示 23個(gè)常用的特殊方陣： n階對(duì)角矩陣是指形如 的矩陣 n階單位方陣是指形如 的矩陣 n階三角矩陣是指形如 的矩陣 3矩陣與行列

7、式的差異 矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，只有一階方陣是一個(gè)數(shù)，而且行列式記號(hào)“”與矩陣記號(hào)“”也不同，不能用錯(cuò).（二）矩陣的運(yùn)算 1矩陣的同型與相等 設(shè)有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為 因而只有當(dāng)兩個(gè)矩陣從型號(hào)到元素全一樣的矩陣，才能說相等. 2矩陣的加、減法 設(shè)，是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減. 由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律. 3數(shù)乘運(yùn)算 設(shè)，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定 故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有

8、元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同. 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律. 4乘法運(yùn)算 設(shè)，則規(guī)定 其中 由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到. 故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地： 不滿足交換律，即 在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律. 特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣. 矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律

9、. 5方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣 設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定 特別 又若，則規(guī)定 稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣 6矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè)A為一個(gè)矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律： ， 由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣的定義 設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對(duì)稱矩陣. 7方陣的行列式 矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念. 設(shè)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為 方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則 ； （三）方陣的逆矩陣

10、1可逆矩陣的概念與性質(zhì) 設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個(gè)可逆矩陣，意指A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E. 逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則 是可逆矩陣，且； AB是可逆矩陣，且； kA是可逆矩陣，且 是可逆矩陣，且 可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè)P為可逆矩陣，則 2伴隨矩陣 設(shè)為一個(gè)n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）3n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法 定理：n階

11、方陣A可逆，且 推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且， 例1 設(shè) （1）求A的伴隨矩陣 （2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求 解：（1）對(duì)二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號(hào)”即 （2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣 此時(shí) （四）分塊矩陣 1 分塊矩陣的概念與運(yùn)算 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣. 在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后

12、把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對(duì)應(yīng)的子塊. 2準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣 形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊. 若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣 1 初等變換 對(duì)一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換， （1）交換A的某兩行（列）； （2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）； （3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上. 注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣. 初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常

13、用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣. 2初等方陣 由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣. 由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣. 3初等變換與初等方陣的關(guān)系 設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換. 4矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為 對(duì)任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，稱這個(gè)分塊

14、矩陣為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.即對(duì)任一個(gè)矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣 設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換. 例2 求的逆矩陣 解： 則 例3 求解矩陣方程 解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得 也能用初等行變換法，不用求出，而直接求 則 （六）矩陣的秩 1 秩的定義 設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或 零矩陣的秩為0，因而，對(duì)n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣. 2 秩的求法 由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，

15、又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)任一個(gè)矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù). 3與滿秩矩陣等價(jià)的條件 n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對(duì)任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無關(guān) A的行（列）向量組為的一個(gè)基 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組 的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣. （七）線性方程組的消元法. 對(duì)任一個(gè)線性方程組 可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知

16、元列矩陣. 從而線性方程組與增廣矩陣一一對(duì)應(yīng). 對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解. 第三章 向量空間 （一）n維向量的定義與向量組的線性組合 1 n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算 由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣 與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律. 2向量的線性組合 設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱 為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù). 若一個(gè)向量可以表示成 則稱是的線性組合，或稱可用線性表出. 3

17、矩陣的行、列向量組 設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組. 若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組. 4線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法. 向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù). 例1問能否表示成，的線性組合？ 解：設(shè)線性方程組為 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換： 則方程組有唯一解 所以可以唯一地表示成的線性組合，且 （二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 1 線性相關(guān)性概念 設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得 ，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量線性無關(guān). 由定義可知，線性無關(guān)就是指向量等式

18、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 特別 單個(gè)向量線性相關(guān)； 單個(gè)向量線性無關(guān) 2求相關(guān)系數(shù)的方法 設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m 例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性. 解：考慮方程組 其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為 令，得一個(gè)非零解為 則 3線性相關(guān)性的若干基本定理 定理1 n維向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合. 定理2 如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的. 定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必

19、相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān). 定理4 無關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必?zé)o關(guān). （三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩 1向量組等價(jià)的概念 若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià). 2向量組的極大無關(guān)組 設(shè)T為一個(gè)向量組，若存在T的一個(gè)部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個(gè)向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個(gè)極大無關(guān)組. 顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身. 對(duì)于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)： 定理1 向量組T與它的任一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，因而T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià). 定理2 向量組T的任意兩個(gè)極大

20、無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同. 3向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 把向量組T的任意一個(gè)極大無關(guān)組中的所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組T的秩. 把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩. 定理：對(duì)任一個(gè)矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說明，對(duì)于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個(gè)矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組. 例3 求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出： 解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個(gè)矩陣，再用初等行變換把它化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣 易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么

21、相應(yīng)地為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，而且 （四）向量空間 1 向量空間及其子空間的定義 定義1 n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作 定義2 設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對(duì)于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間. 2 向量空間的基與維數(shù) 設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù). 顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是的一個(gè)基. 3 向量在某個(gè)基下的坐標(biāo) 設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成

22、的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo). 第四章 線性方程組 （一）線性方程組關(guān)于解的結(jié)論 定理1 設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是 定理2 當(dāng)n元非齊次線性方程組有解時(shí)，即時(shí)，那么 （1）有唯一解； （2）有無窮多解. 定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是 推論1 設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解 推論2 設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解 （二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間 首先對(duì)任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡(jiǎn)稱為方程組的解. 考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合 顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向