第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題

1、第一篇：理解的基礎(chǔ)上記憶第二篇：記憶的基礎(chǔ)上理解 第二篇 數(shù)學(xué)物理方程本篇介紹物理學(xué)中常見(jiàn)的三類(lèi)偏微分方程及有關(guān)的定解問(wèn)題和這些問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解法。二 邊界問(wèn)題對(duì)于具體的問(wèn)題，必須考慮到所研究的區(qū)域處在什么樣的環(huán)境下，即邊界的區(qū)別。一 數(shù)學(xué)物理方程第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程是從物理問(wèn)題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在各個(gè)地點(diǎn)、各個(gè)時(shí)刻之間相互制約關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。換言之，是物理過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)。如 牛頓定律、熱傳導(dǎo)定律、熱量守恒定律、電荷守恒定律、高斯定律、電磁感應(yīng)定律、胡克定律。數(shù)學(xué)物理方程本身（不包含定解條件）叫數(shù)學(xué)物理方程本身（不包含定解條件）叫 泛定方程泛定方程體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為

2、體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為邊界條件邊界條件。一個(gè)具體的問(wèn)題的求解的一般過(guò)程：三 歷史問(wèn)題歷史上的擾動(dòng)對(duì)以后的狀態(tài)會(huì)有很大的影響。比如：分別用薄的物體和厚的物體敲擊同一弦，研究其后的振動(dòng)。體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為初始條件初始條件。7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1 確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與它的相互作用。2 根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達(dá)這個(gè)作用。3 化簡(jiǎn)、整理。導(dǎo)出步驟：一 均勻弦的微小橫振動(dòng)12T1T2xx+dxxuB分析：3 弦是柔軟的：張力沿弦的切線方向4 輕弦：重力是張力的幾萬(wàn)分之一，不考慮1 力學(xué)問(wèn)題：位移u(x,t)是根本量5只在橫向有

3、位移，縱向沒(méi)有位移2 遵循牛頓第二定律1 確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與它的相互作用。它的相互作用。細(xì)長(zhǎng)而柔軟的弦線，緊繃于A、B兩點(diǎn)之間，作振幅極微小的橫振動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。x+dxTxTx+dxxx+dxxuB在微小振動(dòng)近似下：于是由(7.1.1)有：弦中各點(diǎn)的張力相等)2 . 1 . 7()sin()sin(22tudmTTxdxx) 1 . 1 . 7(0)cos()cos(xdxxTTxdxxxdxxTTTT即0 x2 2 根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達(dá)這個(gè)作用。根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達(dá)這個(gè)作用。3 3 化簡(jiǎn)

4、、整理。化簡(jiǎn)、整理。于是由即：弦的線密度令于是：22xdxxxuxuTtudxxxttTuu 02xxttuauTa )2 . 1 . 7()sin()sin(22tudmTTxdxxdxxuT22由于B B是任選的，所以方程適用于弦上的各處，稱(chēng)為弦的振動(dòng)方程 如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位長(zhǎng)度上受的外力為f, 則2ttxxfua u02xxttuaufdxdxxuTtudx2222Ta 單位質(zhì)量所受外力，力密度utt項(xiàng)反映弦在各個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。 uxx項(xiàng)反映弦上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)彼此相聯(lián) 。 弦的位移是以x,t的函數(shù)，其運(yùn)動(dòng)方程是以x,t為自變量的偏微分方程。 質(zhì)點(diǎn)的位移是以t為自變

5、量的函數(shù)，其運(yùn)動(dòng)是以t為自變量的常微分方程；2ttxxfua uT1T2Bxa2a1uxx+dx例 弦在阻尼介質(zhì)中微小橫振動(dòng)，單位長(zhǎng)度的弦所受的阻力為 F=-Rut推導(dǎo)弦的振動(dòng)方程。解：如圖 選坐標(biāo)系以dx段為研究對(duì)象，弦無(wú)縱向振動(dòng) 由于微振動(dòng)，則有只在運(yùn)動(dòng)的方向二 均勻桿的縱振動(dòng)研究均勻桿上各點(diǎn)沿桿長(zhǎng)方向的縱向位移u(x,t)所遵從的方程。xx+dxuu+du解：如圖選坐標(biāo)系，選dx段為研究對(duì)象,由胡克定律胡克定律得dx段兩邊受拉力分別為xxuYS|dxxxuYS|ttxxdxxxSdxuuuYS)|(楊氏模量密度截面積由牛頓第二定律：ttxxdxxxSudxuuYS|得：此即桿的縱振動(dòng)方程

6、，0 xxttYuu/022Yauauxxtt可寫(xiě)為：如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位長(zhǎng)度單位截面積單位長(zhǎng)度單位截面積所上受的外力為f(x,t), 則2ttxxfua u單位質(zhì)量所受外力，力密度例 用勻質(zhì)材料制做細(xì)圓錐桿，試推導(dǎo)它的縱振動(dòng)方程。 xs1x+dx s2xu(x,t)xxuYS|dxxxuYS|解：如圖選坐標(biāo)系，選dx段為研究對(duì)象,dx段兩邊受拉力分別為ttxxdxxxSdxuSuSuY)|(有牛頓第二定律：ttxxxdxxxuSdxuSuSY| )(| )(attxususxY)(22)(xtgarsxttxuxuxxY22)(0)(222xttuxxxauYa 三 均勻薄

7、膜的微小橫振動(dòng)T1xy平面uT2a分析：2膜是柔軟的：張力在切平面1 力學(xué)問(wèn)題：位移u(x,y,t)是根本量3只在橫向有位移，縱向沒(méi)有位移仰角張力T的橫向分量：nuTTtgaaTsiny+dyyx+dxxxy取膜的小塊，則x和x+dx兩邊上所受的張力：xxuT|dxxxuT|dxdyTudyTuTuxxxxdxxx)|(則膜在兩邊張力的橫向作用為dxdyTuyyy量：方向兩邊張力的橫向分同理，在根據(jù)牛頓第二定律：dxdyTudxdyTudxdyuyyxxtt垂直黑板面垂直黑板面()0ttxxyyuT uu)/(0222Tauautt若膜均勻，則如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位面積單位面積

8、所上受的外力為f(x,y,t), 則),(22tyxfuautt此即二維波動(dòng)方程20ttuTu2222222uuuuuuxyz g拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）方程）方程222222223222uuuxyuuuuxyz單位質(zhì)量所受外力，力密度負(fù)號(hào)：表示方向，熱流方向與溫度升高方負(fù)號(hào)：表示方向，熱流方向與溫度升高方向相反，因此熱傳導(dǎo)定律是帶有方向的。向相反，因此熱傳導(dǎo)定律是帶有方向的。（對(duì)比沒(méi)有方向的胡克定律）（對(duì)比沒(méi)有方向的胡克定律）四 熱傳導(dǎo)方程xx+dxx2 能量守恒定律和熱傳導(dǎo)定律（傅傅里葉里葉定律）1 熱學(xué)問(wèn)題：溫度u(x,t)是根本量q是單位時(shí)間流過(guò)單位面積的熱量

9、(熱流強(qiáng)度）；K為導(dǎo)熱率，與材料有關(guān)，溫度范圍不大時(shí)，視為常數(shù)。分析：熱流（1） dt時(shí)間內(nèi)小段dx溫度升高所需熱量： Q= c(sdx)u(x,t+dt)-u(x,t)dt很小 Q=csu t dx dt（2） dt時(shí)間內(nèi)流入小段dx熱量： Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt) =ksdtuxx dxxukq內(nèi)無(wú)熱源，二者相等Q=csu t dx dt =ksdtuxx dx此即一維熱傳導(dǎo)方程若桿內(nèi)有熱源，熱源密度（單位時(shí)間單位體積放熱量）為f, 則方程變?yōu)?2xxtuaua2=k/(c)cfuauxxt2五 擴(kuò)散方程2 擴(kuò)散定律（斐克定律斐克定律）1 濃度u(x

10、,y,z,t)是根本量q是單位時(shí)間流過(guò)單位面積的粒子數(shù)(擴(kuò)散流強(qiáng)度）；D為擴(kuò)散系數(shù)。qD u dxdzdyzuDqyuDqxuDqzyx,可寫(xiě)成分量形式xz體內(nèi)濃度的變化取決于穿過(guò)它表面的擴(kuò)散流，單位時(shí)間內(nèi)x方向凈流入粒子數(shù)：()()xxxx dxxx dxxxqqdydzuuDDdydzu Ddxdydzxx 同理，單位時(shí)間內(nèi)y，z方向凈流入粒子數(shù)分別為：DdxdydzuzzDdxdydzuyydxdzdy根據(jù)粒子數(shù)守恒：濃度濃度*體積對(duì)時(shí)間的變化率體積對(duì)時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間流入的粒子數(shù)Ddxdydzuuudxdydztuzzyyxx)(02uaut此式為輸運(yùn)方程a2=D六 泊松方程在充

11、滿(mǎn)了介電常數(shù)為的電解質(zhì)，電荷的體密度為（x,y,z)，研究該區(qū)域的靜電場(chǎng)。 勢(shì)函數(shù)u(x,y,z)是根本量, 在所研究的區(qū)域中，任作一閉合曲面s，圍出一空間，由高斯定理：dsdsE1dEddEsdsE1所以又因?yàn)閡E所以此即泊松方程，若所討論區(qū)域無(wú)電荷，則為0uu02uaut對(duì)于擴(kuò)散方程 ，當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，ut=0 達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即濃度的穩(wěn)定分布方程。例1 長(zhǎng)為l的柔軟均質(zhì)繩索，一端固定在以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的豎直軸上，由于慣性離心力的作用，這弦的平衡位置應(yīng)是水平線。試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程。 XYxx+dx解：如圖選坐標(biāo)系，由于慣性離心力的作用，繩內(nèi)各處受力不同，x處的水平拉力為cos1豎直方

12、向：例2 混凝土澆灌后逐漸放出“水化熱”放熱速率正比于當(dāng)時(shí)尚存的水化熱密度，即 。試推導(dǎo)澆灌后的混凝土內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程。解：澆灌后混凝土中在初始時(shí)刻存儲(chǔ)的水化熱密度為0，則t時(shí)刻存儲(chǔ)的水化熱密度為： Bdtd00tdB dt考慮dv中有熱源，則在單位時(shí)間內(nèi)dv熱量的增加為又有熱力學(xué)第一定律，在單位時(shí)間內(nèi)在dv內(nèi)凈增加的熱量可表示為兩式相等，所以例3積分T1T2xa2a1uT1T2xa2a1u（4 4）牛頓牛頓(Newton)(Newton)冷卻定律冷卻定律: : 單位時(shí)間內(nèi)從周?chē)閱挝粫r(shí)間內(nèi)從周?chē)橘|(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比差

13、成正比, , 即：即：dQ=H(udQ=H(u1 1-u-u) 這里這里u u1 1是外界媒質(zhì)的溫度是外界媒質(zhì)的溫度. .H H為比例系數(shù)為比例系數(shù) (5) (5) 擴(kuò)散定律擴(kuò)散定律 即斐克即斐克 （FickFick） 定律定律: : 單位時(shí)間內(nèi)擴(kuò)單位時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散流過(guò)某橫截面的雜質(zhì)量散流過(guò)某橫截面的雜質(zhì)量m m 與該橫截面積與該橫截面積s s 和濃度和濃度梯度梯度u/n n成正比，即：成正比，即：m=-Ds m=-Ds u/n 1) 雙曲型方程雙曲型方程 （Hyperbolic Equation ） ：以波動(dòng)方程以波動(dòng)方程為代表為代表 的方程的方程 它描繪了各向同性的彈性體中的波動(dòng)、振動(dòng)過(guò)程，或

14、聲它描繪了各向同性的彈性體中的波動(dòng)、振動(dòng)過(guò)程，或聲波、電磁波的傳播規(guī)律波、電磁波的傳播規(guī)律 2) 拋物型方程拋物型方程 （Parabolic Equation ） ：以熱傳導(dǎo)方程以熱傳導(dǎo)方程（或輸運(yùn)方程）（或輸運(yùn)方程） 為代表為代表 的方程的方程 它主要描述擴(kuò)散過(guò)程和熱傳導(dǎo)過(guò)程所滿(mǎn)足的規(guī)律它主要描述擴(kuò)散過(guò)程和熱傳導(dǎo)過(guò)程所滿(mǎn)足的規(guī)律. . fuaut2fuautt2雙曲型方程和拋物型方程雙曲型方程和拋物型方程都是隨時(shí)間都是隨時(shí)間變化（或變化（或發(fā)展）的發(fā)展）的,有時(shí)也稱(chēng)為發(fā)展方程有時(shí)也稱(chēng)為發(fā)展方程. 3）橢圓型方程橢圓型方程（Elliptic Equation）：）： 以以泊松方程泊松方程為為代

15、表的代表的方程方程 當(dāng)當(dāng)，即退化為拉普拉斯方程，即退化為拉普拉斯方程. . 它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過(guò)程規(guī)律的它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過(guò)程規(guī)律的偏微分方程偏微分方程. . 在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場(chǎng)、在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、穩(wěn)恒流的速度勢(shì)等規(guī)律靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、穩(wěn)恒流的速度勢(shì)等規(guī)律 ( , , )0f x y z ( , , )uf x y z 哈密頓算符：; ;nablanbl2222222:u:u:uijkxyzuuuuijkxyzuuuuxyzuuuuuuuxyz 標(biāo)量函數(shù) 的梯度矢量函數(shù) 的散度矢量函數(shù) 的旋度rrrrrrrrg

16、rrg7、2 定解條件 一 初始條件 ：1.定義： 是研究系統(tǒng)的物理量在開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)刻的初始分布2 初始條件的特征： 偏微分方程對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)應(yīng)于初始條件中的數(shù)目一階含時(shí)偏微分方程，有一個(gè)初始條件二階含時(shí)偏微分方程，有兩個(gè)初始條件： 02xxttuau),(| ),(0zyxtzyxut),(| ),(0zyxtzyxutt3 注意問(wèn)題：（1）、初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點(diǎn)處的情況，例例 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為l的弦，兩端固定于的弦，兩端固定于 x x和和l. l.在在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為距離坐標(biāo)原點(diǎn)為b的位置將弦沿的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離著橫向拉開(kāi)距離，如圖，如圖 所示，所示

17、，然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始條件條件 【解解】 初始時(shí)刻就是放手初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有 x h 0| ),(0tttxubh初始位移如圖所示，除兩端點(diǎn)固定外，弦上各點(diǎn)初始位移如圖所示，除兩端點(diǎn)固定外，弦上各點(diǎn)均有一定的位移，寫(xiě)出如圖所示的直線方程，得到初均有一定的位移，寫(xiě)出如圖所示的直線方程，得到初始位移為始位移為bxxbhbxxlblhttxu)(0),(（2）、初始條件中不含時(shí)間，只是坐標(biāo)的函數(shù)或常數(shù) 研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對(duì)象所處研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對(duì)象所處的特定的特

18、定“環(huán)境環(huán)境”，而周?chē)h(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上，而周?chē)h(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊界條件的物理狀況，即邊界條件 常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類(lèi)：常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類(lèi)： 二二 邊界條件邊界條件 ： 邊界邊界上的物理量上的物理量始終始終具有的情況。具有的情況。第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方 向?qū)?shù)的數(shù)值；向?qū)?shù)的數(shù)值；第一類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；第三類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的，規(guī)定了所

19、研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值線性組合在邊界上的數(shù)值. .（1 1）第一類(lèi)邊界條件）第一類(lèi)邊界條件： 直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式 比如：弦的兩端固定0| ),(| ),(0lxxtxutxu若弦的兩端按固定規(guī)律運(yùn)動(dòng))(| ),()(| ),(0tgtxutftxulxx（2 2）、第二類(lèi)邊界條件：）、第二類(lèi)邊界條件：規(guī)定了系統(tǒng)邊界上物理量法向方向上的方向?qū)?shù)的函數(shù)形式。例1：桿在x=a處絕熱。x熱流例：熱傳導(dǎo)的桿在x=a端自由冷卻，自由冷卻的意思是：界面法向方向上的熱流與桿端溫度和環(huán)境的溫差成正比邊界條件概括為：(aunbu)|f(t) 0a時(shí) 第一類(lèi)邊界條件 =0

20、 時(shí) 第二類(lèi)邊界條件 0, 0ba時(shí)，第三類(lèi)邊界條件 （3）、系統(tǒng)幾個(gè)邊界就有幾個(gè)邊界條件3 注意的問(wèn)題：（1）、邊界條件中不是系統(tǒng)的初始條件（2）、邊界條件只是時(shí)間的函數(shù)1、定義：由于某種原因，由于物理量在某些點(diǎn)上發(fā)生突變，則使系統(tǒng)分為兩部分，使偏微分方程為兩部分或多部分。每個(gè)部分都滿(mǎn)足偏微分方程，但在這點(diǎn)（或區(qū)域上）對(duì)方程來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于邊界而又無(wú)法給出邊界條件。三、銜接條件2、銜接條件：如右圖的弦連續(xù)性), 0(0txu=), 0(0txux x0F21 豎直方向受力平衡：（1）、銜接條件只是時(shí)間的函數(shù)（2）、銜接條件常常由物理規(guī)律給出。注意問(wèn)題：1、當(dāng)系統(tǒng)由于某種原因，方程只在兩個(gè)子區(qū)域內(nèi)

21、成立，給出兩區(qū)域的初始狀態(tài)：四、常見(jiàn)問(wèn)題的初始條件，邊界條件，銜接條件：x x0F21確定C：) 1 (sin11hctgaa)2(sin22hlctgaa1coscos21aads=dx力平衡條件： )4(0coscos)3(0sinsin112222110aTaTaTaTFx hF0習(xí)題1 如右圖 初始位移為：)()0(|0lxhxlhlchxxhcut21)5(021TTT（1）（5）解出：hlcThcTF000lThlhFc00)( )()0()(|00000lxhxllThFhxxlThlFut若端點(diǎn)是自由的，則例3、長(zhǎng)為l的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為 ，0q寫(xiě)出這個(gè)熱傳導(dǎo)

22、問(wèn)題的邊界條件。3 桿的熱傳導(dǎo)：解：在邊界上有：若端點(diǎn)是絕熱的，則4、電介質(zhì)的銜接條件：電勢(shì)電位移矢量nnDDuu2121nnEEuu22011021nunuuu221121初始條件一維弦振動(dòng)未知函數(shù)對(duì)時(shí)間為二階，需要兩個(gè)初始條件初始位移處于平衡位置： u|t=0 = 0兩端固定，在c點(diǎn)拉開(kāi)距離h： u|t=0 = hx/c， 0 xc; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，cxL;初始速度處于靜止?fàn)顟B(tài)： ut|t=0 = 0在c點(diǎn)受沖量I： ut|t=0 = I (x-c)/m邊界條件舉例 典型線性邊界條件一維弦振動(dòng)固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/k一維桿振動(dòng)

23、固定端 u |x=0 = 0自由端 ux|x=0 = 0受力端 ux|x=0 = F/YS一維熱傳導(dǎo)恒溫端 u |x=0 = a 絕熱端 ux|x=0 = 0吸熱端 ux|x=0 = F/k7、3數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)一 方程的分類(lèi)：1.數(shù)學(xué)物理方程的一般形式2.方程的分類(lèi);按其符號(hào)，將方程化為三種類(lèi)型; 7、4達(dá)朗貝爾公式 定解問(wèn)題一 達(dá)朗貝爾公式對(duì)于常微分方程我們常來(lái)用先求出通解，然后利用附加條件給出通解中所含的常數(shù)，能否利用此方稱(chēng)來(lái)求解偏微分方程呢？ 2 將方程變?yōu)橥ㄟ^(guò)積分可得通解的形式若我們可將關(guān)于z(x,y)的偏微分 方程化為形式， 02yxz則可通過(guò)積分求出z(x,y)1.問(wèn)題的提出：

24、以一維波動(dòng)方程為例進(jìn)行討論02xxttuau若令tax)( 則則有：02u為了書(shū)寫(xiě)方便 ，作代換 )(21)(21atxatxatx波動(dòng)方程為： 0422ua則有：02u3 積分求通解：02u積分一次)(fu所以通解為)()(),(21atxfatxftxu4 通解的物理意義：若)(2xf是波在t=0時(shí)的波形。選動(dòng)坐標(biāo)系，以速度a沿x正向移動(dòng)，則坐標(biāo)變換tTatxX)()(22Xfatxf則靜坐標(biāo)系的波形)(2xf和動(dòng)坐標(biāo)系的波形f2(X)完全相同，說(shuō)明t時(shí)刻的波形f2(x-at)是由t=0 時(shí)刻的波形沿+x方向平移at得來(lái)的，即這種波保持波形不變，沿+x方向保持的運(yùn)動(dòng)波行波。 5 波形的具體

25、形狀的確定若所討論的問(wèn)題是在無(wú)界空間無(wú)界空間中，則無(wú)邊界條件。只有初始條件，初始條件為： )(|0 xut)(|0 xxutt將初始條件帶入通解而有：) 1 (),()()(|210 xxfxfut)2(),()( )( |210 xxafxafutt將（2）積分有：由（1）（3）得：帶回到通解有：注意上述是t=0時(shí)的x, t時(shí)刻達(dá)朗貝爾公式這是偏微分方程的定解6 定解的物理意義：例如 弦的初始速度為零,初始位移如圖 Xx1)(xx2)(2121xx u011( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda =由達(dá)朗貝爾公式x1x2t=0t1t2t3t4例2 初始位移為

26、零，初速度為：由達(dá)朗貝爾公式121100112002120,()11()()2211()()22xxxxxxdxxxxxaadxxxxaax(X)x1x2x(X)x1x2因此u(x,t)是如下圖形的疊加傳播x)(atx ()xatt=0時(shí)( , )()()u x txatxat二、半無(wú)界空間達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用1、問(wèn)題的提出： 以一維橫振動(dòng)為例)( , 02xuauxxtt),(|0 xut)(x),(|0 xutt)(x而對(duì)于半無(wú)界空間，在x0區(qū)域，初始條件不存在，如何來(lái)解決此問(wèn)題？2 解決問(wèn)題的基本思路實(shí)際問(wèn)題是在x=0處存在邊界條件，我們可以將半弦視為無(wú)限長(zhǎng)度的一部分，且將在x=0處的邊界

27、條件處的邊界條件虛擬為x0部分的初始條件部分的初始條件來(lái)代替： 3 滿(mǎn)足邊界條件的虛擬x0部分初始條件的確定（方法）實(shí)際定解問(wèn)題：令x=at所以對(duì)于x=0處固定的半無(wú)界問(wèn)題，我們只需要將初始條件做奇延拓即可，就得到能夠滿(mǎn)足邊界條件的達(dá)朗貝爾公式給出的解得表達(dá)形式。 這樣給出解為： 解的物理意義：端點(diǎn)的影響表現(xiàn)為反射波，反射波的相位與入射波相反，這就是所謂的半波損。5半無(wú)界空間問(wèn)題的推廣：在x=0處-為uxx=0=0自由端 作偶延拓達(dá)朗貝爾法小結(jié)：達(dá)朗貝爾法小結(jié)：20,()(1)ttxxua ux ),(|0 xut()(2)x ),(|0 xutt()(3)x 的解為：的解為：方程（方程（1）的通解為：）的通解為：)()(),(21atxfatxftxu1 解決問(wèn)題解決問(wèn)題行波法：行波法：2 半無(wú)界空間達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用半無(wú)界空間達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用對(duì)于x=0