常微分方程奇解與包絡(luò)

1、2.4 singularly solution singularly solution2.4 奇奇 解解/Singularly solution/ 2.4 singularly solution singularly solution2.4 奇解奇解包絡(luò)和奇解包絡(luò)和奇解克萊羅方程（克萊羅方程（Clairant EquationClairant Equation）本節(jié)要求：本節(jié)要求： 1 了解奇解的意義； 2 掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.4 singularly solution singularly solution2(0)0dyydxycxcxycxydxydy,)(22xy120

2、cxcxcxy,)(, 020c 2.4 singularly solution singularly solution21d yyd x例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。sin()yxc解：該方程有通解此外還有兩個特解y=1和y=-12.4 singularly solution singularly solutionxy2.4 singularly solution singularly solution定義定義2.3 如果方程存在某一解，在它所對應(yīng)如果方程存在某一解，在它所對應(yīng)的積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，的積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的則稱此

3、解為微分方程的奇解奇解。奇解對應(yīng)的積。奇解對應(yīng)的積分曲線稱為分曲線稱為奇積分曲線奇積分曲線 2.4 singularly solution singularly solution一一 包絡(luò)和奇解的定義包絡(luò)和奇解的定義曲線族的包絡(luò)：曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點，有曲線族中的一條曲線與其在此點相切。奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點相切。這條特殊的積分曲線所對應(yīng)的解稱為方程的奇解奇解。 注注：奇解上每一點都有方程的另一解存在。

4、2.4 singularly solution singularly solution2.4 singularly solution singularly solution例 單參數(shù)曲線族222Rycx )(R是常數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，Ry是曲線族 的包絡(luò)。 222Rycx )(一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡(luò)的。2.4 singularly solution singularly solution注:并不是每個曲線族都有包絡(luò).例如: 單參數(shù)曲線族:222cyx(其中c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡(luò).2.4 singularly

5、solution singularly solution 二、不存在奇解的判別法二、不存在奇解的判別法假設(shè)方程(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域上有定義，如果在D D上連續(xù)且在D D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D D內(nèi)一定不存在奇解。有定義的區(qū)域D D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域上.進一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。 如果存在唯一性定理條件不是在整個2.4 singularly solution singularly solution222()()2d yaxyd xd ybyxd x

6、例：判斷下列方程是否存在奇解2.4 singularly solution singularly solution定理2.6 方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡(luò)線L是(1.9)的奇積分曲線。( ,),(1.9)dyfx ydx證明：證明： 應(yīng)用定理應(yīng)用定理2.1積分曲線與線素場的積分曲線與線素場的關(guān)系的充要條件關(guān)系的充要條件2.4 singularly solution singularly solution三三 求奇解（包絡(luò)線）的方法求奇解（包絡(luò)線）的方法l C-判別曲線法判別曲線法l P-判別曲線法判別曲線法設(shè)一階方程0),(yyxF的通積分為。0),(Cyx1 C-判別曲線法判別曲線

7、法結(jié)論結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲線中。2.4 singularly solution singularly solution00),(),(CyxCyxC設(shè)由能確定出曲線為)(),(:CyyCxxL 則0),(),(CCyCx對參數(shù) C 求導(dǎo)數(shù)0),(),()(),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx從而得到恒等式0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx2.4 singularly solution singularly solution0)(),(),()(

8、),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx當),(),(CyxCyxyx至少有一個不為零時有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy這表明曲線 L 在其上每一點 (x(C), y(C) ) 處均與曲線族中對應(yīng)于C的曲線 相切。0),(Cyx注意：注意： C-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗。檢驗。2.4 singularly solution singularly solution例例1 求直線族0pyxsincos的包絡(luò)，這里 是參數(shù)，p 是常數(shù)

9、。解：解：對參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)0cossinyx聯(lián)立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，經(jīng)檢驗，其是所求包絡(luò)線。xyop2.4 singularly solution singularly solution例例2 求直線族03232)()(cxcy的包絡(luò)，這里 c 是參數(shù)。解：解：對參數(shù) c 求導(dǎo)數(shù)02)(cxcy聯(lián)立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx從 得到0cxxy 從 得到92 xy032 )(cx因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗， 是

10、所求包絡(luò)線。92 xy2.4 singularly solution singularly solutionxyoxy 92 xy2.4 singularly solution singularly solution2 p-判別曲線判別曲線結(jié)論結(jié)論：方程 的奇解包含在下列方程組00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去 p 而得到的曲線中。注意：注意： p-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗。檢驗。2.4 singularly solution singularly solution例例3 求方程0122ydxdy的奇解。解：解：

11、從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗，它們是方程的奇解。020122pyp1y因為易求得原方程的通解為)sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包絡(luò)。1y2.4 singularly solution singularly solution例例4 求方程22dxdydxdyxy的奇解。解：解： 從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗， 不是方程的解，故此方程沒有奇解。02222pxpxpy2xy 注意：注意： 以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得p-判判別曲線和別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進行檢驗。判別曲線是不是奇解，必需進行檢驗。2.4 si

12、ngularly solution singularly solution 3 克萊羅方程克萊羅方程形式)(pfxpy其中)(,pfdxdyp 是 p 的連續(xù)函數(shù)。解法解法ppfpxpp)(0ppfx)(0 pcp )(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解2.4 singularly solution singularly solution結(jié)果結(jié)果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直線族,此直線族的包絡(luò))(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對應(yīng)的解是奇解.2.4 singularly sol

13、ution singularly solution例例5 求解方程pxpy1解：解： 這是克萊羅方程，因而其通解為消去 c，得到奇解xy42cxcy1cxcycx1012從2.4 singularly solution singularly solutionxyOxy42.42xy 如圖:此方程的通解是直線族:,1ccxy而奇解是通解的包絡(luò):2.4 singularly solution singularly solution例例6 求一曲線，使在其上每一點的切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積都等于2。解解 設(shè)要求的曲線為)(xyy 過曲線任上一點 的切線方程為),(yxyxXxyY)(其與

14、坐標軸的交點為),(yyxxyy 切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積為2 21)(yyxxyy2.4 singularly solution singularly solution2 21)(yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2這是克萊羅方程，因而其通解為112cxcyxcc22 消去 c，得到奇解1xy從02222cxxccy這是等腰雙曲線，顯然它就是滿足要求的曲線。2.4 singularly solution singularly solution直線族及其包絡(luò)線2.4 singularly solution singularly solution2222( )2 909,

15、22190,221903,3229,22x yyyxxxpyp ypdppxpdxpyxpdppcxpcxydxxc 例7 求方程 的解.解 令 求導(dǎo)后整理得由得由得即2.4 singularly solution singularly solution利用利用Maple可以得到這個方程的解曲線如下可以得到這個方程的解曲線如下:注意注意:y=3x和和y=-3x是非常特殊的解是非常特殊的解,其它解與這兩條直線相切其它解與這兩條直線相切.restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);2.4 singularly solution singularly solution本節(jié)要點本