第十二章離散小波變換

1、Digital Signal Processing Digital Signal Processing q小波函數(shù)尺度離散化方法 ,1( )(),0,attaaa 210120000000,1,.,.jaaajZaa aaaa或冪級數(shù)基底a0的取值反映了尺度離散化程度 a0越接近1，離散化程度越低,越大于1，離散化程度越高 離散化程度高，從離散小波變換結果恢復（重建）分析信號的難度就越大，對母小波的要求越高 尺度參數(shù)離散化的常用冪級數(shù)基底a0=2 Digital Signal Processing q小波函數(shù)位移離散化方法 位移 的離散化間隔 001aa00,kkZ 位移 的離散化間隔 01j

2、aa00( )()jjata taa在時間方向擴展倍00,jk akZ00jaDigital Signal Processing q小波函數(shù)離散化 00000,000,( )()( ),jjjjjaa akaaktaa tktjkZ00*00,( , )(,)( )( )jjxxakWTj kWT akx tt dtq離散小波變換 離散小波變換中的“離散”含義是指對尺度參數(shù)和位移參數(shù)進行離散化，并沒有對分析信號和小波函數(shù)中的時間變量進行離散化 Digital Signal Processing q尺度和位移離散化的規(guī)則 Digital Signal Processing q框架定義( ),kt

3、 kZ0AB 222( )( ),( )( )kkA x tx ttB x t2( ),( )kt kZL R稱構成空間的一個框架 ( )( ),( )kkT x tx tt框架甚至是緊框架不一定能構成空間的的一個基。這意味著任一信號按基函數(shù) 展開時，其展開系數(shù)不一定具有唯一性 ( ),kt kZDigital Signal Processing q對偶框架 1*( )( ),kktF Ft kZ22211( )( ),( )( )kkBx tx ttAx tq原函數(shù)的重建 ( )( ),( )( )jjjx tx ttt( )( ),( )( )jjjx tx tttDigital Sign

4、al Processing q對偶框架的計算和原函數(shù)的重建 當 時1AB( )( )jjtt( ),，jtjZ構成正交基信號分解具惟一性( )( ),( )( )jjjx tx ttt當 時，緊框架 1AB信號分解不具惟一性1( )( )jjtAt1( )( ),( )( )jjjx tAx ttt最經濟重建公式Digital Signal Processing 當 時AB2( )( )jjttAB對偶框架的一階近似2( )( ),( )( )( )2( ),( )( ),jjjjjjx tx tttRx tABBAx tttRABBA近似重建公式0112( )( ),( )( )2( )(

5、)( ),( )( ),( )( )jjjNNjNjjjx tx tttABxtxtx ttxtttAB精確重建遞推公式Digital Signal Processing q小波框架 小波框架的定義 尺度、伸縮離散化構成的函數(shù)簇 00,( ),jaktjZkZ00222,( )( ),( )( )jakjkA x tx ttB x t00,0( ),jakABtjZkZ 當構成小波框架小波框架的頻域表示 00002lnln1220( )aaAdB Digital Signal Processing 對偶小波框架和信號重建當 時1AB當 時，緊框架 1AB0000,( )( )jjakaktt0

6、0000000,( )( ),( )( )( )( )jjjjakakakakjkjkx tx tttWTtt00001,( )( )jjakaktAt000000001,1,( )( ),( )( )( )( )jjjjakakjkakakjkx tAx tttAWTtt當 時AB0000,2( )( )jjakakttAB0000,2( )( )( )jjakakjkx tWTttABDigital Signal Processing q連續(xù)小波變換離散化參數(shù)和框架的關系 21/42/22( )(1)3ttteDigital Signal Processing q小波框架的性質 滿足框架條

7、件的小波函數(shù)必然是允許小波 離散小波變換不具備時移不變特性 Digital Signal Processing 離散小波的重建核方程 00,0 000000,000 0000000,0 0000*000*,*,00,1(,)( )( )1( )( )( )1( )( )( )1( )(,; , )jakjjjakjjjakjjxakakjkakakjkakjkWT akx tt dtAWTttt dtAWTttt dtAWTt Kj kj kA000000,0 000 00*00,(,; , )( )( )( ),( )jjjjakakakakKj kj ktt dttt正交小波基：00(,;

8、 , )() ()Kj kj kjjkkDigital Signal Processing q小波級數(shù) 離散化尺度的冪級數(shù)基底和位移離散化參數(shù) 的離散小波變換 002,1a定義 R小波 和 Riesz基 00,2 ,( )( )( ),jjj kkaktttjZkZ2,( )j kclZ222,( )j kj kj kj kjkA cctB c,( ),j ktjZkZR小波與框架小波相比，具有更高的要求 Digital Signal Processing 小波級數(shù)表達式 ,( )( )j kj kjkx tdt對偶R小波 , ( ),( )() ()j kj kttjjkk,( ),( )j

9、 kj kdx tt,( )( ),( )( )j kj kjkx tx ttt,( )( ),( )( )j kj kjkx tx ttt計算小波級數(shù)的關鍵是尋找R小波和求解對偶小波 Digital Signal Processing q小波分類 正交小波 是一個R小波 ( ) t 滿足正交性條件 , ( ),( )() ()j kj kttjjkk正交小波具有自對偶 ,( ),j ktjZkZ,( )( )j kj ktt小波級數(shù)系數(shù) ,( ),( )j kj kdx ttDigital Signal Processing 半正交小波 是一個R小波 ( ) t 僅在尺度方向滿足正交性條件

10、對偶小波 ,( ),j ktjZkZ小波級數(shù)系數(shù) ,( ),( )()j kj kttjj2( )( )(2)kk ,( ),( )j kj kdx ttDigital Signal Processing 半正交小波 是一個R小波 ( ) t 尺度和位移方向均不滿足正交性條件 對偶小波與原R小波在尺度和位移方向正交,( ),j ktjZkZ小波級數(shù)系數(shù) ,( ),( )j kj kdx tt, ( ),( )() ()j kj kttjjkkDigital Signal Processing q小波函數(shù)的重要特性 正交性 適合重建精確度和數(shù)據壓縮 緊支撐性 減少截斷誤差影響信號重建精確度 線性

11、相位性 小波函數(shù)具有奇對稱或偶對稱性減少相位失真 Digital Signal Processing 尺度和位移都離散化的離散小波變換犧牲了位移不變性 二進小波變換只對尺度進行離散化處理位移仍連續(xù)變化 00/22 ,( )( )2(),2jjjjattt 二進小波變換在信號的奇異性檢測和圖像處理方面有著廣泛應用 Digital Signal Processing q二進小波變換 定義 /2,( , )( )*( )2( )()2jxkkjtWTjx ttx tdt二進小波變換定義成卷積形式，CWT是內積形式 ( )()tt定義/2,/2,( , )( )*()2( ) ()22sgn( )(

12、),( )jxkkjjktWTjx ttx tdtjx ttDigital Signal Processing 二進小波的逆變換 二進小波構成框架小波時 222,( )( ),( )( )jjA x tx ttB x tA=B=1 A=B!=1 A!=B,( )( )jjtt,( )( , )( )xjjx tWTjt d,( )( )jjtt1,( )( , )( )xjjx tAWTjt d,1( )( , )( )xjjx tWTjt dABDigital Signal Processing q二進小波的其它要求 二進小波以2為基底的尺度二進剖分之后，要求小波尺度函數(shù) 的頻譜能夠覆蓋整個

13、頻率軸 1012,2 ,2 ,.,( ),( ),( ).ttt小波函數(shù)的頻域局域化指標 *2 ,( )22 ,2222jjjjjt中心頻率和帶寬之比 *rDigital Signal Processing 小波尺度伸縮后覆蓋頻譜情況 r=3/2,正好無縫對頻率軸實現(xiàn)二進剖分 1設r3/2,設r=2 *21221221222 ,2222313131313131.44,4422,2211,11 .222222222222.4,82,41,2 .8,44,22,1jjjjj zjjjjjjjjj .相鄰二進小波之間的頻帶相互重疊 相鄰二進小波之間的頻帶存在間隔 Mexican Hat小波 */0.

14、25/0.2251.11r Digital Signal Processing 框架理論給出了正交小波需要滿足的條件 如果找到正交小波可將 空間的函數(shù)轉換成 空間的數(shù)列 2( )L R2( )lZ,( )( )j kj kjkx tdt如何尋找頻率特性好的正交小波？ 多分辨率分析MRA不但為離散小波變換提供了快速算法，也為正交或雙正交小波基的構造提供了一種通用方法 Digital Signal Processing q信號的頻域二進剖分 MRA在不同尺度（頻域區(qū)間）對信號進行觀察 大尺度（長時間窗）觀察信號全貌或信號的緩變成份，或對信號進行粗略逼近 小尺度（短時間窗）觀察信號局部或信號的快速變

15、化成份 信號在頻域的二進剖分（頻率已歸一化）Digital Signal Processing 頻域剖分過程就是不斷濾波過程Digital Signal Processing 頻域剖分至第J級時，信號的分解形式120JJVWWWVWj是各級分解的細節(jié)成份，由低通濾波得到 Vj是各級分解的近似成份，由高通濾波得到 Wj與WJ正交，頻域互不重迭，頻域的分解具有恒Q特性 ijWW*132jj12jjB*23jjBQDigital Signal Processing q信號的多分辨率分析 多分辨率分析指滿足下列條件的一個空間序列 ,jVjZ一致單調性 逼近性 尺度伸縮規(guī)則 固定尺度下的平移不變性 正交

16、基存在性 012.VVV 20 ,( )jjj Zj ZVVL R1( )(2 ),jjx tVxtVjZ( )()jjx tVx tnV0() ,(), ()()Vspantntjtjjj(),tn nZ一個多分辨率分析對應一個尺度函數(shù) Digital Signal Processing V3V0V1V2多分辨率分析的空間示意圖 Digital Signal Processing 小波空間和小波函數(shù) 尺度空間之間相互包含不具有正交性 定義尺度空間的正交補空間 1jjjjjVVWWV稱 是小波空間 ,jWjZ小波空間示意圖V1W2W3V3V0V2W1Digital Signal Process

17、ing 正交基存在性： 小波空間的特性 正交性 逼近性 尺度伸縮規(guī)則 , , ,jkWWjk j kZ2( ),jL RWjZ 1( )(2 ),jjx tWxtWjZW1空間的一組正交基 (),tn nZ1() ,(),()()Wspantntjtjjj一個多分辨率分析對應一個小波函數(shù) Digital Signal Processing q信號的多分辨率分析 對 空間按如下方式分解 2( )L R2( )JjJjL RWV計算信號x(t)在各空間下的投影 ,( )( )( )Jj kj kJ kJ kjkkx tdtct 當分解尺度J趨向無窮大，信號全部分解在小波空間 ,( )( )j kj

18、 kjkx tdt 0JV 小波級數(shù)分析時框架常數(shù)A=B=1時信號重建公式，與上式完全相同。MRA分析從空間二進剖分角度得到了信號的正交小波分解 Digital Signal Processing q尺度函數(shù)和小波函數(shù)的性質 不同位移的兩個尺度函數(shù)正交 , ( ),( )()j kj kttkk小波函數(shù)的伸縮平移函數(shù)對尺度和平移參數(shù)正交 , ( ),( )() ()j kj kttjjkkWj和Vj空間正交 , ( ),( )()j kj kttkkDigital Signal Processing qMRA分析中的雙尺度方程 V0空間的一次分解011VVWV0空間正交基(),tn nZV1空

19、間的尺度函數(shù) 在V0空間展開 W1空間的小波函數(shù) 在V0空間展開 1,0( ) t1,0( ) t1,01( )( )( ) ()22ntth ntn1,01( )( )( ) ()22nttg ntn*1,0( )( ), ()2( )(2 )h nttnttn dt*1,0( )( ), ()2( )(2 )g nttnttn dtDigital Signal Processing MRA分析的雙尺度方程 1,01( )( )( ) ()22ntth ntn1,01( )( )( ) ()22nttg ntnVj空間的分解 11jjjVVW1()2( ) ()22jjntth nn1()2

20、( ) ()22jjnttg nnMRA分析的表示方法MRA分析的表示方法( )( ),( )( )tth ng n與或與Digital Signal Processing q信號在MRA分解空間上的投影設信號在Vj-1空間的投影是:1,jncnZ1,1,( )( )jnjnnx tct1,1,( ),( )jnjncx ttVj空間的投影與Vj-1空間投影的關系,1,1,1,1,( ),( )( ),( )( ),( )j kj njnjnj njnjnj nnncx ttcttctt1221,11*( ),( )2()2()221( ) ()()2221(2 ) ( )()(2 )22jj

21、jnj njjjttttnk dttttnk dtttunku dtkuh nk令令*,1,(2 )j kjnncch nkDigital Signal Processing Wj空間的投影與Vj-1空間投影的關系*,1,(2 )j kjnndcg nkMRA投影過程 Digital Signal Processing MRA分解的濾波器實現(xiàn) Vj空間的投影與Vj-1空間投影關系的濾波器結構*,1,(2 )j kjnncch nk*1,1,( )( ()()jnjnnny kchknch nk( )y kWj空間的投影與Vj-1空間投影關系的濾波器結構Digital Signal Proces

22、sing MRA分析分解過程的完整濾波器實現(xiàn)結構 Digital Signal Processing q信號空間分解的重建過程 設信號在空間Vj的投影序列是:設信號在空間Wj的投影序列是:,j kckZ,j kdkZ設信號在空間Vj-1的投影序列是:1,jkckZ1jjjVVW1, ( )( )( )jj kj kj kj kkkPx tctdt1,11,1,1, ( ),( )( ),( )( ),( )jkjjkj kj kjkj kj kjkkkcPx ttcttdtt*,1,1,( ),( )(2 ),( ),( )(2 )j kjkj kjktth nkttg nk因為*1,(2 )

23、(2 )jkj kj kkkcch nkdg nk所以空間Vj的投影和Wj空間投影重建Vj-1空間投影Digital Signal Processing 空間Vj的投影和Wj空間投影重建Vj-1空間投影的濾波結構*1,(2 )(2 )jkj kj kkkcch nkdg nk序列 經過 濾波輸出 ,0,j kj kckek為奇數(shù)為偶數(shù)*( )h n*,( )()(2 )j kj kkky neh nkch nk序列 經過 濾波輸出 ,0,j kj kdkek為奇數(shù)為偶數(shù)*( )gn*,( )()(2 )j kj kkky neg nkdg nkDigital Signal Processing

24、 空間Vj的投影和Wj空間投影重建Vj-1空間投影的完整濾波結構Digital Signal Processing q信號空間分解的濾波器實現(xiàn)結構-Mallta算法 Digital Signal Processing qMRA分析的表示方式 尺度函數(shù)的小波函數(shù)(適合CWT和二進WT)高通濾波器g(n)和低通濾波器h(n),適合離散正交小波變換通過濾波器組的精確重建理論尋找小波函數(shù)Digital Signal Processing qMRA分析的一級空間分解和一級空間綜合一級空間分解和一級空間綜合的濾波器實現(xiàn)結構分解結果不作任何處理時，綜合結果必須與輸入完全.實際上相當于雙通道濾波器的精確重建

25、問題Digital Signal Processing qMRA分析濾波器組需要滿足的條件雙通道濾波器的精確重建條件( )( )( )( )kH z H zG z G zcz()( )()( )0Hz HzGz G zMRA分析對濾波器組的要求(主要是各空間之間的正交性)( )( )()()2H z HzHz Hz( )( )()()2G z G zGz Gz11( ) ()() ()0H z G zHz Gz濾波器的頻率特性要求h(n)有好的低通特性,g(n)有好的高通特性h(n),g(n線性相位性等Digital Signal Processing qMRA分析和精確重建的雙通道濾波器組的

26、解 Daubechies給出的CQF形式解 11( )2( )2pzH zF z12011 cos()2jpjjpjF ej P=2時 121()2cos2( ) ()222jjjeezzF eF z F z11( )(13)(13)2F zz112 1( )() (13)(13)22zH zzDigital Signal Processing q雙正交小波 分析濾波器H(z)和G(z)滿足正交性要求時，濾波器會失去對稱性,不能滿足線性相位特性 放棄H(z)和G(z) 正交性約束，換取線性相位特性 Digital Signal Processing q由濾波器組參數(shù)推導小波函數(shù)和尺度函數(shù) MR

27、A分析與濾波器精確重建理論一致 通過濾波器的精確重建理論可計算重建濾波器組 通過濾波器組計算小波函數(shù)和尺度函數(shù)的意義 計算的小波函數(shù)可用于CWT或二進小波變換 通過對小波函數(shù)和尺度函數(shù)頻譜分析可評價小波分析質量MRA分析時只需用到濾波器組的四個濾波器 Digital Signal Processing 時域迭代法 10( )2( ) (2)Nnth ntn雙尺度方程1110( )( )2( )(2)NkkkntTth ntn000( )0,1,sup ( )0,tptt設初值屬于緊支集0(21)limsup ( )lim 0,0,12kkkkktNptN并不是所有h(n)都能迭代收斂 Digi

28、tal Signal Processing 逐點計算法 ( ),0,1,.,1h n nN0j (0)2(0) (0)(1)2(0) (2)(1) (1).(1)2(0) (2)(1) (1)hhhNhh100,1,2,.,1,( )2( ) (2)NntNth ntn令代入得1j 101 3210,.( )2( ) ()2 222NnNtth ntn令,代入得(1/2), (3/2), (5/2),. (2(1)/2)NDigital Signal Processing 頻域迭代法 10( )2( ) (2)Nnth ntn1122001( )2( ) (2)( )( )21() ()222

29、NNjnjtj tnnh ntn edth n et edtH 10( )( )Nj nnHh n e其中( )( )j tt edt 01( )( )2HHDigital Signal Processing 頻域迭代法 反復回代得:0( )cosH例120111200( )cos(2)cos(2) . cos(2).sin(2)sin(2)sin(2).2sin(2) 2sin(2)2sin(2)sin(2)lim2sin(2)sin(2)sinlim22kkkkkkkkk Digital Signal Processing 頻域迭代的數(shù)值解 201( )()kkzHzDigital Sig

30、nal Processing q小波采樣的初始化 離散小波變換需要知道初始序列（或稱為小波采樣值） 0kc最簡單的方法是將奈氏采樣序列 當作小波的初始序列 ( )x n利用MRA對奈氏序列的小波分解后可精確重建奈氏序列的小波變換結果與小波采樣結果之間存在偏差奈氏序列的小波變換結果處理后的重建結果同樣還與期望之間產生偏差結論:離散小波變換最好對小波采樣實施,否則會引入采樣誤差Digital Signal Processing 小波變換特別適合捕捉信號中的低能量的瞬變部分 典型應用 間斷點（第I類和高階導數(shù)不連續(xù)點）檢測 信號趨勢 自相似性 數(shù)據壓縮 消噪 Digital Signal Proce

31、ssing 例12-8-1matlab軟件中包含一個第I類間斷點的信號nearbrk.dat，試用DFT變換和離散小波變換檢測該不連續(xù)點 Digital Signal Processing q一維離散小波變換的消噪過程根據信號特性和分析要求選擇小波函數(shù)確定分解層數(shù) 對采樣信號進行離散小波分解 對小波分解最底層的低頻系數(shù)和各層的高頻系數(shù)進行硬閥值或軟閥值處理 利用閥值處理后的最底層的低頻系數(shù)和各層的高頻系數(shù)進行小波重構 Digital Signal Processing 例12-8-2設信號，其中是零均值、方差等于0.5的高斯白噪聲，試用離散小波變換對其實施消噪處理。 THR,SORH,KEEP

32、APP,CRIT = ddencmp(IN1,IN2,X) XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2 = wdencmp(gbl,X,wname,N,THR,SORH,KEEPAPP) Digital Signal Processing qMRA分析過程的空間剖分特點 V0W1W1V1V2W2W3V3W2W1V0W1V1V2W2W3V3小波空間的分辨率不夠 信號落在小波空間中帶寬很窄，則信號的特征可能會被大空間中的其它成份所掩蓋 Digital Signal Processing q理想的小波包時頻空間分解 12,12(),(),0,j nj nutk kZutk kZnn2,(),(

33、)ij niutk kZL RDigital Signal Processing q最優(yōu)小波基 針對每一類待分析信號，選定小波包，信號由不同的子空間組合構成。Digital Signal Processing q正交小波包變換 第j級的第n個子空間 ,(),j nutkkZ第j級的第n個子空間奇偶分解,2,( )2(2)jnkj nuth utk,21,( )2(2)jnkj nutg utk當n=0,j=11,01,00,0( )2(2)( )( )kuth utktt1,11,00,0( )2(2)( )( )kutg utkttDigital Signal Processing 例，HARR小波包的空間分解 1,