直線與橢圓位置關(guān)系(經(jīng)典)教師版.

1、直線與橢圓(教師版 )知識與歸納：1.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系x2y2x02y021x02y02點(diǎn) P( x0， y0)在橢圓b1內(nèi)部的充要條件是b 2；在橢圓外部的充要條件是1；a22a2a2b2在橢圓上的充要條件是x02y02a1.2b 22.直線與橢圓的位置關(guān)系 .設(shè)直線 l ： Ax+By+C=0，橢圓 C： x 2y 2 1，聯(lián)立 l 與 C，消去某一變量 (x 或 y)得到關(guān)于另一個變量的一元二a 2b 2次方程，此一元二次方程的判別式為，則 l 與 C 相離的0.3.計(jì) 算 橢 圓 被 直 線 截 得 的 弦 長 ， 往 往 是 設(shè) 而 不 求 ， 即 設(shè) 弦 兩 端 坐 標(biāo) 為P1(

2、x1 ， y1) ， P2(x2 ，y2) |P1P2|=(x1x2 )2( y1y2 ) 21k 2x1x2112y1y2 （ k 為直線斜率） 形式 (利用根與系k數(shù)關(guān)系（推導(dǎo)過程：若點(diǎn)A(x1, y1 )，B( x2 , y2 ) 在直線 ykxb(k0) 上，則 y1kx1b， y2kx2b ，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB( x1x2 )2( y1y2 )2( x1x2 )2( kx1 kx2 )2(1 k 2 )( x1x2 )2(1k2 )( x1 x2 ) 24x1x2 或者 AB( x1x2 ) 2( y1y2 )2( 1 x11 x2 ) 2( y1y2

3、 )2(11 )( y1 y2 )2kkk 2(11 )( yy)24 y y 。 )k 21212一，直線與橢圓的位置關(guān)系例題 1、判斷直線 kx y30 與橢圓 x2y 21的位置關(guān)系164ykx 3222解：由x2y2可得 (4k1)x2420016(16k5)1kx164（ 1）當(dāng)16(16k 25) 0即 k5 或 k5時，直線 kxy 30 與橢圓 x2y 21相交44164（ 2）當(dāng)16(16k 25)0即 k5 或 k5時，直線 kxy30 與橢圓 x2y 21相切44164（ 3）當(dāng)16(16k 25)0即5k5時，直線 kx y30與橢圓 x2y21相離44164例題 2、

4、若直線 y kx1( kR) 與橢圓 x 2y 21恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍5m解法一：ykx 1由22可得(52)210550 ，2即2xyk m xkxmm 5k 1 0 m 5k 1 115mm1且 m5解法二：直線恒過一定點(diǎn)(0,1)當(dāng) m 5 時，橢圓焦點(diǎn)在 x當(dāng) m 5 時，橢圓焦點(diǎn)在 y綜述： m1且 m5軸上，短半軸長軸上，長半軸長bm ，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則m1即 1 m 5a5 可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即m5解法三：直線恒過一定點(diǎn) (0,1)要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)(0,1) 在橢圓內(nèi)部 02121 即 m 15mm1且 m5 評述 由直線方程與橢圓

5、方程聯(lián)立的方程組解的情況直接導(dǎo)致兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y 或 x 得到關(guān)于x 或 y 的一元二次方程，則（ 1）直線與橢圓相交0 （ 2）直線與橢圓相切0 （ 3）直線與橢圓相離0 ，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本的工具?；蛘呖墒紫扰袛嘀本€是否過定點(diǎn)，并且初定定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2 中法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn)xo2yo 21M ( xo , yo ) 在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則b 2a2二、弦長問題例

6、 3、已知橢圓 x2y21的左右焦點(diǎn)分別為 F1,F 2，若過點(diǎn) P（ 0， -2 ）及 F1 的直線交橢圓于A,B 兩點(diǎn)，求 21ABF2 的面積解法一：由題可知：直線l AB 方程為 2x y 20y2x24 10由 x2y 2可得 9 y 24y 4 0 ， y1y2( y1 y2 ) 24y1 y22119S1 F1F2y1 y24 1029解法二： F245到直線 AB 的距離 h5y2x2可得 9x 22 x x10 2由x2y216 x 60 ，又 AB1 k112219S1AB h4 1029 評述 在利用弦長公式AB1k 2x1x211 y1y2（ k為直線斜率）或焦（左）半

7、徑公式k 2ABPF1PF2aex1aex22a2e( x1x2 ) 時，應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題。例題 4、 已知長軸為 12，短軸長為6，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)F1 作傾斜解為的直線交橢圓于A ， B 兩點(diǎn)，求弦 AB 的長3分析：可以利用弦長公式AB1k 2x1 x2(1k 2 )( x1x2 )24 x1x2 求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解： (法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解AB1k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 ) 24 x1x2 因?yàn)?a6 ， b3 ，所以 c3 3 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x 軸上，所以橢圓方程為x2y21，

8、左焦點(diǎn) F ( 33 , 0) ，從而直線方程為y3x 9 369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x2723x3680 設(shè) x1 ， x2為方程兩根，所以x1x272 3，13x1x2368， k3 ，從而 AB1k 2x1x2(1 k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 481313(法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解x2y2m， BF1n ，則 AF212m ， BF212n 由題意可知橢圓方程為361 ，設(shè) AF192222 AF1F1F2cos，即 (12m)2m 236 32 m6 31在 AF1F2 中， AF2AF1F1F2；32所以 m6BF1F2 中，用余弦定理得n6AB

9、m48同理在4，所以n43313一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例 1 過橢圓 x2y21內(nèi)一點(diǎn) M（ 2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。164y-1=k(x-2)解法一：設(shè)所求直線方程為，代入橢圓方程并整理得：( 4k 21) x28(2k 2k )x4(2k 1) 2160又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x1 , y1 ) ， B（ x2 , y2），則 x1 , x2 是方程的兩個根，于是x18(2k 2k)x24k 2，14(2k 2又 M為 AB的中點(diǎn)，所以x1x2k)2 ，24k 211解得 k，2x2y40故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x1

10、, y1 ) ，B（ x2 , y2 ）， M（2， 1）為 AB的中點(diǎn)，所以 x1x24 ， y1y22 ，又 A、 B 兩點(diǎn)在橢圓上，則x124y1216 ， x224 y2216 ，兩式相減得 ( x12x22 )4( y12y22 )0 ，所以 y1y2x1x21 ，即 k AB1 ，x1x24( y1y2 )22故所求直線方程為x2y40。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A( x , y) ，由于中點(diǎn)為M（ 2， 1），則另一個交點(diǎn)為B(4-x ,2y) ，因?yàn)?A、 B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有x24 y 216，(4x)24(2y) 216兩式相減得x2 y40 ，由于過 A、B

11、的直線只有一條，故所求直線方程為x2y40 。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例 2 過橢圓 x2y 21上一點(diǎn) P（ -8 ， 0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求 PQ中點(diǎn)的軌跡方程。6436解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn) M（ x, y ），弦端點(diǎn) P（ x1 , y1 ）， Q（ x2 , y2 ），則有 9x1216 y12576 ，兩式相減得 9( x12x22 )16( y12y22 )0 ，9x2216 y22576又因?yàn)?x1x22x ， y1y22 y ，所以 92x( x1x2 )16 2 y( y1y2 )0 ，y1y29x，而 k PQy0，故9xy。所以x216yx( 8)16 yxx18化

12、簡可得92721620（x8 ）。xxy解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（ x, y ）， Q（ x1 , y1 ），由 xx18， yy1 可得 x12x 8 ， y12y ，22又因?yàn)?Q在橢圓上，所以x12y121 ，即 4(x 4) 24 y21 ，64366436所以 PQ中點(diǎn) M的軌跡方程為 ( x4) 2y 21 （ x8 ）。169三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題例 3求直線 yx 1 被拋物線 y24x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線yx1與拋物線 y 24x 交于 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，其中點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，由題意得yx 1，y 24x消去 y 得

13、 (x1) 24x ，即 x 26x10 ，所以 x0x1x23 ， y0x012 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2) 。2解法二：設(shè)直線 yx 1 與拋物線 y 24x交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，其中點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，由題意得y124x1 ，兩式相減得 y22y124( x2x1 ) ，y224x2所以 ( y2y1 )( y2y1 )4 ，x2x1所以 y1y24 ，即 y02， x0y013 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2) 。22例題 5、已知 P(4 , 2) 是直線 l 被橢圓 xy1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l 的方程369分析：本題考查直線與橢圓

14、的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y (或x )，得到關(guān)于x (或y )的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出x1x2 ， x1x2 (或y1y2 ，y1 y2 )的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為y2k( x4) 代入橢圓方程，整理得(4k 2 1) x28k( 4k2) x4(4k2) 2360設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 )，則 x1 、 x2是的兩根， x1 x28k(4k2)4k 21 P(4, 2)為 AB 中點(diǎn)， 4x1x24k( 4

15、k2) ， k1所求直線方程為x2 y80 24k212方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) P(4 , 2) 為 AB 中點(diǎn)， x1x28 ， y1y2 4又 A ， B 在橢圓上， x124y1236， x224 y2236 兩式相減得 ( x12x22 )4( y12y22 )0 ，即 ( x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1y2 )( y1y2 )0 y1y2(x1x2 )1 直線方程為x2y 80x1x2 4( y1y2 )2方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A( x , y) ，另一個交點(diǎn)B(8 x , 4y) A 、 B 在橢圓上，

16、 x24y236。(8x) 24(4y)236從而 A ， B 在方程的圖形x2 y8 0 上，而過A 、 B 的直線只有一條，直線方程為x2y80 說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法若已知焦點(diǎn)是(33,0)、( 33,0)的橢圓截直線x2y80 所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則如何求橢圓方程？例題 6、已知橢圓4x2y21及直線 yxm （ 1）當(dāng) m 為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（ 2）若直線被橢圓截得的弦長為210，求直線的方程5解：（ 1）把直線方程 y xm 代入橢圓方程4x2y 21得4x2x m 21 ，即 5x22mx

17、 m210 2m 245m2 116m2200 ，解得5m5 22（ 2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1， x2 ，由（ 1）得 x1x22mx1 x2m 21，552m22 10 解得 m 0 方程為 y根據(jù)弦長公式得：1122m41x 555說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程例題 7、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上， 直線= +1 與該橢圓交于P和 ，且，|=10，Oy xQ

18、OP OQ PQ2求橢圓方程 .【解前點(diǎn)津】由題設(shè)條件，不能確定焦點(diǎn)是在x 軸，還是在 y 軸上，且對于 a、b、c 的關(guān)系條件未作定性說明，故可設(shè)橢圓方程為： mx2+ny2=1(m0， n0)簡便 .【規(guī)范解答】22，n0)，設(shè) P(x1， y1)， Q(x2，y2) ，設(shè)橢圓方程為： mx +ny =1( m0yx 1中消去 y 并依 x 聚項(xiàng)整理得： (m+n)x2+2nx+(n-1)=0 ，=4n2-4(m+n)(n-1)0 ，即 m+n-mn0，由ny 2mx21OP OQ 等價(jià)于 x1x2+y1y2=0，將 y1=x1+1， y2=x2+1 代入得： 2x1x2+(x1+x2)+

19、1=0 ， 2( n 1)2nn1 0m n2mnm又 |PQ|=( xx2) 2( y1y2)2( xx2) 2( x1) ( x21) 2111 2( x1x2 ) 22( x1x2 )24x1 x22n2n11024m nmn2m1m32或2聯(lián)立并解之得：n3n122經(jīng)檢驗(yàn)這兩組解都滿足0，故所求橢圓方程為x2+3y2=2 或 3x2+y2=2.22【解后歸納】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程可用統(tǒng)一形式：mx+ny =1(m0，n0)， m 與 n 的大小關(guān)系，決定了焦點(diǎn)位置 .三，對稱問題例題 8、已知橢圓x2y 21，試確定 m 的取值范圍，使得對于直線l ： y4xm ，橢圓

20、 C 上有不同的兩C：34點(diǎn)關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上A ， B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱，則已知條件等價(jià)于：(1) 直線 ABl ；(2)弦 AB 的中點(diǎn) M 在 l 上利用上述條件建立m 的不等式即可求得m 的取值范圍解： (法 1)設(shè)橢圓上A x1,y1) ，B( x2 , y2 )兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，直線AB與l交于M ( x0 , y0 )點(diǎn)( l 的斜率 kl4 ，設(shè)直線 AB 的方程為 y1 xn由方程組y1 xn ,4消去 y 得4x2y21,4313x28nx16n2480。 x1x28n于是 x0x12x24n， y01 x0n12 n ，1313413即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為

21、 ( 4n, 12n ) 點(diǎn) M 在直線 y4xm 上， n44nm 解得 n13 m 1313134將式代入式得13x 226mx169m2480 A ， B 是橢圓上的兩點(diǎn)，(26 )2413(169248)0 解得213213mm13m13(法 2)同解法1 得出 n13 m ， x04 (13 m)m ，4134y01 x013 m1( m)13 m3m ，即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為 (m ,3m) 4444 A ， B 為橢圓上的兩點(diǎn)，M 點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，(m) 2(3m) 21解得2 13m213431313(法 3)設(shè) A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) 是橢圓上關(guān)于 l

22、 對稱的兩點(diǎn)，直線AB 與l 的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( x0 , y0 ) A ， B 在橢圓上， x12y121， x22y221 兩式相減得 3( x1 x2 )( x1x2 )4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，4343即 3 2x0 (x1x2 ) 4 2y0 ( y1y2 ) 0 y1y23x0 (x1x2 ) x1x24y0又直線 ABl ， kABkl1 ，3x041，即 y03x0 。4 y0又 M 點(diǎn)在直線 l 上， y04x0m。由，得M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( m ,3m)以下同解法 2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)A ， B 關(guān)于直線 l 恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可

23、以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1) 利用直線 AB 與橢圓恒有兩個交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式0 ，建立參數(shù)方程x02y021，將 x0 ， y0 利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式(2) 利用弦 AB 的中點(diǎn) M ( x0 , y0 ) 在橢圓內(nèi)部，滿足ba四，最值問題例題 9、 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率=3 ，已知點(diǎn)(0 ，3 ) 到這個橢圓上的點(diǎn)的最e2P2遠(yuǎn)距離是7，求這個橢圓的方程 .【解前點(diǎn)津】由條件，可將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程用含一個參數(shù)的形式表示，將“最遠(yuǎn)距離”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】由 e=3可推出 a=2 b，于是可

24、設(shè)橢圓方程為：x2y2122224b2b2，即有 x =4b -4y .設(shè) M(x， y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且-by b， |PM|2=-3( y+1)2+4b2+3，由于 y -b，b，于是轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間2 -b， b，求二次函數(shù)的最值 .當(dāng) b 1 時， y=-b， |PM |2 有最大值 b2+3 b+9 ，令 b2+3b+9=(7)2，解得 b=7 - 31，舍去 .24422當(dāng) b1122272解得： b=1，a=2 ，故所求方程為：x 2y21 .2時，取 y=-知|PM|有最大值 4b +3，令 4b +3=()42【解后歸納】這是一道解析幾何與函數(shù)的綜合題，其知識的交匯點(diǎn)及“等

25、價(jià)轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，是必須“關(guān)注”的 .例題 10、 設(shè)橢圓方程為x 2y 21，過原點(diǎn)且傾斜角為和- (0 ) 的兩條直線分別交橢圓于A、C482和 B、D兩點(diǎn) .(1) 用表示四邊形 ABCD(2) 當(dāng) (0 ，) 時，求 S 的最大值 .4【解前點(diǎn)津】設(shè)直線方程為y=xtan ，利用橢圓圖形的“對稱性” ，易用 表示 S，然后運(yùn)用函數(shù)的知識，求面積 S 的最大值 .【規(guī)范解答】(1) 設(shè) 經(jīng) 過 原 點(diǎn) 且 傾 斜 角 為 的 直 線 方 程 為 ： y=x tan ， 代 入 x 2y 21求得：48x2=32, y 232 tan 2，由對稱性知四邊形ABCD 為矩形，又由于0 ，所以四邊形ABCD 的84 tan 28 4 tan 22432 tan32 tan.面積為： S=4|xy|=4 tan 22 tan28(2) 當(dāng) 0 時， 0tan 1，設(shè) t=tan ，則 S=32t232(0t 1)，42t2tt函數(shù) f(t)= t+ 2 在 (0 ， 2 )上是單調(diào)減函數(shù)，t f(t)mi