雙勾函數(shù)與不等式的應用學習教案

1、會計學1雙勾函數(shù)與不等式的應用雙勾函數(shù)與不等式的應用第一頁，編輯于星期三：十八點 四分。 , 1,1, 3、奇偶性其定義域是關(guān)于原點對稱的，且滿足f(-x)=-f(x)形式，所以此函數(shù)為奇函數(shù)。4、圖象如右oxy1-12-2y=x5、單調(diào)性從圖易知單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 1 , 0,0 , 1例1 求函數(shù)11xxy的值域解：111111xxxxy令x-1=u，則), 1 () 1 ,(u上式可化為11uuy1232yxyx時當且僅當時當且僅當, 31,y第1頁/共19頁第二頁，編輯于星期三：十八點 四分。例2 求函數(shù)3cos1cosy的最值。解：23cos41cos12, 4cosuu則

2、令上式可化為31uuy124所以函數(shù)在24上單調(diào)遞增。.21,2, 23cos,45,) 12(, 43cosmaxminykuyku時即當時即當練習：1、求函數(shù).)22(cos22cos的最值xxxy2、求函數(shù)的最值2, 0sin4cos122xxxy答案第2頁/共19頁第三頁，編輯于星期三：十八點 四分。答案3、已知正數(shù)a、b滿足12ba求a+b的最小值。4、求函數(shù)xxxxy2222cossin1cossin的最小值。),2()2, 0(cossin2xxxy解：函數(shù)xxy242cossin5、求函數(shù)的最值),2()2, 0(xxxycossin2xxxy2222cossinsin即xxx

3、y2222cos)cos1 ()cos1 (也就是xxxy2222cos2)cos1 ()cos1 (21即32222)3cos2cos1cos1(21xxxy274278213920y號時取即當且僅當2cos2sin22tgxxx第3頁/共19頁第四頁，編輯于星期三：十八點 四分。例3 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底 寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。 設箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù) 與a,b的乘積ab成反比?，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問當a,b各為多少米 時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略

4、不計）。 ABab2解法一：依題意，即所求的a,b的值使ab最大。由題設知4b+2ab+2a=60 (a0,b0)，即 a+2b+ab=30 (a0,b0)。當且僅當a=2b時，上式取等號。由a0，b0，解得00為比例系數(shù)，依題意，即所求的a,b值使y值最小。 根據(jù)題設，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)，得 b=30-a/2+a(0a30)， 當a+2=64/(a+2)時取等號，y達最小值。這時a=6,a=-10（舍去）。將a=6代入式得b=3。 故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。aaakabky230于是aaak2302aaak264306422643

5、2aak264234aak64234k第5頁/共19頁第六頁，編輯于星期三：十八點 四分。 例4、已知直角三角形的周長為定值l，求它的面積的最大值。ababab)22(22,22baba解：由已知，得22222 ab22223ab故面積2422321abS于是當22222 ba面積有最大值24223練習1、已知圓柱的體積為定值V，求圓柱全面積的最小值。答案2、從半徑為R的圓形鐵片里剪去一個扇形，然后把剩下部分 卷成一個圓錐形漏斗，要使漏斗有最大容量，剪去扇形的 的圓心角應是多少弧度？答案第6頁/共19頁第七頁，編輯于星期三：十八點 四分。1、21, 021, 02cos1 , 0cos)2,2

6、(x即x2cos令所以原式可化為：xxy1而此函數(shù)在區(qū)間21, 0 x上是單調(diào)減函數(shù)因此當且僅當21x時函數(shù)有最小值25y而無最大值。2、xxxxy2222csc4secsin4cos1)1 (4122xctgxtgxctgxtg22450, 0)2, 0(ctgxtgxx9225ctgxtgx當且僅當號時取即2, 222tgxxtgctgxtgx返回第7頁/共19頁第八頁，編輯于星期三：十八點 四分。3、3322234322, 0, 0babaababa333223,212,21,2,2取最小值時即當即于是當babababa4、法一：xxxxxx2sin42sin41cossin1cossi

7、n222222xxx2sin4152sin412sin41222xxxx2sin41516122sin4152sin412sin41222224174152141712sin2sin412sin41222時取到值當xxx顯然，當sin2x=1時，上面兩個式子同時成立，故原式有最小值417法二、可設sin2x=t，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解。返回第8頁/共19頁第九頁，編輯于星期三：十八點 四分。1、法一：設圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S。則,2Vhr,2rVhrVrrhrS222222于是322232VrVrVr323223,2,2VSVrrVr有最小值為全面積時即當法二：rhrhrrhr

8、S222223232432323Vhr323223,22,2VSVrrhrhr有最小值為全面積時即當返回第9頁/共19頁第十頁，編輯于星期三：十八點 四分。2、解：如圖，設圓錐形漏斗軸截面頂角為2，底面半徑為r，高為h，則于是,cos,sinRhRrcossin331222RhrV2422cossin, 0cossinyy則令rR3222)3cos2sinsin(2121)cos2(sinsin22227427821932y于是32732RV3622,36sin,2cos2sin22Rrtg此時得當.,)361 (2所做漏斗的容量最大時當剪去扇形的圓心角為第10頁/共19頁第十一頁，編輯于星期

9、三：十八點 四分。例5、過點P（1，4）引一直線l，它在兩條坐標軸上的截距皆為 正且它們的和最小，求這條直線的方程。分析：首先設出過P點的直線l:y-4=k(x-1)，于是l與兩坐標軸的 交點分別是,54414,),4 , 0(),0 , 14(最小應是由題設kkkkkBkA. 0, 04kk這就需要由題意不難判斷若直線l在兩坐標軸上的截距皆正，必然有其傾斜角大于, 0,2k即因此均值不等式對正數(shù)的要求就可以滿足了。解：由前面的分析，l在兩坐標軸上的截距之和為：95)(4(2544) 14(kkkkkk.2,4時到等號即當且僅當kkk故所求直線方程為(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=

10、0.第11頁/共19頁第十二頁，編輯于星期三：十八點 四分。例6、已知橢圓：BAbabyax,),0( 12222是橢圓上兩點，線段AB的垂直線與x軸交于點abaxabaxP220220:),0 ,(證明分析：由線段垂直平分線性質(zhì)可得|PA|=|PB|，這樣就建立了關(guān)于點P的方程，再由橢圓上點的坐標的取值范圍，可求。證明：設A、B兩點的坐標分別為,),(),(212211xxyxyx且和由于點P在AB的垂直平分線上，則|PA|=|PB|。.)()(2220221201yxxyxx) 1 (0)2)(222102121yyxxxxx,在橢圓上AB)2(.,22222222122221xabbyx

11、abby將（2）代入（1）式，得0)()2)(21222202121xxabxxxxx222210212,abaxxxxx,2121xxaxaaxa且又axxa2221abaxaba22022第12頁/共19頁第十三頁，編輯于星期三：十八點 四分。.|, 1|72的最大值求且已知例izzUzCz331|max22UzzizzU錯解錯解的原因是利用了復數(shù)模的不等式：但是忽略了等號成立的條件同向共線時取等號右邊不等式當且僅當21212121,zzzzzzzz共線因此等號不成立對應的向量不可能同向而izz,22 , 0sincos:iz設解) 1sin2(sin)cossin(cos|222iizz

12、U則22) 1sin2(sin)cos2(coscossin4)cos(sin23)2|(|21cossin,cossin2ttt則令,221)21(212222時當ttttU)2222(225maxizU此時第13頁/共19頁第十四頁，編輯于星期三：十八點 四分。例8、某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼。設淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當148 x時淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足)148()8(40500),0, 8()8(10002xxQtxtxP當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價

13、格。（1）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域（2）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少每千克 多少元？解（1）依題設，有2)8(40500)8(1000 xtx0)280644()808(5,22ttxtx得化簡.5502548,01680022txt可得時當判別式:,148 , 0, 0得不等式組由xt第14頁/共19頁第十五頁，編輯于星期三：十八點 四分。1455025488,5001455025488,50022tttttt和解第一個方程組，得100 t第二個不等式組無解。故所求的函數(shù)關(guān)系為：10, 055025482tttx105502548,10)2(

14、2ttx應有為使. 054,2 tt得化簡51tt或解得.110元千克從而政府補貼至少為每知由于tt第15頁/共19頁第十六頁，編輯于星期三：十八點 四分。例9、某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積,人均糧食占有量總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù))解:設耕地平均每年至多能減少x公頃，又設該地區(qū)現(xiàn)有人口為 P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。 依題意，得不等式：%)101 (10%)11 ()1010(%)221 (4104PMPxM22. 1)01. 01

15、 (1 . 1110,103x得化簡2210110310301. 001. 0122. 11 . 111022. 1)01. 01 (1 . 1110CC1 . 41045. 122. 11 . 11103答：該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。4x第16頁/共19頁第十七頁，編輯于星期三：十八點 四分。例9、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（每千米小時）的平方成正比，比例系數(shù)為b、固定部分為a元。 （1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； （2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？vs解（1）依題意，知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為全程運輸成本為：)(2bvvasvsbvvsay故所求函數(shù)及其定義域為：cvbvvasy, 0),(（2）依題意，知s、a、b、v都為正數(shù)，故有absbvvas2)(時上式中等號成立即當且僅當b