專題二第2講-函數(shù)與方程

1、考情解讀(1)函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以填空題的形式范圍是高考的常見題型，主要以填空題的形式出現(xiàn)出現(xiàn)(2)函數(shù)的實際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型函數(shù)的實際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題為載體，主要考查函數(shù)的最值問題主 干 知 識 梳 理 熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題主干知識梳理1.函數(shù)的零點與方程的根函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點函數(shù)的零點對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)，我們把使，我們把使f(x)0的實數(shù)的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的零點的零點.(2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)

2、系函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程的零點就是方程f(x)g(x)的根，的根，即函數(shù)即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫的圖象交點的橫坐標(biāo)坐標(biāo).(3)零點存在性定理零點存在性定理如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有曲線，且有f(a)f(b)0，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)2xx32在在(0,1)上遞增，上遞增，所以有所以有1個零點個零點.答案1且且f(0)10210，思維啟迪 畫畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決.解析先畫出先畫出y軸右邊

3、的圖象，如圖所示軸右邊的圖象，如圖所示.f(x)是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于圖象關(guān)于y軸對稱，軸對稱，可畫出可畫出y軸左邊的圖象，再畫直軸左邊的圖象，再畫直線線y .設(shè)與曲線交于點設(shè)與曲線交于點A，B，C，D，先分別求出，先分別求出A，B兩兩點的橫坐標(biāo)點的橫坐標(biāo).令令cos x ，x0， ，根據(jù)對稱性可知直線根據(jù)對稱性可知直線y 與曲線另外兩個交點的橫坐與曲線另外兩個交點的橫坐標(biāo)為標(biāo)為xC ，xD .f(x1) ，則在直線則在直線y 上上及其下方的圖象滿足，及其下方的圖象滿足，思維升華函數(shù)零點函數(shù)零點(即方程的根即方程的根)的確定問題，常見的有的確定問題，常見的有函函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定

4、；數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；零點個數(shù)的確零點個數(shù)的確定；定；兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)或有幾個交點的兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.變式訓(xùn)練 1 (1)已知已知函數(shù)函數(shù)f(x)( )xcos x，則，則f(x)在在0,2上的上的零點零點個數(shù)個數(shù)是是_.解析f(x)在在0,2上的零點個數(shù)就是函數(shù)上的零點個數(shù)就是函數(shù)y( )x和和ycos x的圖象

5、在的圖象在0,2上的交點個數(shù)，而函數(shù)上的交點個數(shù)，而函數(shù)y( )x和和ycos x的圖象在的圖象在0,2上的交點有上的交點有3個個.3(2)已知已知a是函數(shù)是函數(shù)f(x)2xlog x的零點，若的零點，若0 x0a，則，則f(x0)和和0的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_.即即f(a)0，當(dāng)當(dāng)0 x0a時，時，f(x0)0.解析f(x)2xlog x在在(0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，又又a是函數(shù)是函數(shù)f(x)2xlog x的零點，的零點，f(x0)0熱點二函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍例例2對任意實數(shù)對任意實數(shù)a，b定義運算定義運算“ ”：a b 設(shè)設(shè)f(x)(x21) (4x)，若函數(shù)，若函數(shù)yf(x)k

6、的圖象與的圖象與x軸恰有三個不同交點，則軸恰有三個不同交點，則k的取值范圍是的取值范圍是_.思維啟迪 先先確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求k的范圍的范圍.解析解不等式解不等式x21(4x)1，得得x2或或x3，所以所以f(x)函數(shù)函數(shù)yf(x)k的圖象與的圖象與x軸恰有三軸恰有三個個不同不同交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)的圖象和的圖象和直線直線yk恰有三個不同交點恰有三個不同交點.如圖，所以如圖，所以1k2，故，故2k1.答案2,1)已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖

7、象交點個數(shù)；也可以數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象交點個數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進行求解等式進行求解.思維升華變式訓(xùn)練 2 定義在定義在R上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)的單調(diào)增區(qū)間為間為(1,1)，若方程，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰有恰有6個不個不同的實根，則實數(shù)同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_.解析函數(shù)函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為為(1,1)，1和和1是是f(x)0的根，的根，f(x)3ax22bxc，變式訓(xùn)練 3 已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝

8、的年固定成本為已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，萬元，每生產(chǎn)每生產(chǎn)1千件需另投入千件需另投入2.7萬元萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬萬元元，且且R(x)(1)寫出年利潤寫出年利潤W(萬元萬元)關(guān)于年產(chǎn)量關(guān)于年產(chǎn)量x(千件千件)的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；解當(dāng)當(dāng)010時，時，WxR(x)(102.7x)98 2.7x.(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？(注：

9、年利潤年銷售注：年利潤年銷售收入年總成本收入年總成本)解當(dāng)當(dāng)00；當(dāng)當(dāng)x(9,10)時，時，W0，當(dāng)當(dāng)x9時，時，W取得最大值，取得最大值，且且Wmax8.19 931038.6.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 2.7x，故當(dāng)故當(dāng)x 時時，W取最大值取最大值38.即即x 時時，W38，綜合綜合知：當(dāng)知：當(dāng)x9時，時，W取最大值取最大值38.6萬元，故當(dāng)萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大所獲年利潤最大.1.函數(shù)與方程函數(shù)與方程(1)函數(shù)函數(shù)f(x)有零點有零點方程方程f(x)0有根有根函數(shù)函數(shù)f(x)的圖的圖象與象與x軸有交點軸有

10、交點.(2)函數(shù)函數(shù)f(x)的零點存在性定理：的零點存在性定理：如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使，使f(c)0.本講規(guī)律總結(jié)如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上是一個單調(diào)函數(shù)，上是一個單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)那么當(dāng)f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒有零點內(nèi)不一定沒

11、有零點.2.函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識和技能函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識和技能.因此，因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決.3.應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序與與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉

12、及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題造價的最優(yōu)化問題.解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答. 真題感悟 押題精練真題與押題解析作出函數(shù)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖的圖象如圖所示，其中所示，其中A(1,1)，B(0，2).12真題感悟12真題感悟因為直線因為直線ymxmm(x1)恒過定點恒過定點C(1,0)，故當(dāng)直線故當(dāng)直線ym(x1)在在AC位置

13、時，位置時，m ，可知當(dāng)直線可知當(dāng)直線ym(x1)在在x軸和軸和AC之間運動時兩圖象有之間運動時兩圖象有兩個不同的交點兩個不同的交點(直線直線ym(x1)可與可與AC重合但不能與重合但不能與x軸重合軸重合)，此時，此時0m ，g(x)有兩個不同的零點有兩個不同的零點.當(dāng)直線當(dāng)直線ym(x1)過點過點B時，時，m2；由由(2m3)24m(m2)0，12真題感悟解得解得m ，可知當(dāng)可知當(dāng)ym(x1)在切線和在切線和BC之間運動時兩圖象有兩之間運動時兩圖象有兩個不同的交點個不同的交點(直線直線ym(x1)可與可與BC重合但不能與重合但不能與切線重合切線重合)，12真題感悟2.(2014北京改編北京改

14、編)加工爆米花時，爆開且加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可可食用率食用率”.在特定條件下，可食用率在特定條件下，可食用率p與加工與加工時間時間t(單位：分鐘單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù)是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為以得到最佳加工時間為_分鐘分鐘.真題感悟21真題感悟21解析根據(jù)圖表，把根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，分別代入函數(shù)關(guān)系式，所以當(dāng)所以當(dāng)t 3.75時，時，p取得最大值，即最佳加工時取得最大值，即最佳加工時間為間為3.75分鐘分鐘.答案3.75真題感悟211.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x) 則則函數(shù)函數(shù)yff(x)1的零的零點有點有_個個.解析當(dāng)當(dāng)f(x)0時，時，x1或或x1，故，故ff(x)10時，時，f(x)11或或1.當(dāng)當(dāng)f(x)11，即，即f(x)2時，解得時，解得x3或或x ；當(dāng)當(dāng)f(x)11，即，即f(x)0時，解得時，解得x1或