第二章 理想光學(xué)系統(tǒng)郁道銀

1、第二章第二章 理想光學(xué)系統(tǒng)理想光學(xué)系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)與共線成像理論理想光學(xué)系統(tǒng)與共線成像理論 第二節(jié)第二節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面 第三節(jié)第三節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系理想光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系 第四節(jié)第四節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的放大率理想光學(xué)系統(tǒng)的放大率第五節(jié)第五節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的組合理想光學(xué)系統(tǒng)的組合第六節(jié)第六節(jié) 透鏡透鏡第一節(jié)第一節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)與共線成像理論理想光學(xué)系統(tǒng)與共線成像理論 任意大的空間、以任意寬的光束都成完善像任意大的空間、以任意寬的光束都成完善像 的光學(xué)系統(tǒng)。的光學(xué)系統(tǒng)。 高斯光學(xué)高斯光學(xué)（Gaussian Optics）一、一、理想光學(xué)系統(tǒng)理

2、想光學(xué)系統(tǒng)2、物像空間皆為均勻介質(zhì)：共線成像、物像空間皆為均勻介質(zhì)：共線成像物像變換為點對點，線對線，面對面的關(guān)系。物像變換為點對點，線對線，面對面的關(guān)系。 1、任意物點經(jīng)理想光學(xué)系統(tǒng)都成完善像點：共軛、任意物點經(jīng)理想光學(xué)系統(tǒng)都成完善像點：共軛二、共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)二、共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)過主光軸的一個截面過主光軸的一個截面1、位于、位于光軸上物點光軸上物點的共軛像點必然在光軸上；的共軛像點必然在光軸上； 垂直光軸的平面物與其垂直光軸的平面物與其共軛平面像必然是幾何相似共軛平面像必然是幾何相似,具有相同的放大率。具有相同的放大率。ynlyn l2、過主光軸的任意截面過主光軸的任意

3、截面成像性質(zhì)相同，并關(guān)于主光軸對稱；成像性質(zhì)相同，并關(guān)于主光軸對稱；3、垂直于主光軸的物平面垂直于主光軸的物平面，其共軛像面必然垂直于光軸；，其共軛像面必然垂直于光軸； 4、利用已知的共軛點、利用已知的共軛點/面求物像關(guān)系面求物像關(guān)系O1O2O1O2OO（1）已知兩對共軛面的位置和放大率：）已知兩對共軛面的位置和放大率： 利用光軸上的已知共軛點；利用光軸上的已知共軛點； 由已知共軛面的放大率確定出射光線的方向。由已知共軛面的放大率確定出射光線的方向。BAA B （2）已知一對共軛面的位置和放大率，以及軸上另外兩對）已知一對共軛面的位置和放大率，以及軸上另外兩對 共軛點的位置共軛點的位置OOO1

4、O2O3O3O2O1 利用光軸上的已知共軛點；利用光軸上的已知共軛點； 由已知共軛面的放大率確定出射光線的方向。由已知共軛面的放大率確定出射光線的方向。ABA B 基點基點 & 基面基面 第二節(jié)第二節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面 tanhUL1、無限遠(yuǎn)軸上物點發(fā)出的光線、無限遠(yuǎn)軸上物點發(fā)出的光線limtan0hLUL 一、像方焦點一、像方焦點F（the second / image focus）Image is formed when the object of axial point is at infinity.理想光學(xué)系統(tǒng)的理想光學(xué)系統(tǒng)的像方焦點、焦平面像方

5、焦點、焦平面2 2、理想光學(xué)系統(tǒng)的像方參數(shù)、理想光學(xué)系統(tǒng)的像方參數(shù) 像方焦點像方焦點F 像方焦平面；像方焦平面； 像方主點像方主點H 像方主平面像方主平面QH； 像方焦距像方焦距（the second / image focal length）：）：tanhfU 以像方主點以像方主點H為起算原點為起算原點3 3、無限遠(yuǎn)軸外物點發(fā)出的光線、無限遠(yuǎn)軸外物點發(fā)出的光線 共軛像點位于共軛像點位于像方焦平面上像方焦平面上 反映軸外物點偏離光軸的反映軸外物點偏離光軸的角距離角距離。 二、二、物方焦點物方焦點F（the first / object focus） 物方焦點物方焦點F 物方焦平面；物方焦平面；

6、 物方主點物方主點H 物方主平面物方主平面QH；tanhfU 物方焦距物方焦距（the first / object focal length）：）：It is the object of axial point that is imaged at infinity.以物方主點以物方主點H為起算原點為起算原點出射光線在像方主平面的投射高度與入射光線出射光線在像方主平面的投射高度與入射光線 在物方主平面的投射高度相等。在物方主平面的投射高度相等。三、物方主平面與像方主平面間的關(guān)系三、物方主平面與像方主平面間的關(guān)系1、主平面的物理意義、主平面的物理意義 共軛面：共軛面：QH，QH1Q HQH 垂軸

7、放大率為垂軸放大率為+1共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的簡化圖：共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的簡化圖：用基點和基面的位置表征。用基點和基面的位置表征。一對主點、一對主平面；一對主點、一對主平面；一對焦點、一對焦平面；一對焦點、一對焦平面；一對節(jié)點、一對節(jié)平面；一對節(jié)點、一對節(jié)平面； 2 2、共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面、共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面（共軛）（共軛）（非共軛）（非共軛）四、實際光學(xué)系統(tǒng)的基點位置和焦距計算四、實際光學(xué)系統(tǒng)的基點位置和焦距計算 例：三片型照相物鏡例：三片型照相物鏡1、結(jié)構(gòu)參數(shù)：、結(jié)構(gòu)參數(shù)：/mmr/mmdn26.67189.67-49.6625.47 72.11-35.00 5.207.95

8、1.6 6.7 2.81.61401.64751.6140方法：在近軸區(qū)追跡方法：在近軸區(qū)追跡平行于光軸的光線。平行于光軸的光線。2、求物鏡像方焦距、像方焦點、像方主點、求物鏡像方焦距、像方焦點、像方主點起始坐標(biāo)起始坐標(biāo)1l 10u 110mmh 111/ihr用六次用六次近軸光線的光路計算公式近軸光線的光路計算公式和和過渡公式過渡公式求求像距和傾角像距和傾角1iinn1iiuu1iiilldlriurniin uuii(1)ilru 10mm82.055mm0.121869f 像方焦距像方焦距 tanhfU14.5644mmHFllf 像方主點像方主點FlHl像距和傾角像距和傾角67.490

9、7mmFll0.121869uu注：注：l 或 l都是以球面頂點為起算原點！都是以球面頂點為起算原點！3、求物鏡物方焦距、物方焦點、物方主點、求物鏡物方焦距、物方焦點、物方主點起始坐標(biāo)起始坐標(biāo)1l 物距和傾角物距和傾角10u 110mmh 111/ih r物方焦距物方焦距82.055mmf 物方主點物方主點12.0366mmHl 70.0184mmFl 物方焦點位置物方焦點位置70.0184mml0.121869u *計算結(jié)果的有關(guān)問題：計算結(jié)果的有關(guān)問題：74.2844mm, 0.112289.1412mm, 14.8568mmFHlluufl 77.4368mm, 0.112289.141

10、2mm, 11.7044mmFHlluufl 1）像方焦距、像方焦點、像方主點：）像方焦距、像方焦點、像方主點：2）物方焦距、物方焦點、物方主點：）物方焦距、物方焦點、物方主點：nnnnllr1iiiihhd ul uluh 解法解法2：1iinn1iiuu1iiilld1.67451）平行于光軸的光線，經(jīng)系統(tǒng)后必經(jīng)過像方焦點；）平行于光軸的光線，經(jīng)系統(tǒng)后必經(jīng)過像方焦點；2）過物方焦點的入射光線，經(jīng)系統(tǒng)后平行于光軸；）過物方焦點的入射光線，經(jīng)系統(tǒng)后平行于光軸；3）傾斜于光軸入射的平行光束，經(jīng)過系統(tǒng)后出射光束）傾斜于光軸入射的平行光束，經(jīng)過系統(tǒng)后出射光束 交于像方焦平面上的一點；交于像方焦平面上

11、的一點；4）自物方焦平面上一點發(fā)出的光束，經(jīng)系統(tǒng)后成傾斜）自物方焦平面上一點發(fā)出的光束，經(jīng)系統(tǒng)后成傾斜 于光軸的平行光束出射。于光軸的平行光束出射。5）共軛光線在一對主面上的投射高度相等。）共軛光線在一對主面上的投射高度相等。 第三節(jié)第三節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系理想光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系 一、圖解法求像一、圖解法求像 1、典型光線及性質(zhì)（、典型光線及性質(zhì)（5條）條）焦平面焦平面性質(zhì)性質(zhì)主面性質(zhì)主面性質(zhì)焦點焦點定義定義（1）軸外點成像）軸外點成像2、依據(jù)：、依據(jù)：理想的成像情況下，從一點發(fā)出的一束光線理想的成像情況下，從一點發(fā)出的一束光線 經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)作用后仍交于一點。經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)作用后仍交于一點。3

12、、方法：、方法：求物點發(fā)出的兩條特定光線在像方空間的共軛求物點發(fā)出的兩條特定光線在像方空間的共軛 光線，二者的交點為共軛像點。光線，二者的交點為共軛像點。利用典型光線、主面性質(zhì)利用典型光線、主面性質(zhì)（2）軸上物點成像）軸上物點成像利用利用焦平面的性質(zhì)焦平面的性質(zhì)解法解法1 1：解法解法2 2：a)（3）軸上物點，經(jīng)兩個光具組成像）軸上物點，經(jīng)兩個光具組成像 b) d) c)例例1：作圖法求圖中：作圖法求圖中AB的像的像ABABABABH HAB(a)(b)二、解析法求像二、解析法求像 yfxyxfyfyxyxyf由由BAFFHM, BAF NHF得得xxff牛頓公式：牛頓公式： 依據(jù)：依據(jù)：利

13、用已知的一對共軛面、兩對共軛點。利用已知的一對共軛面、兩對共軛點。1、沿軸線段以光學(xué)系統(tǒng)的、沿軸線段以光學(xué)系統(tǒng)的焦點焦點為起算原點為起算原點2、沿軸線段、沿軸線段以光學(xué)系統(tǒng)的以光學(xué)系統(tǒng)的主點主點為起算原點為起算原點牛頓公式：牛頓公式：xxfflfl fll高斯公式：高斯公式：1ffllyf lyfl xlf xlf yfxyxf 特例：特例：物像空間介質(zhì)相同物像空間介質(zhì)相同ff yf lyfl 1ffll111llfll問題：問題： 與第一章單個折射與第一章單個折射/反射球面的成像公式有何區(qū)別？反射球面的成像公式有何區(qū)別？三、理想光學(xué)系統(tǒng)兩焦距之間的關(guān)系三、理想光學(xué)系統(tǒng)兩焦距之間的關(guān)系 tan

14、tanlUhlU()tan()tanxfUxfUtantanfyUf yU yfxyxf xxff 共軸球面系統(tǒng)共軸球面系統(tǒng) 的拉赫公式：的拉赫公式：nyun y u 近軸區(qū)近軸區(qū)fnfn fyuf y u 近軸小角度近軸小角度:1( 1)kfnfn（反射面的個數(shù)為（反射面的個數(shù)為k) 自學(xué)：自學(xué)：理想光學(xué)系統(tǒng)兩焦距之間關(guān)系的一般形式：理想光學(xué)系統(tǒng)兩焦距之間關(guān)系的一般形式：當(dāng)當(dāng) 時，時，nn1( 1)kff 1）包含）包含偶數(shù)偶數(shù)個反射面的系統(tǒng)，物方焦距和像方焦距個反射面的系統(tǒng)，物方焦距和像方焦距異號異號；2）包含）包含奇數(shù)奇數(shù)個反射面的系統(tǒng)，物方焦距和像方焦距個反射面的系統(tǒng)，物方焦距和像方焦

15、距同號同號。tantannyUn yU 理想光學(xué)系統(tǒng)的拉赫公式：理想光學(xué)系統(tǒng)的拉赫公式：tantanfyUf yU fnfn 1、圖解法求像、圖解法求像2、解析法求像、解析法求像四、小結(jié)yfxyxfxxff1）牛頓公式：）牛頓公式： 物像空間介質(zhì)相同：物像空間介質(zhì)相同：ff yf lyfl 111llf2）高斯公式：）高斯公式：1ffllfnfn 系統(tǒng)兩焦距之間的關(guān)系：系統(tǒng)兩焦距之間的關(guān)系：tantannyUn yU ll例例2：焦距焦距20cm的薄凸透鏡，一物體在其頂點左方的薄凸透鏡，一物體在其頂點左方30cm處，用兩種方法求像的位置及橫向放大率。處，用兩種方法求像的位置及橫向放大率。cml

16、30cmff20解：解：1）高斯法：）高斯法：111llf llcml602cmx102）牛頓法：）牛頓法：f fxxyfxyxfcmx402SOFF 一、一、軸向放大率軸向放大率第四節(jié)第四節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的放大率理想光學(xué)系統(tǒng)的放大率dxdldxdl1 1、沿軸移動、沿軸移動微量微量距離距離220ffdldlll22dlf ldlf l2nn 對對高斯公式高斯公式 微分得微分得1ffll22fnfn yf lyfl fnfnxx或：由牛頓公式得或：由牛頓公式得 2、沿軸移動、沿軸移動有限有限距離距離 211221xxxnxxxn 定義定義（ 1 1和和 2 2分別是移動前后位置的垂軸放大率分別

17、是移動前后位置的垂軸放大率 ）212112()xxxxxffx x 證明：證明：由牛頓公式得由牛頓公式得xxfffxxf121212()()xfffffnxx xfxxn yffflyxxf l 二、角放大率二、角放大率1、定義：定義： tantanUU1nn22fnfn tantannyUn yU 2 2、理想光學(xué)系統(tǒng)的三種放大率的關(guān)系：、理想光學(xué)系統(tǒng)的三種放大率的關(guān)系：三、光學(xué)系統(tǒng)的節(jié)點三、光學(xué)系統(tǒng)的節(jié)點（基點）（基點） 1、定義：、定義：角放大率等于角放大率等于+1的一對共軛點。的一對共軛點。 1n=n：節(jié)點與主點重合節(jié)點與主點重合tan1tanUU 1nn 特例：特例：n=n 物理意義

18、：物理意義：過節(jié)點的入射光線經(jīng)系統(tǒng)后出射方向不改變。過節(jié)點的入射光線經(jīng)系統(tǒng)后出射方向不改變。11 JJ 2、節(jié)點的位置、節(jié)點的位置1nnyfxyxf fnfn 由由Jxf Jxf 得得nn過節(jié)點的光線過節(jié)點的光線HHFFJJxJJxB 四、用平行光管測定焦距的依據(jù)四、用平行光管測定焦距的依據(jù)tanyf 光學(xué)系統(tǒng)在空氣中，主點與節(jié)點重合。光學(xué)系統(tǒng)在空氣中，主點與節(jié)點重合。 經(jīng)過節(jié)點的經(jīng)過節(jié)點的光線出射后不改變方向。光線出射后不改變方向。平行光管平行光管提供平行光束提供平行光束 平行光管物鏡平行光管物鏡待測光學(xué)系統(tǒng)待測光學(xué)系統(tǒng) 平行光管測定焦距的原理平行光管測定焦距的原理1tan()yf 2tan

19、()yf12ffyy)分劃板分劃板JJFFABAB(a)JJFFA BA(b)B例例3：作圖法求圖中：作圖法求圖中 AB的像的像AB.五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、軸向放大率、軸向放大率 2dxdlndxdln2nn2）移動）移動有限有限的距離的距離 211221xxxnxxxn 2、角放大率、角放大率 tantanUU1nn1 1）移動）移動微量微量距離距離3、節(jié)點、節(jié)點： 過節(jié)點的入射光線出射后不改變方向。過節(jié)點的入射光線出射后不改變方向。 tan1tanUU 1）n=n：節(jié)點與主點重合節(jié)點與主點重合2）Jxf Jxf :nn1112dff 一、由多個光組組成的理想光學(xué)系統(tǒng)的成像一、由多個光組組

20、成的理想光學(xué)系統(tǒng)的成像 第五、六節(jié)第五、六節(jié) 理想光學(xué)系統(tǒng)的組合理想光學(xué)系統(tǒng)的組合 透鏡透鏡1 1、各光組間相對位置的表示、各光組間相對位置的表示 主面間隔主面間隔211lld 光學(xué)間隔（焦點間隔）光學(xué)間隔（焦點間隔）211xx2、多個光組的過渡關(guān)系和放大率、多個光組的過渡關(guān)系和放大率1iiyy11iiilld11iiixx1iiiidff 第第i個光組個光組1212112.kkkkyyy yyy yy 共共k個光組個光組二、兩個光組組合分析二、兩個光組組合分析1、組合焦點的位置、組合焦點的位置22Ff fx 像方焦點：像方焦點：對于第二個光組，對于第二個光組， 是共軛點是共軛點 1FF、1

21、1Ff fx 物方焦點：物方焦點：對于第一個光組，對于第一個光組， 是共軛點。是共軛點。2F F、 2、組合焦距的計算、組合焦距的計算11212H FH FF HF H M F H I2H2F I2H2F1I1H1F122Ff fx 12f ff 12dff 22111122;FH FfF HfxH FfF Hf 12f ff 2111nffn3222nffn 組合系統(tǒng)的物方焦距和像方焦距組合系統(tǒng)的物方焦距和像方焦距fnfn組合焦距的組合焦距的起算原點起算原點：組合系統(tǒng)組合系統(tǒng)的物、像兩方的的物、像兩方的主點主點11211233nf f nf fffnn 12dff 3、組合系統(tǒng)主平面的位置、

22、組合系統(tǒng)主平面的位置（以系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中為例）（以系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中為例）()HFlfl 組合物方參數(shù)以第一個光組物方主點為原點組合物方參數(shù)以第一個光組物方主點為原點1FFlfx2Hdlff2(1)Fdlff12dff 12f ff 1 1Ff fx()HFllf 組合像方參數(shù)以第二個光組像方主點為原點組合像方參數(shù)以第二個光組像方主點為原點2FFlfx1Hdlff 12dff12f ff 22Ff fx 1(1)Fdlff4、公式小結(jié)、公式小結(jié)1112dff 1 1、各光組間相對位置的表示、各光組間相對位置的表示22Ff fx 11Ff fx12f ff 12f ff 2、兩光組組合的參數(shù)計

23、算：、兩光組組合的參數(shù)計算：1(1)Fdlff2(1)Fdlff2Hdlff1()()HFFlfxffl 1Hdlff 2()()HFFlfxflf 像方焦點：像方焦點： 物方焦點：物方焦點： 像方主點：像方主點： 物方主點：物方主點：5、光焦度、光焦度12dff 1212111dffff f1f 光焦度的定義光焦度的定義2122121211fdff fff ff f 兩光組的組合焦距兩光組的組合焦距12f ff 系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中22ff 1212d 密接薄透鏡組密接薄透鏡組 （d = 0）12 1f 光焦度光焦度: : （單位：屈光度）（單位：屈光度）物理意義：反映光學(xué)系

24、統(tǒng)的會聚或發(fā)散本領(lǐng)的數(shù)值。物理意義：反映光學(xué)系統(tǒng)的會聚或發(fā)散本領(lǐng)的數(shù)值。0100ff ，對光線不起偏折作用,無焦系統(tǒng)；，會聚作用(正)；，發(fā)散作用(負(fù))。例：例： 出射光束相對于入射光束有很大的偏折效應(yīng)。出射光束相對于入射光束有很大的偏折效應(yīng)。f 大短有限焦距系統(tǒng)有限焦距系統(tǒng) 三、透鏡三、透鏡（Lens） 1 1、透鏡的構(gòu)成與分類、透鏡的構(gòu)成與分類 構(gòu)成：構(gòu)成：兩個折射面兩個折射面兩個單獨的光組兩個單獨的光組 第二個折射面的虛物距第二個折射面的虛物距21lld實際的透鏡實際的透鏡2、透鏡、透鏡兩個折射球面的成像公式兩個折射球面的成像公式nnnnllr設(shè)設(shè)透鏡處在空氣中透鏡處在空氣中，由阿貝不變

25、式，由阿貝不變式 得得111rfn 111nrfn 第一個折射面的焦距第一個折射面的焦距221nrfn221rfn 第二個折射面的焦距第二個折射面的焦距12dff透鏡的透鏡的光學(xué)間隔光學(xué)間隔透鏡的透鏡的焦距公式焦距公式12f fff 1 221(1) ()(1) nrrnn rrnd透鏡的透鏡的光焦度光焦度212121(1)(1)()nndfn 11(1)Fnlfdn21(1)Fnlfdn透鏡的透鏡的焦點焦點位置位置11Hnlfdn 21Hnlfdn 透鏡的透鏡的主點主點位置位置121 221(1) ()(1) f fnrrfnn rrnd 221()(1)Hr dln rrnd 121()(

26、1)Hrdln rrnd透鏡透鏡主點主點位置的另一種表達(dá)式位置的另一種表達(dá)式FFFF1210(1)(),0HHdnllf 薄透鏡：薄透鏡：212121(1)(1)()nndfn 正透鏡正透鏡負(fù)透鏡負(fù)透鏡0 0 3、自學(xué)：透鏡參數(shù)與、自學(xué)：透鏡參數(shù)與r、d關(guān)系的分析關(guān)系的分析（表（表2-1）四、多光組組合計算四、多光組組合計算1、方法：、方法：追跡追跡平行于主光軸入射平行于主光軸入射的光線的光線最終的出射角度最終的出射角度。1tankhfU tantaniiiihUUf111taniiiihhdUiiiiiihhhllftantaniiiiilUhlU 第第i個光組：個光組：11iiilld1t

27、antaniiUU 過渡公式：過渡公式： 2、正切計算法、正切計算法（適用于多光組組合計算）（適用于多光組組合計算）1tan0U 1tankhfU tantaniiiihUUf111taniiiihhdU例例1：三個光組的組合系統(tǒng)，令三個光組的組合系統(tǒng)，令1tan0U 1211tantanhUUf2111tanhhdU 23222tantantanhUUUf3222tanhhdU3333tantanhUUf f 例例2：遠(yuǎn)攝型光組：遠(yuǎn)攝型光組已知：已知： 求：求： 12500mm;400mm;300mmffd ;FHlf 設(shè)任意設(shè)任意1100mmh 12/tan1000mmfhU()Ffdl筒

28、長,像方主面在系統(tǒng)之前1h2h22/ tan400mm,600mmFHFlhUllf 則則111tan0.2hUf 2222122tantantan0.1hhUUUff2111tan40mmhhdUHl例例3：反遠(yuǎn)攝型光組：反遠(yuǎn)攝型光組 已知：已知： ， 求：求： 。1235mm;25mm;15mmffd f 設(shè)任意設(shè)任意110mmh 則則2111tantan0.2857143UUhf 2111tan14.28571mmhhdU2222tantan0.2857143hUUf 12tan35.0mmfhU22tan50.0mmFlhU Flf 工 作 距 離1h2h五、望遠(yuǎn)系統(tǒng)五、望遠(yuǎn)系統(tǒng)1212111dfffff1212d 12dff0, f 無焦系統(tǒng)無焦系統(tǒng) 重合，光學(xué)間隔重合，光學(xué)間隔=0=012FF、12fyyf 1）垂軸放大率）垂軸放大率121,()fnnf 2）角放大率）角放大率 望遠(yuǎn)系統(tǒng)望遠(yuǎn)系統(tǒng)12