第九章第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

1、 第九章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度例子：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的答案：應沿由熱變冷變化最劇烈的方向（即梯度方向）爬行問題的提出問題的提出l000(,)Pxy一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)( , )f x y0limtft則稱lf00(,)

2、xyfl0,tPP為函數(shù)在點 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).00000(cos ,cos)(,)limtf xtytf xyt在點 000(,)P xy處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P記作記作 討論函數(shù) 在一點P 沿某一方向的變化率問題),(yxfz 0P方向?qū)?shù)的另一種定義形式方向?qū)?shù)的另一種定義形式：00000(,)2200( , )( ,)lim,()() ,tx yff x yf x ylttxxyy方向?qū)?shù)與偏導數(shù)存在性的關系 偏導數(shù)存在 沿 軸正向和 軸正向的方向?qū)?shù)存在,且與之相等. 沿x正向的方向?qū)?shù)存在不能推出關于x的

3、偏導數(shù)存在.xy22222(0,0)00:,(0,0)0lim1,lim.xzxyxxyfxlx 例如在處的沿 軸正向的方向?qū)?shù)為而不存在,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:(計算公式）計算公式）則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,0limtffltcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf( )ffffxyzo txyz t(coscoscos )fffxyz且有( )o t在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tP故coscoscoszfyfxf機動 目錄 上頁 下頁 返

4、回 結(jié)束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(),(lyxPflcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyol向角 注意:此定理只是方向?qū)?shù)存在的充分條件.舉例 在原點不連續(xù)當然不可微,但在始于原點的射線上,都存在包含原點的充分小的一段,在這一段上,f恒為零,所以在原點沿任何方向的方向?qū)?shù)都為零.21,0( , )yxf x y當時0,其余部分例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2(2, 1,l 3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機動

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 向量 l 的方向余弦為例例2. 求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz21yx朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxzPl它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1617xy24(32 )17xy(2,3)4, 1 (174cos1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 增長最快的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxfG,)cos,cos,(c

6、os0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmax1. 定義定義grad ff或者即grad f同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxP,fffffijxyxyrr稱為函數(shù) f 在點 P 處的梯度zfyfxf,fffijkxyz記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 G向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值（高）線等值（高）線 . , ),(yxfz 對函數(shù)2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義例如例如,圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)

7、函數(shù)xyzsin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值（高）線等值（高）線 . ,不同時為零設yxff則L*上點P 處的一個法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設P, ),(yxfz 對函數(shù)向向?qū)?shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個個法法線線方方向向模模等等高高的的等等高高線線，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的等等高高線線指指向向數(shù)數(shù)從從數(shù)數(shù)線線的的一一個個方方向向相相同同，且且在在這這點點的的法法高高線線的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點點在在點點函函數(shù)

8、數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),(，所以所以此時此時 f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為沿該法線方向的方向?qū)?shù)為2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同樣, 對應函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當各偏導數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf指向函數(shù)增大的方向.3. 梯度的基本運算公式（這里梯度的基本運算公式（這里u,v都是都是x,y,z的函數(shù)）的函數(shù)）0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugrad

9、grad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設,52zxyzu求在點)1, 1,0(M處方向?qū)?shù)的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(從而例例1222222,)02,zxyuua b ccab設問 在點（處沿哪個方向增大最快，沿哪個方向減小最快，沿哪個方向變化率為例？( , , )2 21 1,),2,1 111, ,.yza b cu ub cb cb cb cx(a,b,c)解：因為函數(shù)的方向?qū)?shù)反映的就是函數(shù)在該點沿指定方向的變化率，即變化快慢，而在梯度方

10、向取得極大值，21gradu=(u-aa-11所以在方向函數(shù)增長最快，在方向函數(shù)aa減少最快,在與上述方向垂直的方向上變化率為0三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向?qū)?shù)與梯度的關系、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）四、小結(jié)

11、最最大大值值。梯梯度度的的模模為為方方向向?qū)?shù)數(shù)的的快快的的方方向向在在這這點點增增長長最最梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù) .),(yxf1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(

12、gradyxfyxffyx3. 關系關系任意方向?qū)?shù)存在偏導數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 設函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線23 21 xtytzt在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .2. P130 題 16機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf26

13、6解答提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量)0,1,2(grad)2(Mf13061306arccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P130 題題 16備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱

14、性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d2. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)

15、22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關系的梯度有關系_._.三三、 設設vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxM處處沿沿點點的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關關系系時時此此方方