根軌跡性能分析(第四節(jié))

1、自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理4.4 4.4 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)性能穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析例例1 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，K*= 0，繪制系統(tǒng)根軌跡并確定：，繪制系統(tǒng)根軌跡并確定：使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)增益使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)增益 K 的取值范圍；的取值范圍； 漸近線：漸近線：23)42( a 180,60a 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡：-,-4, -2,0)4)(2()(* sssKsG解解. 繪制系統(tǒng)根軌跡繪制系統(tǒng)根軌跡 虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)：086)4)(2()(*23* KsssKssssD 06)(Re*2 KjD 08)(Im3 jD828.

2、28 48* K依題，對(duì)應(yīng)依題，對(duì)應(yīng) 4808. 3* K使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)增益使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)增益 K K 的取值范圍的取值范圍有：有：68488808. 3* KK 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：041211 ddd整理得：整理得：081232 dd解根解根：155. 3;845. 021 dd08. 342845. 0* dddddKu應(yīng)用根軌跡法，可以迅速確定在某一開(kāi)環(huán)增益下的閉環(huán)極應(yīng)用根軌跡法，可以迅速確定在某一開(kāi)環(huán)增益下的閉環(huán)極點(diǎn)的位置，再補(bǔ)上閉環(huán)零點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。點(diǎn)的位置，再補(bǔ)上閉環(huán)零點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。u利用拉斯變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

3、，再由階躍響應(yīng)求利用拉斯變換確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，再由階躍響應(yīng)求得系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。得系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。動(dòng)態(tài)性能分析動(dòng)態(tài)性能分析工程上采用的方法（主導(dǎo)極點(diǎn)法）：工程上采用的方法（主導(dǎo)極點(diǎn)法）：利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，即用主導(dǎo)極點(diǎn)代替系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，即用主導(dǎo)極點(diǎn)代替系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)來(lái)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。來(lái)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例例2：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，求具有阻尼比，求具有阻尼比=0.5的共的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其它閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其它閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。指標(biāo)。

4、) 15 . 0)(1()(sssKsGk解解：2( )(1)(2)(1)(2)gkKKG ss sss ss 繪制根軌跡繪制根軌跡)0,422. 0(j1230.4220.4220.4220.422 0.578 1.5780.385gKppp 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：6,2gpkj30,60Kkg 與虛軸的交點(diǎn)：與虛軸的交點(diǎn)：穩(wěn)定范圍穩(wěn)定范圍58. 033. 02, 1js0.5252gKK 60arccos 作圖求作圖求=0.5時(shí)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)34. 2)58. 033. 0()58. 033. 0(33jjs1112130.330.580.330.58 10.330.5821.05g

5、Kspspspjjj 非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比 （倍）1 . 733. 034. 2（倍）5 . 3667. 034. 2 性能分析性能分析 模之比模之比10.667,0.5ns 21%16.3%339( )0.50.667snets-s1、 -s2 在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起著主導(dǎo)性作用，是閉在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起著主導(dǎo)性作用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)?？筛鶕?jù)由可根據(jù)由-s1、 -s2 所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)估算三階系統(tǒng)。所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)估算三階系統(tǒng)。0525. 0avpKKKK9 . 11vssKe單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：?jiǎn)挝恍逼陆o定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：型系

6、統(tǒng)：型系統(tǒng)：例例3 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，K*= 0，繪制系統(tǒng)根軌跡并確定：，繪制系統(tǒng)根軌跡并確定： (2) (2) 當(dāng)當(dāng) l l3 35 5 時(shí)，時(shí)，l l1 1，2 2 ？相應(yīng)？相應(yīng) K?K? (1) (1) 復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng) 0.5 (600.5 (60o o) ) 時(shí)的時(shí)的 K 值及閉環(huán)極點(diǎn)位置；值及閉環(huán)極點(diǎn)位置； (3) (3) 當(dāng)當(dāng) K K* *=4 4 時(shí)，時(shí)， 求求l l1, 2, 3 1, 2, 3 并估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)并估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)( ( ,t,ts s) )。)4)(2()(* sssKsG解解. 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：10.845d 虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)08. 3

7、42845. 0* dddddK828. 28 48* K（1 1）復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)）復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng) 0.5 0.5 時(shí)的時(shí)的 K K 值及閉環(huán)極點(diǎn)位置值及閉環(huán)極點(diǎn)位置如本系統(tǒng)，可降階為二階系統(tǒng)的高階系統(tǒng)，在已知復(fù)根的阻尼系數(shù)的前提下，如本系統(tǒng)，可降階為二階系統(tǒng)的高階系統(tǒng)，在已知復(fù)根的阻尼系數(shù)的前提下，求三根的方法求三根的方法設(shè)設(shè)nnj l l22, 11 由根之和由根之和326420l l nCnn l l 6265 . 03應(yīng)有應(yīng)有：解根：解根： *2)6(86Knnn 比較系數(shù)比較系數(shù)*23*86)4)(2()(KsssKssssD 3 . 834*Kn 667. 461547. 1667. 00

8、375. 1832, 1*njKK l ll l)()(321l ll ll l sss)6(66223nnnsss )6)(2(22nnnsss （2 2）已知實(shí)根，求復(fù)根，）已知實(shí)根，求復(fù)根，用大除法用大除法*2386)(KssssD （2 2） 當(dāng)當(dāng) l l3 35 5 時(shí)，時(shí)，l l1 1，2 2 ？相應(yīng)？相應(yīng) K?K?)3)(5(2 sss6583. 15 . 02, 1j l l875. 18158* KK15* K2s235ss ss82 ss52 *3Ks 153 ss 3 *23865Kssss 0 15*K（3 3）已知根軌跡增益，求所有的根，）已知根軌跡增益，求所有的根，

9、用試探法求出一根，再用大除法用試探法求出一根，再用大除法（3） 當(dāng)當(dāng) K*=4 時(shí)，時(shí)， 求求l l1,2,31,2,3442333* l ll ll lK令令試根試根383. 43 l l383. 486383. 4)(*23 sKsssssD9127. 0617. 12 ss解根：解根： 383. 4509. 0808. 032, 1l ll lj)4)(2()(* sssKsG分離點(diǎn)分離點(diǎn)08. 342845. 0* dddddK10.845d 視視 l l1,2 1,2 為主導(dǎo)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) K K* *=4 4 時(shí)，時(shí)， 估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)( ( ,t,ts s)

10、 )383. 4509. 0808. 032, 1llj因此，忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)，可將三階將為二階。因此，忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)，可將三階將為二階。具體做法為：確定了閉環(huán)極點(diǎn)，再加上原系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，具體做法為：確定了閉環(huán)極點(diǎn)，再加上原系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，且不損且不損失信號(hào)的能量，要保持閉環(huán)增益不變。失信號(hào)的能量，要保持閉環(huán)增益不變。由原系統(tǒng)可得，系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)由原系統(tǒng)可得，系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)*(4)( )(2)(4)*K sss ssk原系統(tǒng)的閉環(huán)增益為原系統(tǒng)的閉環(huán)增益為4：可參考如下判定方法：可參考如下判定方法 系統(tǒng)穩(wěn)定且在階躍輸入作用下，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，因此可通過(guò)外給定單位階躍信號(hào)系統(tǒng)穩(wěn)定且在階躍輸入作

11、用下，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，因此可通過(guò)外給定單位階躍信號(hào)作用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值進(jìn)行判定。作用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值進(jìn)行判定。 8463. 0)955. 02(617. 1955. 09127. 0 n 33. 4808. 05 . 35 . 3689. 0001002nste 2*22244 0.9127( )1.6170.91272nnnsssss因此，原系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為以下的二階系統(tǒng)因此，原系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為以下的二階系統(tǒng)*24 (4)( )1.6170.9127ssss 針對(duì)本題，上述簡(jiǎn)化是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉侵鲗?dǎo)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)構(gòu)成偶極子，可針對(duì)本題，上述簡(jiǎn)化是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉侵鲗?dǎo)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)構(gòu)成偶極子，可相消，因此本系統(tǒng)可簡(jiǎn)化

12、為相消，因此本系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為0.9127注意傳函簡(jiǎn)化后，系統(tǒng)注意傳函簡(jiǎn)化后，系統(tǒng)閉環(huán)增益發(fā)生變化，要閉環(huán)增益發(fā)生變化，要加上必要的環(huán)節(jié)，使其加上必要的環(huán)節(jié)，使其保持不變。保持不變。K=4例例4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。)3(42)3)(2()4()(* ssKssssssKsG解解. (1) （1）繪制當(dāng)）繪制當(dāng)K*= 0時(shí)系統(tǒng)的根軌跡；時(shí)系統(tǒng)的根軌跡；（2）使復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的）使復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 0.5 (600.5 (60o o) ) 時(shí)的時(shí)的 K K 及及 l ?l ?（3）估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)）估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)( ( , t, ts s) )(2) 當(dāng)當(dāng) 0.5 ( (60o

13、) ) 時(shí)時(shí)598. 25 . 12, 1j l l9598. 25 . 132211* l ll lK33* KK)3()2()4()3(1)3)(2()4()(*KssssKssKssssKs (3) 不做要求不做要求說(shuō)明：說(shuō)明：開(kāi)環(huán)傳函出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消，并代表閉環(huán)傳函會(huì)出現(xiàn)零、開(kāi)環(huán)傳函出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消，并代表閉環(huán)傳函會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消，因此，要分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，要回到原系統(tǒng)進(jìn)行分極點(diǎn)相消，因此，要分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，要回到原系統(tǒng)進(jìn)行分析。即本系統(tǒng)不能通過(guò)根軌跡的分布情況析。即本系統(tǒng)不能通過(guò)根軌跡的分布情況（只能體現(xiàn)兩個(gè)根的情（只能體現(xiàn)兩個(gè)根的情況）況）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階處理。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階

14、處理。29(4)(39)(2)ssss 1.系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)左半平面，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)；關(guān)；2.快速性好：閉環(huán)極點(diǎn)均遠(yuǎn)離虛軸，以使每個(gè)分量衰減更快；快速性好：閉環(huán)極點(diǎn)均遠(yuǎn)離虛軸，以使每個(gè)分量衰減更快；3.平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于=45等阻尼線上，等阻尼線上，其對(duì)應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為其對(duì)應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為=0.707 ；4.若非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部比若非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部比5，且主導(dǎo)極點(diǎn)附近又無(wú)，且主導(dǎo)極點(diǎn)附近又無(wú)閉環(huán)零點(diǎn)，則非主導(dǎo)極點(diǎn)可忽略。一般可近似將高階系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)，則非主導(dǎo)極點(diǎn)可忽略。一般可

15、近似將高階系統(tǒng)看成由共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)或由實(shí)數(shù)主導(dǎo)極看成由共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)或由實(shí)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)組成的一階系統(tǒng)。點(diǎn)組成的一階系統(tǒng)。5.閉環(huán)零點(diǎn)可以抵消或削弱附近閉環(huán)極點(diǎn)的作用，當(dāng)某個(gè)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)可以抵消或削弱附近閉環(huán)極點(diǎn)的作用，當(dāng)某個(gè)零點(diǎn)-zi與某個(gè)極點(diǎn)與某個(gè)極點(diǎn)-pj非常接近，成為一對(duì)偶極子。非常接近，成為一對(duì)偶極子?？稍谙到y(tǒng)中人為可在系統(tǒng)中人為引入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程中有明顯壞影響的極點(diǎn)，引入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程中有明顯壞影響的極點(diǎn)，從而提高性能指標(biāo)。從而提高性能指標(biāo)。( )(1)gkKG ss s1.已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，增加，增

16、加 -p=-2或或 -z=-2，討論對(duì)系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。討論對(duì)系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。增加零點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向左偏移增加零點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向左偏移增加極點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向右偏移增加極點(diǎn)后，根軌跡及其分離點(diǎn)向右偏移增加極點(diǎn)后，增加極點(diǎn)后，Kg從從0，兩條根軌跡離開(kāi)實(shí)軸，并進(jìn)，兩條根軌跡離開(kāi)實(shí)軸，并進(jìn)入入s右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當(dāng)根軌跡仍在當(dāng)根軌跡仍在s左半平面時(shí)，左半平面時(shí)，Kg， ，振蕩程度，振蕩程度，n，衰減因子，衰減因子，快速性，快速性，動(dòng)態(tài)性能，動(dòng)態(tài)性能。增加零點(diǎn)后，根軌跡始終在增加零點(diǎn)后，根軌跡始終在s左半平面，最后變?yōu)閮蓚€(gè)左半平

17、面，最后變?yōu)閮蓚€(gè)負(fù)實(shí)根，穩(wěn)定性負(fù)實(shí)根，穩(wěn)定性， ， ，% ， tS ，動(dòng)態(tài)性能，動(dòng)態(tài)性能 。 常在工程中采用增加零點(diǎn)的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。常在工程中采用增加零點(diǎn)的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。例例4.已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，討論增加開(kāi)環(huán)已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，討論增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。2( )(10)gkKG sssa.原系統(tǒng)：原系統(tǒng)：3個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定1230,10ppp 1( 10,0)z b. ， 穩(wěn)定，由于閉環(huán)極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)，階躍響應(yīng)呈穩(wěn)定，由于閉環(huán)極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)，階躍響應(yīng)呈衰減振蕩衰減振蕩1(, 10)z c.

18、，不穩(wěn)定，不穩(wěn)定引入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)值要適當(dāng)，才能比較顯著地改善性能。引入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)值要適當(dāng)，才能比較顯著地改善性能。增加開(kāi)環(huán)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響：對(duì)根軌跡的影響： 改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布；改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布； 改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距；改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距； 可構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，改善系統(tǒng)性能；可構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，改善系統(tǒng)性能； 根軌跡曲線向左偏移，意味著閉環(huán)極點(diǎn)向左偏移虛軸，根軌跡曲線向左偏移，意味著閉環(huán)極點(diǎn)向左偏移虛軸，穩(wěn)定裕度好，快速性好，所加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸影響穩(wěn)定裕度好，快速性好，所加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸影響越大。越大。增加開(kāi)環(huán)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響：對(duì)根軌跡的影響： 改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布；改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布； 改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距；改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距； 改變了根軌跡的分支數(shù)；改變了根軌跡的分支數(shù)； 根軌跡曲線向右偏移，動(dòng)態(tài)性能下降，所加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)越根軌跡曲線向右偏移，動(dòng)態(tài)性能下降，所加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)越靠近虛軸影響越大?？拷撦S影響越大。閉環(huán)極點(diǎn)的確定總結(jié)閉環(huán)極點(diǎn)的確定總結(jié)(1)已知阻尼系數(shù)已知阻尼系數(shù),可求系統(tǒng)的根可求系統(tǒng)的根(三階系統(tǒng)三階系統(tǒng))(2)已知實(shí)數(shù)根已知實(shí)數(shù)根,通過(guò)大除法可求另外兩個(gè)共軛根通過(guò)大除法可求另外兩個(gè)共軛根(三階系統(tǒng)三階系統(tǒng))(