第三章 正弦交流電路-1-相量表示法

1、第三章正弦交流電路it iit tIim sinImTfT22Tf1t 幅值：幅值：Im、Um、EmdtRiT20RTI2T0ttIT1dsin22m2Im同理：同理：2UUm2EEm 則有則有TdtiTI0212例例已知：已知：tsinUumVUm310Hzf50其中其中求：求：U U和和t=0.1t=0.1秒時(shí)的瞬時(shí)值秒時(shí)的瞬時(shí)值解：解：VUUm22023102).sin(ftsinUum1010031020： t = 0 時(shí)的相位，稱為時(shí)的相位，稱為初相位初相位或或初相角初相角。it ）（t：正弦波的：正弦波的相位角相位角或相位或相位三、初相角和相位差三、初相角和相位差 1212 t t

2、 兩個(gè)兩個(gè)同頻率同頻率正弦量間的正弦量間的相位差相位差( ( 初相角初相角) ) 222111 t sinIi t sinIimm122i1i t兩種正弦信號(hào)的關(guān)系兩種正弦信號(hào)的關(guān)系同同相相位位212i1i12t021 落后于落后于2i1i相相位位落落后后22it11i2i相相位位領(lǐng)領(lǐng)先先1i021領(lǐng)先于領(lǐng)先于1i2it12021與與1i2i同相位同相位 三相交流電路：三種電壓初相位各差三相交流電路：三種電壓初相位各差120120 。BuCuAu t瞬時(shí)值表達(dá)式瞬時(shí)值表達(dá)式301000sinti相量相量必須必須小寫小寫前兩種不便于運(yùn)算，重點(diǎn)介紹相量表示法。前兩種不便于運(yùn)算，重點(diǎn)介紹相量表示法。

3、波形圖波形圖it 正弦波的表示方法：正弦波的表示方法：重點(diǎn)重點(diǎn)3.1.2 3.1.2 正弦交流電的相量表示正弦交流電的相量表示1.1.復(fù)數(shù)的表示形式復(fù)數(shù)的表示形式代數(shù)形式代數(shù)形式A A= =a a( (實(shí)實(shí))+j)+jb b( (虛虛) )其中：其中：1 1j jb ba aA AReReImIm0 0r r由上圖可知由上圖可知sinrbcosraabarctgbar22一、復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)及其基本運(yùn)算一、復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)及其基本運(yùn)算三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式sinjrcosrA rA（歐拉公式）（歐拉公式）sinjrcosrreAsinjcosejj2.2.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算復(fù)數(shù)的基本

4、運(yùn)算（1 1）加、減）加、減設(shè)：設(shè)：11jbaA22jbaB；則：則：)bb( j)aa (BA2121ReReImImB BA AA+BA+BReReImImB BA AA-BA-B-B-B（加）（加）（減）（減）（2 2）乘、除）乘、除（乘）設(shè)：（乘）設(shè)：1j1erA2j2erB)( j21j2j12121er rererBA或：或：)(rrrrBA21212211（除）（除）)( j21j2j12121errererB/A)(rrrrB/A212122113.3.討論討論（1 1）1ej設(shè)：設(shè)：jreA)( jjreeAReReImImr rr rAjAej j e e為旋轉(zhuǎn)因子為旋轉(zhuǎn)因

5、子（2 2）由歐拉公式可知）由歐拉公式可知jj090sinj90coseoo90jojj0)90sin(j)90cos(eoo90jo10 j1180sinj180coseoo180jo注意：注意：j j、-j-j、-1-1都是旋轉(zhuǎn)因子都是旋轉(zhuǎn)因子稱為，一個(gè)復(fù)數(shù)乘以j相當(dāng)于在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90；除以j相當(dāng)于在復(fù)平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 數(shù)學(xué)課程中旋轉(zhuǎn)因子是用i表示的，電學(xué)中為了區(qū)別于電流而改為j。相量法相量法是分析求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種有是分析求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種有效效工具工具。 根據(jù)根據(jù)歐拉歐拉公式，一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)公式，一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù) )(itjeIm可以寫成可以寫成:)s

6、in()cos()(imimmtjItIeIitj實(shí)部實(shí)部是是余余弦量弦量 虛部虛部是是正正弦量弦量 則則 )sin(Im)(immtIeIitj正弦量正弦量可以用上述形式可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)描述描述 二、二、正弦交流電的相量表示法)sin(Im)(immtIeIitj正弦量正弦量可以用上述形式可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)描述描述 ImIm)sin()()(tjijitjeeIeItItimmim取復(fù)數(shù)函數(shù)的虛部取復(fù)數(shù)函數(shù)的虛部復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一個(gè)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù) 即即為正弦量的為正弦量的 相量相量，記為，記為 mI相量:指與正弦量具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的復(fù)數(shù)。如

7、：正弦量的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)A的值； tUum sinAmUt u 顯然，。二者具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。0j01正弦量的與復(fù)數(shù)A的相對(duì)應(yīng)； 正弦量的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)A繞軸旋轉(zhuǎn)的； )(sinmtUu設(shè)正弦量設(shè)正弦量:表示正弦量的復(fù)數(shù)稱表示正弦量的復(fù)數(shù)稱相量，相量， UUeUj實(shí)質(zhì)：用復(fù)數(shù)表示正弦量。實(shí)質(zhì)：用復(fù)數(shù)表示正弦量。正弦交流電的相量表示法 UeUUmjmm或：或： 相量圖相量圖: 把相量表示在復(fù)平面的圖形把相量表示在復(fù)平面的圖形IU相量圖相量圖 模模用最大值表示用最大值表示 ，則用符號(hào)：，則用符號(hào)：mmI U、 實(shí)際應(yīng)用中，模多采用有效值，符號(hào)：實(shí)際應(yīng)用中，模多采用有效值，符號(hào)：I U、如：已知如：已知)45(

8、sin220tuj45m220 eUj452220eU則則或或可以證明可以證明同頻率正弦波同頻率正弦波運(yùn)算后，頻率不變運(yùn)算后，頻率不變。222111 sin2 sin2tUutUu如：如：結(jié)論結(jié)論: : 因角頻率（因角頻率（ ）不變，所以以下）不變，所以以下討論討論同頻率正弦波同頻率正弦波時(shí)，時(shí)， 可不考慮，主要研究可不考慮，主要研究幅度幅度與與初相位初相位的變化的變化。tUtUtUuuu sin2 sin2 sin2221121幅度、相位變化幅度、相位變化頻率不變頻率不變解解：A506 .86301003024 .141jIV5 .190110602206021 .311jU例例1:已知瞬時(shí)

9、值，求相量。已知瞬時(shí)值，求相量。已知已知: : V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti求：求： i 、u 的相量的相量 506 .86301003024 .141jI5 .190110602206021 .311jU2203/UI1006/AV相量圖相量圖求：求：21ii 、例例2：已知相量，求瞬時(shí)值。已知相量，求瞬時(shí)值。 已知：已知：兩個(gè)頻率都為兩個(gè)頻率都為 1000 Hz 的正弦電流其相量的正弦電流其相量形式為：形式為：A10A601003021jeIIA )306280sin(210A )606280sin(210021titi解解：6280100022fsra

10、d相量運(yùn)算：相量運(yùn)算：1. 同頻率正弦量相加減同頻率正弦量相加減 j1111j2222( )2sin( )Im( 2)( )2sin( )Im( 2)ttu tUtU eu tUtU e)t (u)t (u)t (u21 U21 UUU得：得： jj12Im( 2)Im( 2)ttU eU e jj12 Im (22)ttU eUe j12Im (2()tUUe這實(shí)際上是一種這實(shí)際上是一種變換思想變換思想，由由時(shí)域量時(shí)域量變換到變換到相量相量“相量相量” 不同于不同于“向量向量”21uuu 例例V )60314sin(24)(V )30314sin(26)(o21 ttuttu同頻正弦量的加、

11、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。相量同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314sin(267. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU464. 323196. 5jj 464. 6196. 7j V 9 .4167. 9o 602U注意：還原為正弦量時(shí)，要為注意：還原為正弦量時(shí)，要為對(duì)應(yīng)的正弦量形式對(duì)應(yīng)的正弦量形式注意注意 ： 1. 只有正弦量只有正弦量才能用相

12、量表示，非正弦量不可以。才能用相量表示，非正弦量不可以。2. 只有只有同頻率同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上，的正弦量才能畫在一張相量圖上， 不同頻率不行。不同頻率不行。新問題新問題提出：提出： 平行四邊形法則可以用于相量運(yùn)算，但不方便。平行四邊形法則可以用于相量運(yùn)算，但不方便。故引入故引入相量的復(fù)數(shù)運(yùn)算法。相量的復(fù)數(shù)運(yùn)算法。 相量相量 復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算 sincosjUUjbaU相量的復(fù)數(shù)表示相量的復(fù)數(shù)表示abUUj+1將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)U放到復(fù)平面上，可如下表示：放到復(fù)平面上，可如下表示：abtgbaU122歐拉公式歐拉公式 UeUjUjbaUj)sin(cos代數(shù)式代數(shù)式

13、 指數(shù)式指數(shù)式 極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式abUUsinjcosej在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫出幅角的值。如：434 5 53.1 (arctan)3AjA 第一象限434 5 (180arctan )3BjB 第二象限434 5 (arctan180 )3CjC 第三象限434 5 ( arctan)3DjD 第四象限+1+j034-3-4ABCD符號(hào)說明瞬時(shí)值瞬時(shí)值 - 小寫小寫u、i有效值有效值 - 大寫大寫U、I復(fù)數(shù)、相量復(fù)數(shù)、相量 - 大寫大寫 + “.”U最大值最大值 - 大寫大寫+ +下標(biāo)下標(biāo)mU)45(sin220tu452220U？45m220 eU？)30(sin24t？j304 eIj45 2.2.已知：已知：A6010I)A60(sin10ti？V15100UV100 U？V100j15eU ？ 1U12U22U1U1U2UV202201UV451102UV)45(sin21102tuV)20(sin22201tu);30(314sin20200sin4tt);90(628sin100314sin50tt; )40(314sin8)40(314sin6tt。)60(1000sin401000s