D85對弧長曲線積分學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D85對弧長曲線對弧長曲線(qxin)積分積分第一頁，共23頁。一、對弧長的曲線積分的概念一、對弧長的曲線積分的概念(ginin)與與性質(zhì)性質(zhì)二、對弧長的曲線二、對弧長的曲線(qxin)積分的計積分的計算法算法對弧長的曲線(qxin)積分 第 八章 上頁 下頁第1頁/共23頁第二頁，共23頁。AB弧段為弧段為AB , 其線密度其線密度(md)為為的方法的方法,可得可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量為計算此構(gòu)件的質(zhì)量, ,ks1kMkM1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用采用上頁 下頁“分割、近似代替、求和、取極限分割、近似代替、求和、取極限” ),(zyx注意注意:是定義在是定

2、義在弧段弧段AB上的函數(shù)上的函數(shù). 第2頁/共23頁第三頁，共23頁。設(shè)設(shè) 是空間是空間(kngjin)中一條有限長的光滑曲線中一條有限長的光滑曲線,義在義在 上的一個上的一個(y )有界函數(shù)有界函數(shù), 都存在都存在(cnzi), 上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分, 記作記作若通過對若通過對 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取點任意取點, 下列下列“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線在曲線或或第一類曲線積分第一類曲線積分. ),(zyxf稱為稱為被積函數(shù)，被積函數(shù)， 稱為稱為積分弧段積分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和對和對上頁 下頁第

3、3頁/共23頁第四頁，共23頁。如果如果(rgu) L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為則定義則定義(dngy)對弧長的曲線積對弧長的曲線積 分為分為思考思考: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對弧長的曲線積分的特例定積分是否可看作對弧長的曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).上頁 下頁第4頁/共23頁第五頁，共23頁。3.3.對弧長的曲線積分的物理對弧長的曲線積分的物理(wl)(wl)意義和幾何意義意義和幾何意義 物理物理(wl)(wl)意義意義 表示弧表示弧的

4、線密度的線密度. . ( , , )f x y z其中其中幾何幾何(j h)(j h)意義意義 表示表示的弧長的弧長. . ds曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量, 4. 性質(zhì)性質(zhì)（k 為常數(shù)為常數(shù)) ( 由由 組成組成) 21, 上頁 下頁表示表示 第5頁/共23頁第六頁，共23頁?；舅悸坊舅悸?計算計算(j sun)定積分定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化定理定理(dngl):且且上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分求曲線積分求曲線積分根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf),(lim10上頁 下頁第6頁/共23頁第七頁，共23頁。點點設(shè)各分點對應(yīng)設(shè)各分點對應(yīng)

5、(duyng)參數(shù)為參數(shù)為對應(yīng)對應(yīng)(duyng)參數(shù)為參數(shù)為 則則nk 10lim上頁 下頁第7頁/共23頁第八頁，共23頁。xdydsdxyoLsyxfd),(說明說明(shumng):因此因此(ync)積分限必須滿足積分限必須滿足(2) 注意注意(zh y)到到 x因此上述計算公式類似于因此上述計算公式類似于“換元法換元法”. 因此因此上頁 下頁第8頁/共23頁第九頁，共23頁。則有則有如果如果(rgu)方程為極坐標(biāo)形式方程為極坐標(biāo)形式:則則syxfLd),(推廣推廣: 設(shè)空間設(shè)空間(kngjin)曲線弧的參數(shù)方程為曲線弧的參數(shù)方程為則則上頁 下頁第9頁/共23頁第十頁，共23頁。上頁 下

6、頁由上述定理得對弧長的曲線積分的一般由上述定理得對弧長的曲線積分的一般(ybn)(ybn)計算步驟如下計算步驟如下: : 第一步第一步 畫出積分曲線畫出積分曲線(qxin)L(qxin)L的草圖；的草圖； 第二步第二步 寫出寫出L L的方程的方程(fngchng); (fngchng); 第三步第三步 化為定積分化為定積分; ; 作法作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表達式代入弧微分用同一形式的表達式代入; ; 把被積函數(shù)中的把被積函數(shù)中的x,y用積分曲線用積分曲線 變量參數(shù)化變量參數(shù)化: : 一類小放下一類小放下: : 化為定積分時要用參數(shù)的最小值化為定積分時要

7、用參數(shù)的最小值 作為作為定積分的下限定積分的下限. .第四步第四步 計算定積分計算定積分. . (L的方程形式?jīng)Q定定積分形式的方程形式?jīng)Q定定積分形式 ) 第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。其中其中(qzhng) L 是拋物線是拋物線與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:上點上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上頁 下頁第11頁/共23頁第十二頁，共23頁。其中其中(qzhng) L 是是所圍成的扇形的整個所圍成的扇形的整個(zhngg)邊界邊界 . 上頁 下頁解解 由圖可知由圖可知(k zh) (k zh) 在在 上，上，在在 上上, , 故故

8、 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B例例2. 求求 故故 .LOAABOBAB第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。在在 OB上，上， 綜上所述，得綜上所述，得 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B故故 上頁 下頁第13頁/共23頁第十四頁，共23頁。上頁 下頁例例3. 計算計算(j sun)其中其中(qzhng) L 是拋物線是拋物線A(1,2)到到點點 B (1,-2) 之間的一段弧之間的一段弧 . 上從點上從點解解 為了得到為了得到(d do)(d do)單值函數(shù)單值函數(shù), ,應(yīng)把應(yīng)把 的方程寫成的方程寫成 因此因此 ( (因為被積函數(shù)為奇函數(shù)因為被積函數(shù)為奇函數(shù)). ).

9、 1Lxy24yxo(1,2)A(1,2)B第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。其中其中(qzhng)為螺旋為螺旋的一段弧的一段弧.解解: 線線上頁 下頁第15頁/共23頁第十六頁，共23頁。其中其中(qzhng)為球面為球面解解: 化為參數(shù)化為參數(shù)(cnsh)方程方程 則則 上頁 下頁第16頁/共23頁第十七頁，共23頁。其中其中(qzhng)為球面為球面 被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知(k zh)上頁 下頁第17頁/共23頁第十八頁，共23頁。1. 定義定義(dngy)2. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)kknkksf),(lim10Lsyxfd),( l 曲線弧曲線弧 的長度的長度)上頁 下頁第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。 對光滑對光滑(gung hu)曲線弧曲線弧Lsyxfd),( 對光滑對光滑(gung hu)曲線弧曲線弧Lsyxfd),(Lsyxfd),( 對光滑曲線弧對光滑曲線弧xx d)(12上頁 下頁第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。1. 已知橢圓已知橢圓(tuyun)周長周長(zhu chn)為為a , 求求提示提示:原式原式 =o22yx3利用對稱性利用對稱性xyd1222分析分析:上頁 下頁第20頁/共23