D9_1基本概念20160301

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微積分 上邢順來電話Q:2286253960高等數(shù)學(xué)討論群:206742833 推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2RRR建立了直角坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平

2、面，記作( , )|( ,).x yx yP具有性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P 的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集. 記作 E ( , )|,.x yx yR平面上的點(diǎn)和二元有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)。常把有序數(shù)組(x,y)與平面上的點(diǎn)P視作等同的。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(0oPPUPP 00一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ),(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(0P 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在討論實(shí)際

3、問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?(),(),0yxPU。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.,0 xxyy0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁

4、下頁 返回 結(jié)束 (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心),PU(E鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E

5、;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體所構(gòu)成的集合記作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1

6、,),(21R中的每一個(gè)元素用單個(gè)粗體字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定義了線性運(yùn)算的定義:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任給),(2211nnyxyxyxyx線性運(yùn)算其元素稱為點(diǎn)或 n 維向量. xi 稱為 x 的第 i 個(gè)坐標(biāo) 或 第 i 個(gè)分量. .R)0, 0, 0(中的坐標(biāo)原點(diǎn)或零向量稱為零元n0 0稱為 n 維空間, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的距離距離定義為2211)()(nnyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中兩點(diǎn)yxyx或),(),(,21nxxxx點(diǎn)

7、特別與零元 0 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常記作時(shí)當(dāng)n, 0Raxx滿足與定元中的變?cè)猘n. ax 記作nR記作則稱 x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa設(shè)顯然趨于a ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPP

8、fu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcs

9、in(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P65 題 5(3).定義域 0:yyxDP65 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO(3) zxy222222221(5) uRxyzxyzr0Rr求下列函數(shù)的定義域目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),(nDPPfR),點(diǎn) , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：

10、Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)定義中 方式是多種多樣的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。0PP（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限.注：（3）函數(shù)在一點(diǎn)的極限是否存在，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義，取什么值無關(guān).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè))0(1sin)(),

11、(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似，比如 四則運(yùn)算法則 夾逼準(zhǔn)則 等價(jià)無窮小代換（因式代換） 但羅比達(dá)法則不再成立！多元函數(shù)的極限的性質(zhì)與一元函數(shù)類似，如局部有界性、局部保號(hào)性. 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小對(duì)函數(shù)作恒等變形約去無窮小因子目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: : 221lim)sin(lim)2 , 0(),()

12、2 , 0(),(yxyxyyxyx221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyx 定義域 P0(0,2)為D的聚點(diǎn).( , )|0,Dx y xy R由積的極限運(yùn)算法則，得例例2. 求( , )(0,2)sin()lim.x yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyyxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu12ux y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求極限求極限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy22

13、22200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222x yxy12x00,x 22200sin()lim0.xyx yxy2ux yyxyx222目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求極限求極限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy2222200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222xxy1,0,22200sin()lim0.xyx yxy2ux y0limyy目錄 上頁 下頁

14、返回 結(jié)束 僅知其中一個(gè)存在,推不出其他二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例4 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxky

15、xfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例4. 討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 函數(shù) f (P)在 P0 連續(xù)必須滿足三個(gè)條件: 在 P0 有定義, 在

16、P0 的極限存在, 極限值等于函數(shù)值. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)

17、有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221y

18、xyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí) p66,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222222201 cos()lim()x yxyxyexy22222222201()2lim()x yxyxyexy222222001 cos()lim.()x yxyxyexy2222211cos()() , ( , )(0,0).2xyxyx y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2.

19、多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0,0時(shí)，當(dāng)PP 00有APf)(3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P64 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P133 題 3; *4思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P64 5(偶)，6(奇)，7(1)，8；第二節(jié) 作作 業(yè)業(yè)

20、 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí) 第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求二元函數(shù)極限（二重極限）常用的方法：求二元函數(shù)極限（二重極限）常用的方法：（1 1）用定義驗(yàn)證其存在；）用定義驗(yàn)證其存在；（2 2）利用適當(dāng)放縮或變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)）利用適當(dāng)放縮或變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3 3）消去分子分母中極限為）消去分子分母中極限為0 0的因子；的因子；（4 4）利用極限運(yùn)算性質(zhì)或法則，例如夾逼準(zhǔn)則）利用極限運(yùn)算性質(zhì)或法則，例如夾逼準(zhǔn)則（與一元函數(shù)相似）；（與一元函數(shù)相似）；（5 5）利用函數(shù)的連續(xù)性）利用函數(shù)的連續(xù)性目錄 上頁 下

21、頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示: :P61 題 2. ),(),(2yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) .P61 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 題 5(3).定義域 0:yyxDP61 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P62 題 8.間斷點(diǎn)集02),(2 xyyxP129 題 3. 定義域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 題 *4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxy

22、xyx212202limxxxDxy42yx1, 則 可見極限不存在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx

23、yxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以極限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)yx220 xyyx11sinsin總有 2要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222