《全等三角形》教學(xué)的一些思考(曹自由)

1、北京五中分校北京五中分校 曹自由曹自由三個思考 為什么而學(xué)？ 教什么？ 怎么教？2011課程標(biāo)準(zhǔn)2001實驗版新課程標(biāo)準(zhǔn)3三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。（4）掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握判定直角三

2、角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件。了解（認(rèn)識）：從具體事例中了解（認(rèn)識）：從具體事例中知道知道或舉例或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情景中從具體情景中辨認(rèn)辨認(rèn)或者或者舉例舉例說明對象。說明對象。 理解：描述對象的特征和由來，闡述此對理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。2011課程標(biāo)準(zhǔn)2001實驗版新課程標(biāo)準(zhǔn)3三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。（4）掌握掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等

3、的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形了解全等三角形的概念，探索并掌 握兩個三角形全等的條件。2011課程標(biāo)準(zhǔn)2001實驗版新課程標(biāo)準(zhǔn)3三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。（

4、4）掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形了解全等三角形的概念，探索并掌 握兩個三角形全等的條件。掌握掌握理解理解 1 1全等三角形全等三角形 A A 了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全

5、等三了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系。角形之間的關(guān)系。B B 掌握兩個三角形全等的條件和全等三角形性質(zhì)；會掌握兩個三角形全等的條件和全等三角形性質(zhì)；會應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題。應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題。C C 會運用全等三角形的知識和會運用全等三角形的知識和方法方法解決有關(guān)問題解決有關(guān)問題。全等三角形問題是我們第一次接觸的封閉圖形的關(guān)系問題，因此其作用是很主重要的，它要提供學(xué)習(xí)這類問題的基本方法以及研究思路 2 2角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)A A 了解角平分線的概念并會表示。了解角平分線的概念并會表示。 B B 會用尺規(guī)作圖作已知角的平分

6、線；會用角會用尺規(guī)作圖作已知角的平分線；會用角平分線的性質(zhì)解決簡單問題。平分線的性質(zhì)解決簡單問題。 3 3證明證明A A 知道證明的必要性；了解反證法的含義知道證明的必要性；了解反證法的含義B B 掌握用綜合法證明的格式，證明的過程要掌握用綜合法證明的格式，證明的過程要步步有據(jù)步步有據(jù)C C 會用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理會用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理基本事實：SSS、SAS、ASA定理：AAS HL（課本中對HL未給出證明）實驗實驗稿稿2011年版年版（ （1 1）兩條平行直線被第三條直線）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。所截，同位角相等。 (2)(2)兩條直線被第三條直線所截，兩條直

7、線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直如果同位角相等，那么這兩條直線平行。線平行。（3 3）兩邊及其夾角分別相等的）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全。兩個三角形全。（4 4）兩角及其夾邊分別相等的）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。兩個三角形全等。（5 5）三邊分別相等的兩個三角）三邊分別相等的兩個三角形全等。形全等。（6 6）兩個全等三角形的對應(yīng)邊）兩個全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。相等，對應(yīng)角相等。（1)1)兩點確定一條直線。兩點確定一條直線。（2 2）兩點之間線段最短。）兩點之間線段最短。 (3) (3)過一點有且只有一條直線與已知直過一點有且只有一條直線與已知直線

8、垂直。線垂直。 (4) (4)兩條直線被第三條直線所截，如果兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。同位角相等，那么這兩條直線平行。（5 5）過直線外一點有且只有一條直線）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。與這條直線平行。（6 6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全。角形全。（7 7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。角形全等。（8 8）三邊分別相等的兩個三角形全等）三邊分別相等的兩個三角形全等。（9 9）兩條直線被一組平行線所截，所）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。得的對應(yīng)線段成比

9、例?；臼聦嵒臼聦嶊P(guān)于“基本事實”8 8個探究個探究5 5個探究、個探究、3 3個思考個思考到底教什么？1. 1. 用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學(xué)章的教學(xué). .研究研究對象對象一個圖形的要素之間的關(guān)系一個圖形的要素之間的關(guān)系兩個或多個圖形之間的關(guān)系兩個或多個圖形之間的關(guān)系關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題1. 1. 用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學(xué)章的教學(xué). .幾何幾何圖形圖形判定判定性質(zhì)性質(zhì)對任何確定的一類圖形進(jìn)行變換(剛體運動、壓縮、圓的反演等等)，圖形的什么性質(zhì)將保持不變.按照變換的方式

10、把幾何分為不同分支的思想是克萊因在1872年提出的.關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題2. 2. 讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程. .畫圖、測量、實驗、分析、歸納畫圖、測量、實驗、分析、歸納關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題會有學(xué)生問會有學(xué)生問 為什么要做這件事嗎？為什么要做這件事嗎？角平分線的性質(zhì)為什么引入這個知識是關(guān)鍵問題，角平分線本身有性質(zhì)，為什么還要研究？設(shè)計一個問題：不借助作圖工具，只用直尺能否作一個角的平分線？關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題在探究這個問

11、題時，我們也可以約定利用其他的工具實現(xiàn)，例如只使用三角板等關(guān)于真假探究的關(guān)于真假探究的問題問題關(guān)于培養(yǎng)推理能力的關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題問題 已知AB=BC，請你添加一個條件 ， 使得ABD BCD. 作業(yè)中可以將條件作業(yè)中可以將條件AB=BC 改為改為BD平分平分ABC可以將圖形特殊化：在可以將圖形特殊化：在 RtABD和和RtBCD中，中，A=C=90，增加怎增加怎樣一個條件可以使這兩個三角形全等樣一個條件可以使這兩個三角形全等呢？呢？ 關(guān)于培養(yǎng)推理能力的關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題問題已知：AB=AE，請你添加一個條件 ，使得BOC EOD，并證明. 已知：AB=AE，AC=AD . 求證：BO

12、C EOD. O請你觀察圖形，圖中有幾對三角形看似全請你觀察圖形，圖中有幾對三角形看似全等？具備什么條件可以證明他們?nèi)?？等？具備什么條件可以證明他們?nèi)?？關(guān)于培養(yǎng)推理能力的關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題問題利用中點構(gòu)造全等利用中點構(gòu)造全等求中線求中線AD的取值范圍的取值范圍.關(guān)于培養(yǎng)推理能力的關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題問題ABCDE 在ABC中，點D是AC的中點，過點D 做射線BD，E是BD上一點，連結(jié)CE，問：在此圖中是否有全等三角形？若沒有，點E進(jìn)行怎樣的運動可以構(gòu)造全等三角形關(guān)于培養(yǎng)推理能力的關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題問題1.1.運動變化的觀點識圖運動變化的觀點識圖2.2.基本圖形的積累基本圖形的積累

13、關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題FEDCBAFEDCBAEDCBAEDCBAEDCBADCBADCBAEDCBA關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題如圖，如圖，A=B=90, , DCEC，DC=EC.求證：求證：ADC BCE關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題如圖，如圖，A=B=90, , DC=EC, , AC=BE.求證：求證：DCEC關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題等腰RtABC中，AC=BC,ADCD,BECE,直線DE過C點，問：DE、AD、BE之間有怎樣的等量關(guān)系？（注意直線DE過AB中點、A點、B點時的圖形未給出）關(guān)于模式與模式化的關(guān)于

14、模式與模式化的問題問題將兩個全等的直角三角形將兩個全等的直角三角形ABC和和DBE按圖方式擺放，其中按圖方式擺放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，點，點E落在落在AB上，上，DE所在直線交所在直線交AC所在直線于點所在直線于點F（1）求證：）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖中的）若將圖中的DBE繞點繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且，且060，其它，其它條件不變，請在圖中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（條件不變，請在圖中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；是否仍然成立；（3）若將圖中的）若將圖中的DBE繞點繞點B按順時針方向旋

15、轉(zhuǎn)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且，且60180，其，其它條件不變，如圖你認(rèn)為（它條件不變，如圖你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出過程；若不成立，請寫出AF、EF與與DE之間的關(guān)系，并說明理由之間的關(guān)系，并說明理由關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題?D?C?B?A圖1?F?E圖2?E圖3關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題?D?C?B?A?D?C?B?AABC=90ABC=120關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題已知：如圖，四邊形ABCD中，A+C=180，BD平分ABC，求證： DC=AD.?D?C?B?A?G?F?E?D?C?B?A?F?D?C?B?A關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題?E?D?C?B?A?G?F?E?D?C?B?A?D?C?B?A關(guān)于模式與模式化的關(guān)于模式與模式化的問題問題基本作圖：1.作一條線段等于已知線段；2.作一個角等于已知角；3.作一個角的平分線；4.作一條線段的垂直平分線;5.過一點作已知直線的垂線.關(guān)于能力和習(xí)慣的問題關(guān)于能力和習(xí)慣的問題尺規(guī)作圖：1.會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；2.已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；3.已知一直角邊和斜邊作直角三角形.關(guān)于能力和習(xí)慣的問題關(guān)于能力和