運動學部分例題

1、運動學解：取M點的直線軌跡為 x 軸，曲柄的轉動中心O為坐標圓點。M點的坐標為：例1 下圖為偏心驅動油泵中的曲柄導桿機構。設曲柄 OA 長為r ，自水平位置開始以勻角速度w 轉動，即j =wt，滑槽K-K與導桿B-B制成一體。曲柄端點A通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲柄帶動導桿B-B作上下直線運動。試求導桿的運動方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 將j =wt帶入上式，得M點的運動方程：sinxrtw將上式對時間求一階導數(shù)和二階導數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄連桿機構是由曲柄、連桿及滑塊組成的機構。當曲柄O

2、A繞O軸轉動時，由于連桿AB帶動，滑塊沿直線作往復運動。設曲柄OA長為r，以角速度w 繞O軸轉動，即jwt，連桿AB長為l。試求滑塊B的運動方程、速度和加速度。解：取滑塊B的直線軌跡為x軸，曲柄的轉動中心O為坐標原點。在經(jīng)過 t 秒后，此時B點的坐標為：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得B的運動方程：22cos1sin)xrtltww由此可得滑塊B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 將右邊最后一項展開：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111sin1sinsin28tttwww 2

3、2cos1sin)xrtltww例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動的速度。解: 取坐標系x如圖所示，由幾何關系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對t求一階導數(shù)，得 M 點的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動的速度。解: 取坐標系x如圖所示，由幾何關系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對t求一階導數(shù)，得 M 點的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx

4、例4 下圖為料斗提升機示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉動的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提升的運動方程為y2t2，y以cm記，t 以s計。求卷筒邊緣一點M在t4s時的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此時M點的切向加速度為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當t=4 s時速度為：d4dSvttM點的法向加速度為：2216/nvacmsRM點的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若

5、鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在M1、M2點的曲率半徑分別為1=600m, 2=800m 。求列車從M1到M2所需的時間和經(jīng)過M1和M2處的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv求列車經(jīng)過M1和M2時的法向加速度為：221110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列車經(jīng)過M1時的全加速度為：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .

6、5naa列車經(jīng)過M2時的加速度為： 例6 桿AB繞A點轉動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護環(huán)M 運動，已知wt (w為常數(shù))。求小環(huán)M 的運動方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標系。則即為小環(huán)M 的運動方程。jj2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOjxyj2故M點的速度大小為wRvvvyx222其方向余弦為cos( , )cos2xvvjv icos( , )sin2yvvj v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故M點的加速度大小為2224wRaaay

7、x且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOjxyj2vxvyvaMMjRoj例7 半徑為R 的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾動)。設輪子保持在同一豎直平面內運動， ，試分析輪子邊緣一點M的運動。twj取坐標系Axy如圖所示，并設M 點所在的一個最低位置為原點A，則當輪子轉過一個角度后，M點坐標為)sin(sinjjjROMACx)cos1 (cosjjROMOCy這是旋輪線的參數(shù)方程。joRCAxyMM點的速度為：jRiRj yi xv)sin()cos1 (jjjj當M點與地面接觸，即 時，M點速度等于零。jk2joRCAxyM22sincosaxiyjrtirtjw

8、www例7-1 齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改變轉速和轉向。如圖，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因嚙合點無相對滑動，所以tt1212,vvaa由于111222tt11 1222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例7-2 一半徑為一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸的圓輪繞定軸O的轉動方程的轉動方程為為 ，單位為弧度。求，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點時，輪緣上任一點M的的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長速度和加速度（如圖）。如

9、在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體的繩子并在繩端懸一物體A，求當，求當t=1s時，物體時，物體A的速度和加的速度和加速度。速度。tt42j 解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為42 tdtdjw222dtdj求當求當t=1s時，則為時，則為srad /2w2/2srad 因此輪緣上任一點因此輪緣上任一點M的速度和加速度為的速度和加速度為smRv/4 . 0w2/4 . 0smRa22/8 . 0smRanw方向如圖所示。方向如圖所示。ARMOvana M點的全加速度及其偏角為點的全加速度及其偏角為ARMOanaa22222/894. 0)

10、8 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgw如圖。 現(xiàn)在求物體現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因為的速度和加速度。因為MAss 上式兩邊求一階及二階導數(shù)，則得上式兩邊求一階及二階導數(shù)，則得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例7-3 在刮風期間，風車的角加速度 ，其中轉角 以rad計。若初瞬時 ，其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉過兩圈（ ）時其頂端 P 點的速度。 20.2/rad s000,6/rad sw4 radPdddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6

11、.166/rad svrm swwww解：例例7-4 下圖是一減速箱，它由四個齒輪組成，其齒數(shù)分別為下圖是一減速箱，它由四個齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求減速箱的總減速比求減速箱的總減速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求傳動比：解：求傳動比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z則有：則有：1313300086 / min34.8nnri例1 如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度w 繞O軸轉動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線

12、。求在圖示位置時，桿AB的速度。 ABeCOwvevavrcotaeevvOAeOAwwtaneavv解：因為桿AB作平動。選取桿AB的端點A作為研究的動點，動參考系隨凸輪一起繞O軸轉動。點A的絕對運動是直線運動，相對運動是以凸輪中心C為圓心的圓周運動，牽連運動則是凸輪繞O軸的轉動。例2 刨床的急回機構如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當OA水平時O1B的角速度w1。解： 在本題中應選取滑塊A作為研究的動點，把動參考系固定在搖桿O1B上。 點A的絕對運動是以點O為圓心的圓周運動，相對運動是沿O1B方向的直線運動，而牽連運動則是搖桿繞O1軸

13、的擺動。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO AlrlrwwjAO1OwBjvevavr例3 水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點處的小環(huán)M的速度。 解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：jjsinsinuvveasineavvjuABOMrjvrvave例4 求圖示機構中OC桿端點C的速度。其中v與已知，且設OA=a, ACb。 解：取套筒A為動點，動系與OC固連，分析A點速度，有vABCOvavevrvCsinsineavvvwOCsineOCv

14、vOAawsinCOCabvOCvawaervvv例5 圖示平底頂桿凸輪機構，頂桿AB可沿導軌上下平動，偏心凸輪以等角速度w繞O軸轉動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設凸輪半徑為R，偏心距OC=e ，OC 與水平線的夾角為，試求當 =45時，頂桿AB的速度。 解：以凸輪圓心C為動點，靜系取在地面上，動系取在頂桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。coscos4522eavveewwvavevraervvv例6 AB桿以速度v1向上作平動，CD桿斜向上以速度v2作平動，兩條桿的夾角為，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M為動點，A

15、B為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。取M為動點，CD為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvv將等式兩邊同時向y軸投影：則動點M的絕對速度為：22221222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv v=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7 在水面上有兩只艦艇A 和 B均以勻速度v =36 km/h 行駛，A 艦艇向東開，B 艦艇沿以 O 為圓心、半徑R =100 m的圓

16、弧行駛。在圖示瞬時，兩艇的位置S=50m, =30 ，試求：（1） B艇相對 A艇的速度。（2）A艇相對B艇的速度。 東北BAROS東北=30BAROSVe1Va1Vr1303036(/ )10(/ )ABvvvkm hm s解：(1) 求B艇相對于是A艇的速度。以 B為動點，動系固連于A艇。由圖（b）的速度矢量 111Baervvvv110(/ ),BAevvvm s12 cos3017.32(/ )rvvm s(2) 求A相對于B的速度，以A為動點，動系固連于B艇。smvOAve/5502wsmva/1022222211.2/rervvvm s5 . 0105tan22aevv3426東北

17、=30BAROSV Va2V Vr2V Ve2可見，A相對B的速度并不一定等于B相對A的速度。OABAvBvR例9 如圖車如圖車A沿半徑為沿半徑為150m的圓弧的圓弧道路以勻速道路以勻速 行駛，車行駛，車B沿直線道路以勻速沿直線道路以勻速 行行駛駛 ，兩車相距，兩車相距30m，求：（，求：（1 1）A車相對車相對B車的速度；（車的速度；（2 2）B車相對車相對A車的速度。車的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以車A為動點，靜系取在地面上，動系取在車B上。動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvv9 .361O

18、ABAvBvRev1rv1xy（2）以車B為動點，靜系取在地面上，動系取在車A上。動點的速度合成矢量圖如圖。OABAvBvRxywev2rv2sradRvA/083. 0150360010453wskmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revv422例10 圖示曲柄滑道機構，圓弧軌道的半徑ROA10 cm，已知曲柄繞軸O以勻速n120 rpm轉動，求當j30時滑道BCD的速度和加速度。 njROO1ABCDjvavrve解：取滑塊A為動點，動系與滑道BCD固連。求得曲柄OA轉動的角速度為 4rad/s30nwaer v

19、vv125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/saeraBCDevOAvvvvvw12030hAOO1ABCDj分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4 )101579 cm/saaOAwntaerr aaaa將加速度向h軸上投影有： nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回機構如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當OA水平時O1B的角速

20、度w1。解： 在本題中應選取滑塊A作為研究的動點，把動參考系固定在搖桿O1B上。 點A的絕對運動是以點O為圓心的圓周運動，相對運動是沿O1B方向的直線運動，而牽連運動則是搖桿繞O1軸的擺動。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO Alrlrww vevavrjAO1OwBjAO1OBww11araetaenaaaC由于動參考系作轉動，因此加速度合成定理為：2aarw12sin90Cravw42n2e113222()raO Alrwwte11aO AntaerCeerCaaaaaaaa2re12222,rlrvlrlrwwww2332222()Cr

21、lalrwjAO1OBw11araetaenaaaCh為了求得aet，應將加速度合成定理向軸h投影： ntaeerCaaaaahhhhh即：taeCcosaaaj得：22t2e3222()()rl lralr w搖桿O1B的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr wABOCw例12 偏心凸輪的偏心距OCe、半徑為 ，以勻角速度w繞O軸轉動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在OC與CA垂直時從動桿AB的速度和加速度。3Revrvave解：選取桿AB的端點A作為動點，動參考系隨凸輪一起繞O軸轉動。evOAw32 3tan33aeevv

22、OAww243cos332erveevwwaervvvABOCw加速度分析如圖arnartaCaaaenhaerCaaaa222neaOAeww22163 3nrrveaRw2482sin( ,)2133Crreeavwwww vw wcoscosnnaerCaaaa2222231682( 2)2933 33aeeaeewwww 例13 圖示曲桿OBC繞O軸轉動，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動。已知OB10 cm，OB與BC垂直，曲桿的角速度為0.5rad/s，求當=60時小環(huán)M的速度和加速度。 BACOMwj解：選取小環(huán)M作為研究的動點，動參考系隨曲桿OBC一起繞O軸轉動。點A的絕對運

23、動是小環(huán)M沿OA桿的直線運動，相對運動是沿著BC的直線運動，牽連運動則是曲桿繞O軸的轉動。于是 ：10 0.510 cm/s1cos602eOBvOMwwtan10317.3 cm/saevvj由三角關系求得小環(huán)的絕對速度為：BACOMwjavevrv220cm/srevv小環(huán)M的加速度分析如圖所示 ：222 0.5 2020 cm/sCravw2220.5205 cm/sneaOMw2/cos52 2035cm/snaeCaaaj 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaajj BACOMwjcaaanearayj例14 平底頂桿凸輪機構如圖所示，頂桿AB可沿導軌上下

24、移動，偏心圓盤繞軸O轉動，軸O位于頂桿軸線上。工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面。該凸輪半徑為R，偏心距OC = e，凸輪繞軸O轉動的角速度為w，角加速度為e 。求OC與水平線成夾角j時頂桿的速度和加速度。BACOj jyx w wM解1 用運動方程求解。因推桿作平動，其上各點的速度和加速度都相同，現(xiàn)取推桿上與凸輪的接觸點M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteejjjwjwjjwjjwjBACOj jyx w wMy解2 取圓盤的中心C為研究的動點，動參考系與平底推桿AB固連，分析動點的速度和加速度如圖所示。avewcosco

25、seavvejwjBACOj jj jyx w wMavevrv2naaewaae2sincoscossinneaaaaaeejjjwj 可求得：BACOj jj jxyraeaaanaanaaer aaaa向y軸正向投影：sincosnaaejj-aaa例15 牛頭刨床機構如圖所示；已知 。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A 12 rad/sw解：一、速度分析1）取套筒A為動點，動參考系與搖桿O2B固連。相對運動是套筒A沿搖桿O2B的直線運動，牽連運動是搖桿O2B繞O2的定軸轉動，絕對運動是套筒A繞O1的圓周運動，絕對速度的大小是：111200 2400 mm/savO

26、Aw 650mmCDO2O1BAw w130211121211sin30200 mm/s400 mmsin302000.5 rad/s400cos302003mm/seaeo BravvO AO AvO Avvw由速度合成定理可得 ：650mmCDO2O1BAw w1301av1ev1rv222226500.5cos30650mm/s3cos30325 mm/sao BeavO Bvvw2） 取套筒B為動點，動參考系與滑枕CD固連。相對運動是套筒B沿滑桿的豎直直線運動，牽連運動是滑枕CD的水平平動，絕對運動是套筒B繞O2的圓周運動。由速度合成定理 可得：650mmCDO2O1BAw w1302

27、av2ev2rv30二、加速度分析，動點和動系的選擇分別同前。 2212200 3 mm/sCo Bravw2221112002800 mm/snaaO Aw1）A點的加速度分析如圖所示，由于動參考系O2B作定軸轉動，有科氏加速度，其方向可由相對速度順著搖桿O2B的轉動方向轉過得到，是垂直于O2B斜向上方，大小為：O2O1Aw w1301Ca1ea1nea1aay各加速度之間的關系為：1111nnaeerCaaaaa向y軸投影得：112cos303800200 3 200 3mm/s2neaCaaa2212200 33rad/s4002eo BaO AO2O1Aw w1301Ca1ea1nea

28、1aay2）B點的加速度分析 22naaeraaaa22222222226503250.5mm/scos3036503650 mm/scos302naaaO BaO Bw將各加速度向水平方向投影得 ：2222222cos60cos30325 13cos60cos30650657mm/s223naaeneaaaaaaaa 即滑枕的加速度約為657mm/s2，方向向左。 650mmCDO2O1BAw w1302aa2ea302naa2ra例1 橢圓規(guī)機構如圖。已知連桿AB的長度l = 20 cm，滑塊A的速度vA=10 cm/s ，求連桿與水平方向夾角為30時，滑塊B和連桿中點M的速度。 解: A

29、B作平面運動，以A為基點，分析B點的速度。cot3010 3 cm/sBAvv由圖中幾何關系得：1rad sBAABvlw方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssin30ABAvv30以A為基點，則M點的速度為將各矢量投影到坐標軸上得：:cossin30MAMAxvvv :sincos30MMAyvv解之得10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxy例2 行星輪系機構如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點的速度。解:行星齒輪

30、II作平面運動，求得A點的速度為vAwODADAvvvODACBvAvDAwIIIII以A為基點，分析兩輪接觸點D的速度。12()AOOvOArrww由于齒輪I固定不動，接觸點D不滑動，顯然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點D相對基點A的速度，應有vDA wIIDA。所以12II2()ODArrvDArwwvAwOCACAvvvODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點，分析點B的速度。II12()BAOAvBArrvwwBABAvvvvBA與vA垂直且相等，點B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A為基點，分析點C的速度。v

31、CA與vA方向一致且相等，點C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrw例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得10 3cm sBv BAABABvvAvAvBB30確定瞬心的一般方法：確定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4 用速度瞬心法解例1。解： AB作平面運動1rad ssin30AAvvAClwcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30CvMwM瞬心在C點例5 已知輪子在地面上作純滾動，輪心的速度為v，半徑為r。求

32、輪子上A1、A2、A3和A4點的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點即A1各點的速度方向分別為各點與A點連線的垂線方向，轉向與w相同，由此可見車輪頂點的速度最快，最下面點的速度為零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw459090O1OBAD例6 已知四連桿機構中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w繞O軸轉動。求：(1) AB桿的角速度；(2) B和D點的速度。w 解：AB作平面運動，OA和O1B都作定軸轉動，C點是AB桿作平面運動的速度瞬心。vAvBvDCwAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DC

33、l2AvOAlww2233 22AABvlAClwwwBABvBClww52DABvDClww例7 直桿AB與圓柱O相切于D點，桿的A端以 勻速向前滑動，圓柱半徑 ，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動，如圖，求 時圓柱的角速度。scmvA60cmr1060j 解一：圓柱作平面運動，其瞬心在 點，設其角速度為 。1CwwwrDCvD31 AB圓柱作平面運動，其瞬心在 點，則2CjAvABDO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例8 圖示小型精壓機的傳動機構，OAO1Br0.1 m，EBBDADl0.4 m，在圖

34、示瞬時OAAD，O1BED，O1D在水平位置，OD和EF在鉛直位置。已知曲柄OA的轉速n120 rpm，求此時壓頭F的速度。OADO1BEFn例9 圖示機構，已知曲柄OA的角速度為w，OAABBO1O1Cr，角 = b = 60，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運動，其瞬心分別為C1和C2點，則wwrOAvA1AABvrACrwww1BABvBCrww2133BBCvrBCrwww233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB作平面運動，瞬心在C1點，則12 3cos303AABvrrACABlwww1sin302 33233BABABvBCABlrr

35、lwwww例10 曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r以勻角速度w轉動，AB = BC = BD = l，當曲柄與水平線成30角時，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30角。試求圖示位置時，桿AB、BC的角速度以及沖頭C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC作平面運動，瞬心在C2點，則233BBCvrBClww233CBCrvCCww例11 曲柄連桿機構中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機構由曲柄O1A帶動。已知曲柄的角速度為w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當O1AO1O2時，ABO1

36、O2 ，且AD與AO1在同一直線上，j =30。試求三角板ABD的角速度和點D的速度。解、運動分析：O1A和O2B作定軸轉動；ABD作平面運動，其速度瞬心在點C。 O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB10.2 m/sAvO Aw110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCAw0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCDw例12 圖示蒸汽機傳動機構中，已知：活塞的速度為v，O1A1=a1, O2A2=a2, CB1=b1, CB2=b2; 齒輪半徑分別為r1和r2；且有a1b2r2a2b1r1。當桿EC水平，桿B1B2鉛直，A1，A2和O1，O2都

37、在一條鉛直線上時，求齒輪O1的角速度。vA1vA2w1w2解：設齒輪O1轉動方向為逆時針，則齒輪O2的轉動方向為順時針。因A1，A2和O1，O2在一條鉛直線上，所以A1，A2點的速度均為水平方向，如圖所示 。因B1B2作平面運動，vCB1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也應垂直于B1B2而沿水平方向。A1B1作平面運動，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬時平動，同理A2B2也作瞬時平動，所以vB1vB2111111 1BAvvO AawwvC2222222BAvvO AawwvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2桿的速度分布如圖所示，速度瞬心在O點。設OC長度為x，則O21

38、 12/r rwww因齒輪O1，O2相互嚙合，w1r1w2r2 ，所以2222 112/Bvaa rrwwCvvOCxww11111 1()BvOBbxbvawwww12211 2 22 1 1()bb r va b ra brw22222 112()/BvOBbxbva rrwwww當a1b2r2a2b1r1時，齒輪O1的角速度為逆時針方向。例13 圖示放大機構中，桿I和II分別以速度v1和v2沿箭頭方向運動，其位移分別以x和y表示。如桿II與桿III平行，其間距離為a，求桿III的速度和滑道的角速度。 IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III桿作平動，IV桿作平面運動。滑塊

39、B和滑塊C與滑道之間有相對運動，如果取滑道IV作為動參考體分析滑塊B和滑塊C的運動，則牽連運動均為平面運動。ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1hIIIIIIIVBCyv1axAv2B點的運動分析：取滑塊B為動點，滑道作為動參考體，絕對運動是滑塊B隨I桿的運動，速度為va1= v1；相對運動是滑塊B在桿滑道中的運動，速度為vr1；牽連運動是桿的平面運動，其速度可用基點法分析得到：取A為基點，分析桿上B點的速度，隨基點平動的速度是桿的運動速度v2，相對于基點轉動的速度方向垂直于桿，大小未知，由這兩個速度合成得到桿上B點的速度vB，此速度即是前面復合運動中的牽連速度ve1，如圖所示。

40、11111eBABAaerABArvvvvvvv= vvv121BAr vvvvvB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVh向h方向投影得:12cossinBAvvv2222cos, sinxyxyxy1222BAv yv xvxy12IV22BAvv yv xABxyw121BAr vvvvACvC(ve2)vAvAvCAva2vr2IIIIIIBCyv1axAv2C點運動分析：取滑塊C為動點，滑道作為動參考體，絕對運動是滑塊C隨桿的運動，速度為va2vIII,大小待求； 相對運動是滑塊C在桿滑道中的運動，速度為vr2； 牽連運動是桿的平面運動，其速度可用基點法分析得到：取A為基點，分

41、析桿上C點的速度，隨基點平動的速度是桿的運動速度v2，相對于基點轉動的速度vCA方向垂直于桿，大小為vCA=wAC，由這兩個速度合成得到桿上C點的速度vC，此速度即是前面復合運動中的牽連速度ve2，如圖所示。 22222eCACAaerACAr vvvvvvvvvvIII22CAr vvvvhvC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2CIII22CAr vvvv向h方向投影得:1212IV2222sinCAv yv xv yv xaavACxyxxywIII2sinsinCAvvvIII2sinCAvvvIII221212222()sinCAvaayaxvvvv yv xvvxxx

42、因為所以h解： 如圖所示。jrS 由于此式對任意時間都成立，故兩邊對時間求導有ddddOsvrrttjw由此可得rvOw再對時間求導有2222ddddOsarrttj由此可得Oar例14 求圓輪在地面上作純滾動時的角速度w和角加速度。wjOOrMMsvOvO 例15 車輪在地面上作純滾動，已知輪心O在圖示瞬時的速度為vO，加速度為aO，車輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點C的加速度。解：車輪作平面運動，取O點為基點，則C點的加速度為tnCOCOCOaaaa,OOvarrwtOCOOaarrar2n22()OOCOvvarrrrw取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上得nCOa0OOCOOC

43、aaaaarvaaOnCOC2hrvaaaOCCC222h方向由C點指向O點。waOCOvOtCOaaOh例16 平面四連桿機構中，曲柄OA長r，連桿AB長l4r。當曲柄和連桿成一直線時，此時曲柄的角速度為w，角加速度為，試求搖桿O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面運動，由題設條件知，AB的速度瞬心在B點，也就是說，vB = 0，故：OO1ABw3030110BO BvO BwvA取A為基點分析B點的加速度如圖所示：ntntntBBAABABAaaaaaa其中：1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAan22221()()4ABAAB

44、vraABABrABllwww n22AaOArwwtAaOAr將加速度向h軸投影得 ：ntnncos30cos60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrrwww 12t21532523BO BrarOBwwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAah30ABCDO100100vCvB4545例17 平面四連桿機構的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w = 1 rad/s繞A軸轉動，求C點的加速度。 解：AB和CD作定軸轉動，BC作平面運動，其B、C兩點的運動軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個速度矢量

45、的垂線得交點O即為該瞬時BC的速度瞬心。由幾何關系知 200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOBww50 2 mm/sCBCvOCwwBCwABCDaB45aBnCBatCBatCanCa80.54取B為基點分析C點的加速度，有 ntnntCCBCBCBa +aaaan22100 mm/sBaABwtnn2cos45106.07 mm/sCCBBaaa 將C點的加速度向BC方向投影得：aCn2225 2 mm/sCBBCaBCw2n217.68mm/sCCvaCD負值表明實際方向與假設方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCCC

46、aaatnarctan()80.54CCaa 例18 圖示曲柄連桿機構中，已知曲柄OA長0.2 m，連桿AB長1m，OA以勻角速度w =10 rad/s繞O軸轉動。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運動，瞬心在C點，則2m sAvOAw2rad sAABvACwOwwAB45AvA45vBBCAB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為tnBABABA aaaa其中n2220m sAAaaOAwO45AaBBaAa nBAa tBAaAn224m sBAABaABw將B點加速度投影到h軸上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t216m sBAat216rad sBAABaABh將B點加速度投影到軸上得解：薄板作平面運動，取B為基點分析A點的加速度如圖所示：例19 圖示正方形薄板邊長20 mm，在其平面內運動。某瞬時頂點A和B的加速度分別為 和 ，方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaAa nCBa tCBaBntABABAB aaaa其中 ：240 2