數(shù)學(xué)電工數(shù)模實(shí)用教案

1、一總則(zngz) 全國大學(xué)生電工數(shù)學(xué)(shxu)建模競賽（以下簡稱競賽）是中國電機(jī)工程學(xué)會(huì)電工數(shù)學(xué)(shxu)專委會(huì)主辦的面向全國大學(xué)生的科技活動(dòng)，目的是提高學(xué)生的綜合素質(zhì)、增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)(shxu)知識(shí)解決實(shí)際工程問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)(shxu)的積極性，同時(shí)也將推動(dòng)高校的教學(xué)改革與教育創(chuàng)新的進(jìn)程 。第1頁/共120頁第一頁，共120頁。二競賽(jngsi)內(nèi)容 競賽題目一般來源于電工、近代數(shù)學(xué)及經(jīng)濟(jì)管理等方面(fngmin)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕?、加工的?shí)際問題，主要包括：1信息處理問題；2控制理論及應(yīng)用問題；3運(yùn)籌與決策問題；4電路與電磁場理論相關(guān)問題。第2頁/共12

2、0頁第二頁，共120頁。二競賽(jngsi)內(nèi)容 參賽學(xué)生應(yīng)學(xué)過普通高校的工科數(shù)學(xué)課程及相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)。競賽題目比較靈活，能夠使參賽學(xué)生充分發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者要根據(jù)(gnj)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、算法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。答卷的評(píng)定以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的可行性和文字的清晰度為主要標(biāo)準(zhǔn)。 第3頁/共120頁第三頁，共120頁。三競賽形式(xngsh)、規(guī)則和紀(jì)律 1全國統(tǒng)一競賽(jngsi)題目，采取網(wǎng)上競賽(jngsi)方式，以學(xué)校為單位進(jìn)行。2競賽(jngs

3、i)一般在每年11月末的三天內(nèi)舉行。3本科生以隊(duì)為單位參賽，每隊(duì)3人，專業(yè)不限。每隊(duì)可設(shè)一名指導(dǎo)教師（或教師組），對(duì)參賽學(xué)生進(jìn)行賽前的輔導(dǎo)及賽前準(zhǔn)備工作。競賽(jngsi)期間指導(dǎo)教師要回避參賽隊(duì)員，禁止進(jìn)行指導(dǎo)或參與討論。第4頁/共120頁第四頁，共120頁。三競賽(jngsi)形式、規(guī)則和紀(jì)律 4競賽期間參賽學(xué)生可以使用各種圖書資料、計(jì)算機(jī)和軟件以及在網(wǎng)上瀏覽，不能與隊(duì)外任何人討論。5競賽題目將按照規(guī)定時(shí)間準(zhǔn)時(shí)在指定的網(wǎng)站(wn zhn)公布，參賽隊(duì)員在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成答卷，并準(zhǔn)時(shí)在網(wǎng)上交卷。6各參賽院校應(yīng)責(zé)成有關(guān)職能部門負(fù)責(zé)競賽的組織和紀(jì)律監(jiān)督工作，保證競賽的規(guī)范性和公正性。 第5頁/共

4、120頁第五頁，共120頁。數(shù)學(xué)(shxu)建模 第6頁/共120頁第六頁，共120頁。 數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)模型（Mathematical ModelMathematical Model） 是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制的刻劃，它或解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制(kngzh)(kngzh)某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（

5、Mathematical ModelingMathematical Modeling） 應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。1.1 數(shù)學(xué)(shxu)模型與數(shù)學(xué)(shxu)建模 第7頁/共120頁第七頁，共120頁。 1.了解問題的實(shí)際(shj)背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。 2. 通過對(duì)資料的分析計(jì) 算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實(shí)際(shj)的假設(shè)。 3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 即建立數(shù)學(xué)模型。 4.模型求解。 5.模型的分析與

6、檢驗(yàn)。 在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助 計(jì)算機(jī) 求出數(shù)值解。 實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用第8頁/共120頁第八頁，共120頁。對(duì)某個(gè)實(shí)際問題對(duì)某個(gè)實(shí)際問題了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特模型中變量的特征征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際研究課題的實(shí)際范疇范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型 、交通

7、、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、流模型、經(jīng)濟(jì)模型、 基因模型等基因模型等第9頁/共120頁第九頁，共120頁。數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的 每一步中都 蘊(yùn)含著能力上的 鍛煉，在調(diào)查研究階段，需 要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè) 時(shí)，又需要用到 想象力和歸納 簡化能力。 在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工 作成為別人研究工作 的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們(w men)(w men)還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間 內(nèi)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。 還需要你多少要有點(diǎn) 創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就

8、有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。 開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué) 生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí) 解決實(shí)際問 題的本領(lǐng)。第10頁/共120頁第十頁，共120頁。例1 某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向(fngxing)步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時(shí)間？ 似乎條件(tiojin)不夠哦 。 換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來？ 顯然是

9、由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。 第11頁/共120頁第十一頁，共120頁。例2 2 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過渡狀態(tài)亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離 L。這就是說，在離街口距離為 L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。 馬路的

10、寬度 D是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在 于L的確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：L1和L2，其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過的路程 ，L2為剎車制動(dòng)后車輛駛過的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間 t1早有測算，反應(yīng)時(shí)間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來 。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利

11、穿過馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v。 DL第12頁/共120頁第十二頁，共120頁。初等初等(chdng)模模型型 第13頁/共120頁第十三頁，共120頁。某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快(jnkui) 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。2.1 艦艇(jintng)的會(huì)合第14頁/共120頁第十四頁，共120頁。12,11222aabrbaah令：則上式可簡記成 ： 222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 護(hù)衛(wèi)艦 1 2 )()(22222b-yx a byx即：

12、22222222) 1(411ababaayx可化為：記v2/ v1=a通常a1 222|AP|a|BP|則匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 bxy)(tan1（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）bxy)(tan2（航母的路線方程 ）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡單，但分析(fnx)極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 第15頁/共120頁第十五頁，共120頁。2.2 雙層玻璃(b l)的功效在寒冷的北方， 許多住房的玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋(fngw)，它們的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失

13、是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。第16頁/共120頁第十六頁，共120頁。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位(dnwi)時(shí)間通過單位(dnwi)面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式 =kT/d 12121aabbTTTTTTkkkdld)/()(21212121dklkTTdklkTa解得：dklkdTTkddklkTTdklkTk212112121211122)1 (第17頁/共120頁第十七頁，共120頁。此函數(shù)(hnsh)的圖形

14、為dd室外T2室內(nèi)T1dTTk2211)/()(2221dklk類似(li s)有 321621kk一般(ybn)dl /811故記h=l/d并令f(h)= 181h01234567891001hf(h)考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的 3% 。 第18頁/共120頁第十八頁，共120頁。2.3 崖高的估算( sun)假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時(shí)間，

15、你又怎樣(znyng)來推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。第19頁/共120頁第十九頁，共120頁。方法(fngf)一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。221gth 我學(xué)過微積分，我可以(ky)做 得更好，呵呵。 第20頁/共120頁第二十頁，共120頁。vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： kgcevkt令k=K/m，解得 代入初

16、始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 ktekgkgv再積分(jfn)一次，得： cekgtkghkt2第21頁/共120頁第二十一頁，共120頁。若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽到回聲(hushng)再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 不妨設(shè)平均(pngjn)反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多測幾次，取平均值代入初始條 件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力

17、時(shí)的結(jié)果。第22頁/共120頁第二十二頁，共120頁。還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為t1，聲音傳回來的時(shí)間記 為t2，還得解一個(gè)方程組： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理 相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間 t1t-t2將t1代入式再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，則 t20.21秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。 第23頁/共120頁第二十三頁，共

18、120頁。 最小二乘法(chngf) 插值方法 當(dāng)問題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其他知識(shí)來建模時(shí)，一個(gè)較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。2.4 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?4頁/共120頁第二十四頁，共120頁。設(shè)經(jīng)實(shí)際測量(cling)已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見 圖。如果建模者判斷 這n個(gè)點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望 niiibaxy12)(最小此式對(duì)a和b的偏導(dǎo)數(shù)

19、(do sh)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得： xaybxxyyxxaniiniii121)()(y=ax+byO(xi ,yi)x其中 和 分別為xi和yi的平均值 xy如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作 變量替換使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方法擬合。第25頁/共120頁第二十五頁，共120頁。顯然，運(yùn)動(dòng)員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運(yùn)動(dòng)員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級(jí)運(yùn)動(dòng)員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運(yùn)動(dòng)成績是包括生理?xiàng)l件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立

20、一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。為簡單起見，我們不妨取表中的?shù)據(jù)為例。例1（舉重成績的比較）舉重是一種一般人都能看懂的運(yùn)動(dòng)，它共分九個(gè)重量級(jí)，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到1977年底為止九個(gè)重量級(jí)的世界紀(jì)錄。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績重量級(jí)（上限體重）第26頁/共120頁第二十六頁，共120頁。模型(mxng)1（線性模型(mxng)） 將數(shù)據(jù)畫在直角坐標(biāo)系中可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)成績與體量近似滿足線性關(guān)系，只有11

21、0公斤級(jí)有點(diǎn)例外，兩項(xiàng)成績都顯得較低。應(yīng)用前面敘述的方法可求出近似關(guān) 系式L=kB+C，其中B為體重，L為舉重成績。你在作圖 時(shí)L軸可以放 在50公斤或52公斤處，因?yàn)闆]有更輕級(jí)別的比賽，具體計(jì)算留給同學(xué)自己去完成。 第27頁/共120頁第二十七頁，共120頁。模型(mxng)2（冪函數(shù)模型(mxng)） 線性模型并未得到廣泛的接受，要改進(jìn)結(jié)果，能夠想到的自然首先是冪函數(shù)模型，即令L=kBa，對(duì)此式取對(duì)數(shù)，得 到lnL=lnk+a lnB。將原始數(shù)據(jù)也取對(duì)數(shù)，問題即轉(zhuǎn)化了線性模型，可用最小二乘法求出參數(shù)。幾十年前英國和愛爾蘭采用的比較舉重成績優(yōu)劣 的Austin公式：L=L/B3/4就是用這一

22、方法求得的。 第28頁/共120頁第二十八頁，共120頁。模型(mxng)3（經(jīng)典模型(mxng)） 經(jīng)典模型是根據(jù)生理學(xué)中的已知結(jié)果和比例關(guān)系推導(dǎo)出來的公式，應(yīng)當(dāng)說，它并不屬于經(jīng)驗(yàn)公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)： (1)舉重成績正比于選手肌肉的平均(pngjn)橫截 面積A，即L=k1A(2)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2(3)體重正比于身高 L的三次方， 即B=k3L3根據(jù)上述假設(shè)(jish)，可得 3232321)(KBkBkkL顯然，K越大則成績越好，故可用 來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。 32LBL32321kkkK第29頁/共120頁第二十九頁，共120頁。模型(m

23、xng)4（O Carroll公式） 經(jīng)驗(yàn)公式的主要依據(jù)是比例關(guān)系，其假設(shè)條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數(shù)人認(rèn)為它不能令人信服。1967年，O Carroll基于動(dòng)物學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析得出了一個(gè)現(xiàn)在被廣泛使用的公式。O Carroll模型的假設(shè)條件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, bm）。由于公式量綱齊次當(dāng)且僅當(dāng)它可用無量綱的量表示，故方程當(dāng)且僅當(dāng)可寫 成f(1，, m)=0時(shí)才是量綱齊次的，定理證畢。 證 設(shè)x1,xk為方程中出現(xiàn)的變量與常數(shù), ,對(duì)這些變量與常數(shù)的任一乘積 ,令 函數(shù)g建立了xi(i=1,k)的乘積所組成的空間 與k維歐氏空間之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)設(shè)

24、涉及到的基本量綱有n個(gè),它們 為y1,yn.用這些基本量綱來表達(dá) 該xi的乘冪,設(shè)此乘冪的量綱為 令易見dg-1是k維歐氏空間 到n維歐氏空間的一個(gè)變換，這里的g-1為g的逆變換。 k1aka1xx )a ,(a)xg(xk1aka1k1n1bnb1yy )b ,(b)xd(xn1aka1k1第44頁/共120頁第四十四頁，共120頁。例4（理想單擺的擺動(dòng)(bidng)周期）考察質(zhì)量(zhling)集中于距支點(diǎn)為 l 的質(zhì)點(diǎn)上的無阻尼 單擺，（如圖），其運(yùn)動(dòng)為某周 期 t 的左右擺動(dòng)，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間的 關(guān)系。lmg考察(koch) ， 的量綱為MaLb+dTc-2b若 無量綱

25、，則有ab c dem g t l 000e = 0abdc2b第45頁/共120頁第四十五頁，共120頁。量綱分析法雖然簡單，但使用時(shí)在技巧方面的要求較高，稍一疏忽就會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)果或根本得不出任何有用的結(jié)果。首先，它要求建模者對(duì)研究的問題有正確而充分的了解，能正確列出與該問題相關(guān)的量及相關(guān)的基本量綱，容易看出，其后的分析正是通過對(duì)這些量的量綱研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的結(jié)果。其次，在為尋找無量綱量而求解齊次線性方程組時(shí)，基向量組有無窮多種取法，如何選取也很重要，此時(shí)需依靠經(jīng)驗(yàn)，并非任取一組基都能得出有用的結(jié)果。此外，建模者在使用量綱分析法時(shí)對(duì)結(jié)果也不應(yīng)抱有不切實(shí)際的過高要求，

26、量綱分析法的基礎(chǔ)是公式的量綱齊次性，僅憑這一點(diǎn)又怎么可能得出十分深刻的結(jié)果，例如，公式可能包含某些無量綱常數(shù)或無量綱變量，對(duì)它們之間的關(guān)系，量綱分析法根本無法加以研究。第46頁/共120頁第四十六頁，共120頁。2.7 賽艇成績的比較(bjio)(比例模型)八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分成86公斤的重量級(jí)和 73公斤的輕量級(jí)。1971年，T.A.McMahon比較了1964-1970年期間兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級(jí)比73公斤級(jí)的成績大約好5%，產(chǎn)生這一差異(chy)的原因何在呢？ 我們將以L表示輕量級(jí)、以H表示重量級(jí)，用S表示賽艇的浸水面積，v表示賽艇速度，W表示選手體重，P

27、表示選手的輸出功率，I表示賽程，T表示比賽成績（時(shí)間）。 第47頁/共120頁第四十七頁，共120頁?？疾靸?yōu)秀賽艇選手在比賽中的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)賽程大致可以分三個(gè)階段， 即初始時(shí)刻的加速階段、中途的勻速階段和到達(dá)終點(diǎn)的沖刺階段 。由于(yuy)賽程較長，可以略去前后兩段而只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。（1）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比 于Sv2,（見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計(jì)。（2）同一量級(jí)的選手有相同的體重W，選手的輸出功 率P正比于W，且效率大體相同。由假設(shè)1，3svfvp，故13pvs 競賽成績13IsTvp記比例系數(shù) 為k，則有：31HHH3

28、1LLLPSkT ,PSkT第48頁/共120頁第四十八頁，共120頁。31HL31LHHLSSPPTT故由假設(shè)2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故令WH=86,WL=73,則有由于(yuy)SL略小于SH，故輕量級(jí)所化時(shí)間比重量級(jí)所化時(shí)間約 多5%左右。31HLHLSS TT1.056第49頁/共120頁第四十九頁，共120頁。2.8 方桌(fngzhu)問題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許(ynx)將桌子移到別處，但允許(ynx)其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？ 不附加任何條件，答案 顯然(xinrn) 是否定的， 因此我們假設(shè) （1）地面為

29、連續(xù)曲面 （2）方桌的四條腿長度相同 （3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的 （4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地?？偪梢允谷龡l腿同時(shí)著地。 第50頁/共120頁第五十頁，共120頁?，F(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線 AC與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f()為A、C離地距離之和，g()為B、D離地距離之和，它們的值 由唯一確定

30、。由假設(shè)（1），f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地， 故f()g()=0必成立（ ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若g(0)也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：yxCDABo已知f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)0且對(duì)任意有f()g()=0，求證存在某一0，使f(0)=g(0)=0。第51頁/共120頁第五十一頁，共120頁。 （證法一）當(dāng)=/2時(shí)，AC與BD互換位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作h()=f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存

31、在 o，0o 0,g(/2)=0。令o =sup |f ()=0，0,顯然0 0，總有0且0。因?yàn)閒(0+)g (o+)=0，故必有g(shù) (0+)=0，由可任意小且g連續(xù)，可知必 有 g (0)=0，證畢。證法二除用 到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。 第52頁/共120頁第五十二頁，共120頁。在解決實(shí)際問題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順理成章地找到解決實(shí)際問題的鑰匙。本節(jié)的幾個(gè)例子說明，猜測也是一種想象力。沒有合理而又大膽的猜測，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開普勒的三大定律（尤其是后兩條）并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運(yùn)動(dòng)的軌

32、跡之中，隱含在第谷記錄下來的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例子實(shí)在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，人們常常會(huì)先去猜測某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測被證明是錯(cuò)誤的，結(jié)果也決不是一無所獲的失敗而常常是對(duì)問題的更為深入的了解。 2.9最短路徑與最速方案問題 第53頁/共120頁第五十三頁，共120頁。例5（最短路徑(ljng)問題） 設(shè)有一個(gè)半徑為 r 的圓形湖，圓心為 O。A、B 位于(wiy)湖的兩側(cè)，AB連線過O，見圖?，F(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限 制下，問怎樣的路徑最近。 ABOr將湖

33、想象成凸出地面的木樁， 在AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時(shí)將得到最短路徑。根據(jù)這樣的想象，猜測 可以如下得到最短路徑： 過A作圓的切線切圓于E，過B作圓的切線切圓 于F。最短路徑為由線 段AE、弧EF和線段FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對(duì)稱性，AE，弧EF，F(xiàn)B連接而成的連續(xù)曲線也是）。EFEF第54頁/共120頁第五十四頁，共120頁。以上只是一種猜測，現(xiàn)在來證明這一猜測是正確(zhngqu)的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。定義2.1（凸集）稱集合 R為凸集，若x1、x2R及0，1，總有x1+（1-）x2R。即若x1、x2R，則x1、x2的連線必整個(gè)地落 在R中。定理2.2（分離定理）對(duì)平

34、面中的凸 集R與R外的一點(diǎn)K，存在直線 l , l 分離R與K，即R與K分別位于 l 的兩側(cè)（注：對(duì)一般的凸 集R與R外的一點(diǎn)K，則存在超平面分 離R與K），見圖。klR下面證明(zhngmng)猜想第55頁/共120頁第五十五頁，共120頁。猜測證明(zhngmng)如下：（方法一）顯然， 由AE、EF、FB及AE，EF，F(xiàn)B圍成的區(qū)域 R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過R外的點(diǎn)，若不然，設(shè) 為最短路徑，過R外的一點(diǎn)M，則必存在直 線l分離M與R，由于路徑是連續(xù)曲線，由A沿到M，必交l于M1，由M沿到B又必交l于M2。這樣，直線 段M1M2的長度必小于路 徑M1MM2的長度，與是A

35、到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測得證。ABOrEFEFM1M2Ml第56頁/共120頁第五十六頁，共120頁。還可用微積分方法求弧長，根據(jù)計(jì)算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長度；此外，本猜測也可用平面幾何知識(shí)(zh shi)加以證明等。 根據(jù)猜測不難看出， 例5中的條件可以大大放松，可以不必 設(shè)AB過圓心，甚至可不必設(shè)湖是圓形的。例如對(duì) 下圖，我們可斷定由A至B的最短路徑必 為l1與l2之一，其證明也不難類似給出。 ABl1l2D到此為止

36、，我們的研討(ynto)還只局限于平面之中，其實(shí)上述猜測可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上結(jié)果：若可行區(qū)域的邊界是光滑曲面。則最短路徑必由下列弧組成，它們或者是空間中的自然最短曲線，或者是可行區(qū)域的邊界弧。而且，組成最短路徑的各段弧在連接點(diǎn)處必定相切。第57頁/共120頁第五十七頁，共120頁。例6 6 一輛汽車停于 A A處并垂直于ABAB方向，此汽車可轉(zhuǎn)的最小圓半徑為 R R，求不倒車(do ch)(do ch)而由 A A到B B的最短路徑。解（情況1）若|AB|2R，最短路徑由 弧AC與切線BC組成（見圖 ）。（情況2）若|AB|0為推力，fS，

37、故由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在 某TT，S（T）=S但這一結(jié)果與=(t)是最優(yōu)方案下的車速的假設(shè)矛盾，因?yàn)橛梦覀儾聹y的推車方法推車，只 需T時(shí)間即可將車推到修車處， 而TT。T T0 0S S( (t t) )d dt ta ad dt td dv vb botATTASy=aty=-b(t-T)第61頁/共120頁第六十一頁，共120頁。 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約之一，早在大約37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已經(jīng)年左右）的古埃及人就已經(jīng)(y jing)(y jing)在在 用用256/81256

38、/81（約（約3.16053.1605）作為）作為的近似值了的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求。幾千年來，人們一直沒有停止過求的的努力。努力。2.10 的計(jì)算第62頁/共120頁第六十二頁，共120頁。 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率概率(gil)(gil)方方法法 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法第63頁/共120頁第六十三頁，共120頁。 古典古典(gdin)(gdin)方法方法用什么方法來計(jì)用什么方法來計(jì) 算算的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑

39、。起先(qxin)(qxin)，人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來逼人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。近的古典方法。6邊形邊形12邊形邊形24邊形邊形圓圓第64頁/共120頁第六十四頁，共120頁。 阿基米德曾用圓內(nèi)接阿基米德曾用圓內(nèi)接 96 96邊形和圓外切邊形和圓外切9696邊形夾逼的方法邊形夾逼的方法(fngf)(fngf)證明了證明了72271223 由由和和 導(dǎo)出導(dǎo)出 tansin 96 公元公元5 5世紀(jì)世紀(jì)(shj)(shj)，祖沖之指出，祖沖之指出3.14159273.1415926 比西方得到同樣比西方得到同樣(tngyng)(tn

40、gyng)結(jié)果結(jié)果幾乎早了幾乎早了10001000年年第65頁/共120頁第六十五頁，共120頁。 十五世紀(jì)中葉十五世紀(jì)中葉(zhngy)(zhngy)，阿爾，阿爾卡卡西給出西給出的的1616位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄錄 1579 1579年年, ,韋達(dá)證明韋達(dá)證明(zhngmng)(zhngmng)373.14159265 353.14159265 1630 1630年年, ,最后一位用古典最后一位用古典(gdin)(gdin)方法求方法求的人格林伯格也只求到了的人格林伯格也只求到了的第的第3939位小數(shù)位小數(shù)第66頁/共120頁第六十六頁，共120頁。 分析方法分析

41、方法從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分析方法來求析方法來求的近似值，其中應(yīng)用的主要工的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級(jí)數(shù)，在本節(jié)中具是收斂的無窮乘積和無窮級(jí)數(shù)，在本節(jié)中我們我們(w men)(w men)將介紹一些用此類方法求將介紹一些用此類方法求近似值的實(shí)例。近似值的實(shí)例。第67頁/共120頁第六十七頁，共120頁。067702.321201920543432122103516.341403940543432122 取取20 k取取10 k 1656 1656年，沃里斯年，沃里斯(Wallis)(Wallis)證明證明(zhngmn

42、g)(zhngmng) 112212227656543432122kkkkk 第68頁/共120頁第六十八頁，共120頁。 在微積分中我們學(xué)過泰勒級(jí)數(shù)在微積分中我們學(xué)過泰勒級(jí)數(shù)(j sh)(j sh)，其中有，其中有12)1(53arctan12053 kxxxxxkkk),( x當(dāng)當(dāng)1 x121)1(5131140 kkk 第69頁/共120頁第六十九頁，共120頁。取取20 k189184. 3411391513114 取取10 k232316. 3211191513114 第70頁/共120頁第七十頁，共120頁。 在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明(zhngmng)(zhngmng)過下

43、面的等式過下面的等式31arctan21arctan1arctan4 左邊三個(gè)正方形左邊三個(gè)正方形組成的矩形中，組成的矩形中， 由由 和和 可得可得CBA DC 和和 的展開式的收斂速度的展開式的收斂速度都比都比 快得多快得多21arctan1arctan31arctanACBD第71頁/共120頁第七十一頁，共120頁。 麥琴麥琴( (Machin) )給出給出2391arctan51arctan44 (Machin公式公式) )51arctan 44 2391tan 記記 ， ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小數(shù)且全部正確位小數(shù)且全部正確第72頁/共120頁第七十二頁，共120

44、頁。 其它其它(qt)(qt)方法方法除用古典除用古典(gdin)(gdin)方法與分析方法求方法與分析方法求的的近似值以外，還有人用其他方法來求近似值以外，還有人用其他方法來求的近的近似值。這里我們將介紹兩種方法：似值。這里我們將介紹兩種方法： 概率概率(gil)(gil)方法方法 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法第73頁/共120頁第七十三頁，共120頁。 概率概率(gil)(gil)方法方法取一個(gè)取一個(gè)(y (y )二維數(shù)組（二維數(shù)組（x,yx,y），取一個(gè)），取一個(gè)(y (y )充分大的正整充分大的正整 數(shù)數(shù)n n，重復(fù)，重復(fù)n n次，每次獨(dú)立地次，每次獨(dú)立地從從 （0 0，1 1）中隨機(jī)地取

45、一對(duì)）中隨機(jī)地取一對(duì) 數(shù)數(shù)x x和和y y ，分別檢，分別檢驗(yàn)驗(yàn)x2+y21x2+y21是否成立。是否成立。 設(shè)設(shè)n n次試驗(yàn)中等式成立的次試驗(yàn)中等式成立的共有共有m m次，令次，令4m/n4m/n。但這種方法很難得到但這種方法很難得到的較好的近似值。的較好的近似值。第74頁/共120頁第七十四頁，共120頁。 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法(fngf) 10214dxx 102114dxx 還可用其它數(shù)值積還可用其它數(shù)值積分公式來求，但用分公式來求，但用此類方法此類方法效果也很效果也很難做得比用冪級(jí)數(shù)難做得比用冪級(jí)數(shù)展開更好展開更好第75頁/共120頁第七十五頁，共120頁。微分方程(wi fn

46、fn chn)建模 第76頁/共120頁第七十六頁，共120頁。3.1 為什么要用三級(jí)火箭(hujin)來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級(jí)火箭、為什么不能用一級(jí)火箭(hujin)(hujin)發(fā)射人造衛(wèi)星發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道）衛(wèi)星能在軌道(gudo)(gudo)上運(yùn)動(dòng)的最低速度上運(yùn)動(dòng)的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌

47、道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 （iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計(jì)。星的引力忽略不計(jì)。 分析：分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)第77頁/共120頁第七十七頁，共120頁。dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓

48、周運(yùn)動(dòng)的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進(jìn)力及速度）火箭推進(jìn)力及速度(sd)(sd)的分析的分析 假設(shè)：火箭假設(shè)：火箭(hujin)重力及空氣阻力均不計(jì)重力及空氣阻力均不計(jì) 分析：分析

49、：記火箭在時(shí)刻記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動(dòng)量守恒定理：由動(dòng)量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (3.11) ) 第78頁/共120頁

50、第七十八頁，共120頁。（2 2）火箭推進(jìn)力及速度）火箭推進(jìn)力及速度(sd)(sd)的分析的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達(dá)到只能達(dá)到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其

51、末速度也不超過超過(chogu)6.6公里公里/秒。秒。 目目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)(zhngg)(zhngg)火箭時(shí)，火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃其實(shí)際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達(dá)到料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？要求嗎？第79頁/共120頁第七十九頁，共120頁。2 2、理想、理想(lxing)(lxing)火箭模型火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭能隨時(shí)拋棄無

52、用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以箭能隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與與（1-）的比例同時(shí)減少。）的比例同時(shí)減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dvdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別(qbi)在于，當(dāng)火箭在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠

53、大，我們可以足夠大，我們可以(ky)使衛(wèi)星達(dá)到我們希望使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使=10.5公里公里/秒才行，則可推算出秒才行，則可推算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 第80頁/共120頁第八十頁，共120頁。3 3、理想過程的實(shí)際逼近、理想過程的實(shí)際逼近多級(jí)火箭多級(jí)火箭(du j hu (du j hu jin)jin)衛(wèi)星系統(tǒng)衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級(jí)數(shù)為記火箭級(jí)數(shù)

54、為n，當(dāng)?shù)?，?dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火箭立即級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)(y jing)無用的第無用的第i級(jí)火箭。用級(jí)火箭。用mi表示第表示第i級(jí)火級(jí)火箭的質(zhì)量，箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。表示有效負(fù)載。 先作如下先作如下(rxi)(rxi)假設(shè)：假設(shè)： （i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的 ,即即i級(jí)火箭中級(jí)火箭中mi為結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（質(zhì)量，（1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級(jí)火箭：考慮二級(jí)火

55、箭： 由由3.11式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為：式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的方便吧第81頁/共120頁第八十一頁，共120頁。又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍設(shè)仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計(jì)算方便，近似取秒，且為了計(jì)算方便，近似取=0.1，則可，則可得：得： 122212211

56、3ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級(jí)火箭：類似地，可以推算出三級(jí)火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里(n l)/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三

57、級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半乎節(jié)省了一半 是否三級(jí)火箭就是是否三級(jí)火箭就是(jish)最省呢？最簡單的方法最省呢？最簡單的方法就是就是(jish)對(duì)四級(jí)、五對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)行討論。級(jí)等火箭進(jìn)行討論。第82頁/共120頁第八十二頁，共120頁?？紤]考慮(kol)N(kol)N級(jí)火箭：級(jí)火箭： 記記n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載mP）為）為m0 ，在相，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算同的假設(shè)下可以計(jì)算(j sun)出相應(yīng)的出相應(yīng)的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級(jí)數(shù)）1 2 3 4 5 （理想） 火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 5

58、0表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備都需配備(pibi)(pibi)一個(gè)推進(jìn)一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。供了一個(gè)最好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴,且制且制作工藝非常復(fù)雜的話，也作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭。可選擇二級(jí)火箭。第83頁/共120頁第八十三頁，共120頁。4 4、火箭結(jié)構(gòu)、火箭結(jié)構(gòu)(jigu)(jigu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 3 3中已經(jīng)能說過假設(shè)中已經(jīng)能說過假設(shè)(jish)(ii

59、)(jish)(ii)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)現(xiàn)去掉該假設(shè)(jish)(jish)，在各級(jí)火箭具有相同，在各級(jí)火箭具有相同的粗糙假的粗糙假設(shè)設(shè)(jish)(jish)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應(yīng)用（應(yīng)用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW則則1121121231nnnWWWWk kkWWWW又又問題問題

60、(wnt)(wnt)化為，在化為，在nn一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2knk1 k2kn最最小小 1ln(1)(1)nnkkukk解條件極值問題：解條件極值問題： 12121min. .(1)(1)nnnk kkk kkstCkk或等價(jià)地求解無約束極值問題：或等價(jià)地求解無約束極值問題： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足： 12nkkk火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論中我們得到與假設(shè)（中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前面相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！的討論都是有效的！第84