多元函數(shù)的概念52378學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)的概念的概念52378第一頁，共77頁。（1）鄰域(ln y)一、多元函數(shù)(hnsh)的概念第1頁/共76頁第二頁，共77頁。（2）區(qū)域(qy)例如(lr)，即為開集內(nèi)點：設(shè) E 是平面(pngmin)上的一個點集，P 是平面上的一個點如果存在點 P 的某一鄰域則稱為的內(nèi)點的內(nèi)點屬于如果點集的點都是內(nèi)點，則稱為開集第2頁/共76頁第三頁，共77頁。邊界點：外點：如果(rgu)存在 U( P ) , 使得則稱點P 為 E 的外點連通(lintng)集：連通的開集稱為(chn wi)開區(qū)域，簡稱區(qū)域第3頁/共76頁第四頁，共77頁。例如(lr)，xyo例如(lr

2、)，xyo第4頁/共76頁第五頁，共77頁。有界閉區(qū)域(qy)；無界開區(qū)域(qy)xyo例如(lr)，第5頁/共76頁第六頁，共77頁。（3）聚點I： 內(nèi)點一定(ydng)是聚點；如果(rgu)對于任意的 0 , 點 P 的去心鄰域內(nèi)總有 E 中的點，則稱點 P 是點集 E 的聚點II： 在 內(nèi)，總有 E 的無窮多個點；),( PUIII： 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E例如,(0,0) 是聚點但不屬于E第6頁/共76頁第七頁，共77頁。 E中任何(rnh)一點都是 E 的邊界點，又如,xy E 中的任何(rnh)一點都是 E 的聚點。思考題：邊界點是否(sh fu)一定是聚點？反之，

3、聚點是否(sh fu)一定是邊界點？第7頁/共76頁第八頁，共77頁。（4）n 維空間當(dāng) n = 3 時，( x , y , z ) 表示(biosh)空間中的一個點或向量表示空間(kngjin)中的全體點或全體向量。因此(ync)，我們也稱為中的一個點或一個 n 維向量。第8頁/共76頁第九頁，共77頁。因此，我們也稱),(21nxxxx 為nR中的一個點或一個 n 維向量。定義(dngy)線性運算如下：這樣定義了線性運算的向量集合nR稱為 n 維空間第9頁/共76頁第十頁，共77頁。稱 ( x, y ) 為空間(kngjin)兩點 x 和 y 之間的距離設(shè)中兩點間的距離公式nR中變元 x

4、的極限nR如果(rgu)則稱變元 x 趨于固定(gdng)元 a , 記作第10頁/共76頁第十一頁，共77頁。類似(li s)地，內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義中變元 x 的極限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 設(shè)設(shè)如果, 0| ax則稱變元 x 趨于固定元 a , 記作, ax結(jié)論(jiln)：中鄰域、區(qū)域等概念nR則稱 中的點集nR為 中點 a 的 鄰域。nR第11頁/共76頁第十二頁，共77頁。二、多元函數(shù)(hnsh)的概念 f 稱為對應(yīng)(duyng)規(guī)則或函數(shù)，f ( x , y ) 稱為 f 在點 ( x , y )處的函數(shù)值。函數(shù)(hnsh)值的全體所構(gòu)

5、成的集合稱為函數(shù)(hnsh) f 的值域，記作函數(shù)與選用的記號無關(guān)，如則稱 f 是 D 上的二元函數(shù), 記為 第12頁/共76頁第十三頁，共77頁。類似(li s)地可定義三元及三元以上函數(shù) n 元函數(shù)(hnsh)通常記為或簡記(jin j)為第13頁/共76頁第十四頁，共77頁。一元函數(shù)(hnsh)與多元函數(shù)(hnsh)的概念比較 一 元函數(shù)(hnsh) y = f (x): 二元函數(shù)(hnsh) y = f (x, y): ,:RDf n 元函數(shù),:RDf第14頁/共76頁第十五頁，共77頁。例1 求 的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解所求定義域為2yx 第15頁/共

6、76頁第十六頁，共77頁。二元函數(shù) 的圖形),(yxfz （如下(rxi)頁圖）當(dāng) P ( x, y ) 取遍 D 上一切(yqi)點時, 得到空間點集第16頁/共76頁第十七頁，共77頁。二元函數(shù)的圖形(txng)通常是一張曲面.第17頁/共76頁第十八頁，共77頁。xyzo例如(lr),單值分支:第18頁/共76頁第十九頁，共77頁。一元函數(shù)極限(jxin)回顧：如果在 的過程中，0 xx f (x) 無限接近一個確定(qudng)常數(shù) A ，就稱 A 是 f (x) 當(dāng) 時的極限，記為0 xx 二元函數(shù)的極限：如果在 的過程中),(),(00yxPyxP f (x, y ) 無限接近一個

7、確定常數(shù) A ，就稱 A 是 f (x, y ) 當(dāng) 時的極限，記為),(),(00yxPyxP第19頁/共76頁第二十頁，共77頁。都有第20頁/共76頁第二十一頁，共77頁。說明(shumng)：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則(fz)與一元函數(shù)類似（1）定義中 的方式比 的方式復(fù)雜的多0PP 0 xx o 0 x第21頁/共76頁第二十二頁，共77頁。例2 求證(qizhng) 證當(dāng) 時， 22)0()0(0yx原結(jié)論(jiln)成立第22頁/共76頁第二十三頁，共77頁。例3 求極限(jxin) 解其中(qzhng)yxu2

8、第23頁/共76頁第二十四頁，共77頁。證例4 證明 不存在 26300limyxyxyx （2）取此時，仍不能確定極限(jxin)是否存在（1） P ( x , y ) 沿 x 軸趨于 ( 0 , 0 )，此時(c sh) y = 0 , x 0 xyo第24頁/共76頁第二十五頁，共77頁。例4 證明(zhngmng) 不存在 證（3）取26300limyxyxyx 極限值隨 k 的不同(b tn)而變化，故極限(jxin)不存在 xyo第25頁/共76頁第二十六頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)第26頁/共76頁第二十七頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch

9、)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第27頁/共76頁第二十八頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第28頁/共76頁第二十九頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第29頁/共76頁第三十頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第30頁/共76頁第三十一頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz

10、 第31頁/共76頁第三十二頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第32頁/共76頁第三十三頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第33頁/共76頁第三十四頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第34頁/共76頁第三十五頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第35頁/共76頁第三十六頁，共77頁。不存在(cnz

11、i).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第36頁/共76頁第三十七頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第37頁/共76頁第三十八頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第38頁/共76頁第三十九頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第39頁/共76頁第四十頁，共77頁。確定(qudng)極限不存在的常用方法：第40頁/共76頁第四十一頁，共

12、77頁。求二元函數(shù)的極限常用(chn yn)的方法：（1）用定義(dngy)驗證其存在或不存在；（2）利用變量(binling)代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為 0 的因子；（4）利用極限運算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；第41頁/共76頁第四十二頁，共77頁。解：例5：求極限(jxin)第42頁/共76頁第四十三頁，共77頁。解：例6：求極限(jxin)第43頁/共76頁第四十四頁，共77頁。解：例7：求極限(jxin)42lim00 yxyxyx第44頁/共76頁第四十五頁，共77頁。, 0, 0 第45頁/共76頁第四十六頁

13、，共77頁。一元函數(shù)連續(xù)性回顧(hug)：二元函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性第46頁/共76頁第四十七頁，共77頁。 如果函數(shù) f ( x, y ) 在 D 的每一點(y din)都連續(xù)， 二元函數(shù)(hnsh)連續(xù)的三個要素則稱函數(shù)(hnsh) f ( x, y ) 在 D 上連續(xù)，或者稱 f ( x, y ) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)。第47頁/共76頁第四十八頁，共77頁。 二元函數(shù)間斷(jindun)的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多因為(yn wi)當(dāng) f ( x , y ) 無定義(dngy)，所以在整個圓周 f ( x , y ) 間斷。第48頁/共76頁第四十九頁，共77頁。例8 證明(zhngm

14、ng)函數(shù)在(0,0)處連續(xù)(linx)解取xyo , 0 故函數(shù)(hnsh)在(0,0)處連續(xù).第49頁/共76頁第五十頁，共77頁。例9 討論(toln)函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同(b tn)而變化，極限(jxin)不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù))0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx時時當(dāng)當(dāng)?shù)?0頁/共76頁第五十一頁，共77頁。定義(dngy)3 如果函數(shù)(hnsh) f ( P ) 在 D 的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)(hnsh) f ( P ) 在 D 上連續(xù)，或者稱 f ( P ) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)(hnsh)。 n 元函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性第51頁/共

15、76頁第五十二頁，共77頁。（2）多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的可用一個(y )式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)（3）一切多元初等(chdng)函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義(dngy)區(qū)域是指包含在定義(dngy)域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點說明（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個二元或二元以上的多元函數(shù)時，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)第52頁/共76頁第五十三頁，共77頁。（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以(ky)計算在其連續(xù)點處的極限。例解第53頁/共76頁第五十四頁，共77頁。閉區(qū)域(

16、qy)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域(qy) D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理(dngl)（2）至少存在兩點（1）存在正數(shù) M ，使得對于任意的點 P D ，均有第54頁/共76頁第五十五頁，共77頁。（二）介值定理(dngl) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)(linx)的多元函數(shù) f ( P ) ，必取得介于最小值 m 和最大值 M 之間的任何值。即對任意(rny)的 c , m c M ,至少存在一點 P D ,使得：第55頁/共76頁第五十六頁，共77頁。多元函數(shù)極限(jxin)的概念多元(du yun)函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)

17、域(qy)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)的定義第56頁/共76頁第五十七頁，共77頁。習(xí)題(xt)81: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(3), 8 第八章作業(yè)(zuy)第一節(jié)：多元(du yun)函數(shù)的基本概念第57頁/共76頁第五十八頁，共77頁。思考題第58頁/共76頁第五十九頁，共77頁。思考題解答(jid)不能.例取但是 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因為(yn wi)若取第59頁/共76頁第六十頁，共77頁。練 習(xí) 題第60頁/共76頁第六十一頁，共77頁。第61頁/共76頁第六十二頁，共77頁。第62頁/共76頁第六十三頁，共77頁

18、。練習(xí)題答案(d n)第63頁/共76頁第六十四頁，共77頁。不存在(cnzi).觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第64頁/共76頁第六十五頁，共77頁。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第65頁/共76頁第六十六頁，共77頁。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第66頁/共76頁第六十七頁，共77頁。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第67頁/共76頁第六十八頁，共77頁。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第68頁/共76頁第六十九頁，共77頁。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第69頁