基于Matlab的信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)2

1、基于Matlab的信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)一 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在Matlab中的表示一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab表示常用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的方法2、觀察并熟悉這些信號(hào)的波形和特性二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析1、信號(hào)的定義與分類2、如何表示連續(xù)信號(hào)？連續(xù)信號(hào)的表示方法有兩種；符號(hào)推理法和數(shù)值法。從嚴(yán)格意義上講，Matlab數(shù)值計(jì)算的方法不能處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)。然而，可利用連續(xù)信號(hào)在等時(shí)間間隔點(diǎn)的取樣值來(lái)近似表示連續(xù)信號(hào)，即當(dāng)取樣時(shí)間間隔足夠小時(shí)，這些離散樣值能被Matlab處理，并且能較好地近似表示連續(xù)信號(hào)。3、Matlab提供了大量生成基本信號(hào)的函數(shù)。如：（1）指數(shù)信號(hào)：K*exp(a*t)（2）正弦信號(hào)

2、：K*sin(w*t+phi)和K*cos(w*t+phi)（3）復(fù)指數(shù)信號(hào)：K*exp(a+i*b)*t)（4）抽樣信號(hào)：sin(t*pi)注意：在Matlab中用與Sa(t)類似的sinc(t)函數(shù)表示，定義為： （5）矩形脈沖信號(hào)：rectpuls(t,width)（6）周期矩形脈沖信號(hào)：square(t,DUTY)，其中DUTY參數(shù)表示信號(hào)的占空比DUTY%，即在一個(gè)周期脈沖寬度（正值部分）與脈沖周期的比值。占空比默認(rèn)為0.5。（7）三角波脈沖信號(hào)：tripuls(t, width, skew)，其中skew取值范圍在-1+1之間。（8）周期三角波信號(hào)：sawtooth(t, widt

3、h)（9）單位階躍信號(hào)：y=(t>=0)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)內(nèi)容直流及上述9個(gè)信號(hào)2、程序設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）利用Matlab命令畫出下列連續(xù)信號(hào)的波形圖。（a）（b）（c）（2）利用Matlab命令畫出復(fù)信號(hào)的實(shí)部、虛部、模和輻角。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求1、格式：實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)思考等2、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：程序設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)部分源代碼及運(yùn)行結(jié)果圖示。實(shí)驗(yàn)二 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在Matlab中的運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab進(jìn)行連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)移、反褶和尺度變換；2、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab進(jìn)行連續(xù)時(shí)間信號(hào)微分、積分運(yùn)算；3、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab進(jìn)行連續(xù)時(shí)間信號(hào)相加、

4、相乘運(yùn)算；4、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab進(jìn)行連續(xù)時(shí)間信號(hào)卷積運(yùn)算。二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析1、信號(hào)的時(shí)移、反褶和尺度變換信號(hào)的平移、反轉(zhuǎn)和尺度變換是針對(duì)自變量時(shí)間而言的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式和波形變換中存在著一定的變化規(guī)律。從數(shù)學(xué)表達(dá)式上來(lái)看，信號(hào)的上述所有計(jì)算都是自變量的替換過(guò)程。所以在使用Matlab進(jìn)行連續(xù)時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算時(shí)，只需要進(jìn)行相應(yīng)的變量代換即可完成相關(guān)工作。2、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的微分和積分符號(hào)運(yùn)算工具箱有強(qiáng)大的積分運(yùn)算和求導(dǎo)功能。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的微分運(yùn)算，可使用diff命令函數(shù)來(lái)完成，其語(yǔ)句格式為：diff(function, variable,n)其中，function表示需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的函數(shù)，或

5、者被賦值的符號(hào)表達(dá)式；variable為求導(dǎo)運(yùn)算的獨(dú)立變量；n為求導(dǎo)階數(shù)，默認(rèn)值為一階導(dǎo)數(shù)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)積分運(yùn)算可以使用int命令函數(shù)來(lái)完成，其語(yǔ)句格式為：int(function, variable, a, b)其中，function表示被積函數(shù)，或者被賦值的符號(hào)表達(dá)式；variable為積分變量；a為積分下限，b為積分上限，a和b默認(rèn)時(shí)則求不定積分。3、信號(hào)的相加和相乘運(yùn)算信號(hào)的相加和相乘是信號(hào)在同一時(shí)刻取值的相加和相乘。因此Matlab對(duì)于時(shí)間信號(hào)的相加和相乘都是基于向量的點(diǎn)運(yùn)算。4、連續(xù)信號(hào)的卷積運(yùn)算卷積積分是信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析的重要方法之一。定義為：Matlab進(jìn)行卷積計(jì)算可通過(guò)符號(hào)

6、運(yùn)算方法和數(shù)值計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)。（1）Matlab符號(hào)運(yùn)算法求連續(xù)信號(hào)卷積從卷積定義出發(fā)，可以利用Matlab符號(hào)運(yùn)算法求卷積積分，但要注意積分變量和積分限的選取。例：試用Matlab符號(hào)運(yùn)算法求卷積y(t)=u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t-1)。（2）Matlab數(shù)值計(jì)算法求連續(xù)信號(hào)的卷積例：試用Matlab數(shù)值計(jì)算法求信號(hào)和的卷積。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、已知信號(hào)的波形（課本P11例題），畫出的波形圖。2、使用微分命令求關(guān)于變量x的一階導(dǎo)數(shù)；使用積分命令計(jì)算不定積分 ，定積分。3、已知，使用命令畫出兩信號(hào)和及兩信號(hào)乘積的波形圖。其中，4、四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求1、格式：實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理

7、、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述4部分代碼及結(jié)果圖形）、實(shí)驗(yàn)思考等。實(shí)驗(yàn)三 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)使用符號(hào)法求解連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2、學(xué)會(huì)使用數(shù)值法求解連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3、學(xué)會(huì)求解連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析1、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的符號(hào)求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可以使用常系數(shù)微分方程來(lái)描述，其完全響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)組成。MATLAB符號(hào)工具箱提供了dsolve函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)常系數(shù)微分方程的符號(hào)求解，其調(diào)用格式為：dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)其中參數(shù)eq表示各個(gè)微分方程，它與MATLAB符

8、號(hào)表達(dá)式的輸入基本相同，微分和導(dǎo)數(shù)的輸入是使用Dy，D2y，D3y來(lái)表示y的一價(jià)導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)；參數(shù)cond表示初始條件或者起始條件；參數(shù)v表示自變量，默認(rèn)是變量t。通過(guò)使用dsolve函數(shù)可以求出系統(tǒng)微分方程的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而求出完全響應(yīng)。 實(shí)例1試用Matlab命令求齊次微分方程的零輸入響應(yīng)，已知起始條件為。注意，程序中繪圖的時(shí)間區(qū)間一定要t>0，本程序中取0, 8，程序運(yùn)行后結(jié)果如下。2、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值求解在實(shí)際工程中使用較多的是數(shù)值求解微分方程。對(duì)于零輸入響應(yīng)來(lái)說(shuō)，其數(shù)值解可以通過(guò)函數(shù)initial來(lái)實(shí)現(xiàn)，而該函數(shù)中的參量必須是狀態(tài)變量所描述的

9、系統(tǒng)模型，由于現(xiàn)在還沒(méi)有學(xué)習(xí)狀態(tài)變量相關(guān)內(nèi)容，所以此處不做說(shuō)明。對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了對(duì)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真的函數(shù)lsim，利用該函數(shù)可以求解零初始條件下的微分方程的數(shù)值解。其調(diào)用格式為：y=lsim(sys,f,t)，其中t表示系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間抽樣點(diǎn)向量，f是系統(tǒng)的輸入向量；sys表示LTI系統(tǒng)模型，用來(lái)表示微分方程、差分方程或狀態(tài)方程。在求解微分方程時(shí)，sys是有tf函數(shù)根據(jù)微分方程系數(shù)生成的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)象，其語(yǔ)句格式為：sys=tf(a,b)。其中，a和b分別為微分方程右端和左端的系數(shù)向量。例如，對(duì)于微分方程可以使用獲得其LTI模型。注意，如果微分方程

10、的左端或者右端表達(dá)式有缺項(xiàng)，則其向量a或者b中對(duì)應(yīng)元素應(yīng)該為零，不能省略不寫。3、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)中，沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)是系統(tǒng)特性的描述。在MATLAB中，對(duì)于沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的數(shù)值求解，可以使用控制工具箱中提供的函數(shù)impulse和step來(lái)求解。其中t表示系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間抽樣點(diǎn)向量，sys表示LTI系統(tǒng)模型。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、已知系統(tǒng)的微分方程和激勵(lì)信號(hào)，使用MATLAB命令畫出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)分別使用符號(hào)法和數(shù)值法求解，零輸入響應(yīng)只使用符號(hào)法求解）。要求題目2必做，題目1選做。2、已知系統(tǒng)的微分方程，使用MATLAB命令畫出系

11、統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（數(shù)值法）。要求題目2必做，題目1選做。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求1、格式：實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述幾部分代碼及結(jié)果圖形）、實(shí)驗(yàn)思考等。實(shí)驗(yàn)四 傅里葉變換(FT)及其性質(zhì)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉2、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖3、學(xué)會(huì)運(yùn)用Matlab分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換的性質(zhì)二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析（一）傅里葉變換的實(shí)現(xiàn) 例1：用Matlab符號(hào)運(yùn)算求解法求單邊指數(shù)信號(hào)的FT。例2：用Matlab符號(hào)運(yùn)算求解法求的IFT。例3：用Matlab命令繪出例1中單邊指數(shù)數(shù)信號(hào)的頻譜圖。例4：用Matlab

12、命令求圖示三角脈沖的FT，并畫出其幅度譜。例5：用Matlab數(shù)值計(jì)算法求例3的三角脈沖幅度頻譜圖。（二）FT的性質(zhì)1、尺度變換例6：設(shè)矩形信號(hào)，利用Matlab命令繪出該信號(hào)及其頻譜圖。同時(shí)繪出的頻譜圖，并加以比較。下面利用Matlab將常規(guī)矩形脈沖信號(hào)的頻譜和其調(diào)制信號(hào)（課本例3-4信號(hào)）頻譜進(jìn)行比較。Matlab源程序如下：傅里葉變換的其它性質(zhì)可用類似的方法驗(yàn)證，希望大家課下練習(xí)。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 注意：(1)寫代碼時(shí)jài3、分別利用Matlab符號(hào)運(yùn)算求解法和數(shù)值計(jì)算法求下圖所示信號(hào)的FT，并畫出其頻譜圖。4、已知門函數(shù)自身卷積為三角波信號(hào)，試用Matlab命令驗(yàn)證FT的時(shí)域卷

13、積定理。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述幾部分代碼及結(jié)果圖形）、實(shí)驗(yàn)思考等。實(shí)驗(yàn)五 信號(hào)抽樣及抽樣定理一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB完成信號(hào)抽樣以及對(duì)抽樣信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析2. 學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB改變抽樣時(shí)間間隔，觀察抽樣后信號(hào)的頻譜變化3. 學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB對(duì)抽樣后的信號(hào)進(jìn)行重建二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析（一）信號(hào)抽樣 信號(hào)抽樣是利用抽樣脈沖序列從連續(xù)信號(hào)中抽取一系列的離散值，通過(guò)抽樣過(guò)程得到的離散值信號(hào)稱為抽樣信號(hào)，記為。從數(shù)學(xué)上講，抽樣過(guò)程就是信號(hào)相乘的過(guò)程，即因此，可以使用傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)來(lái)求抽樣信號(hào)的頻譜。常用的抽樣脈沖序列有周

14、期矩形脈沖序列和周期沖激脈沖序列。上式表明，信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是原連續(xù)信號(hào)頻譜以抽樣角頻率為間隔周期的延拓，即信號(hào)在時(shí)域抽樣或離散化，相當(dāng)于頻域周期化。在頻譜的周期重復(fù)過(guò)程中，其頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅里葉系數(shù)加權(quán)，即被加權(quán)。可以看出，是以為周期等幅地重復(fù)。程序運(yùn)行結(jié)果，如下頁(yè)圖示。 很明顯，升余弦脈沖信號(hào)的頻譜抽樣后發(fā)生了周期延拓，頻域上該周期為。（二）抽樣定理如果是帶限信號(hào)，帶寬為，則信號(hào)可以用等間隔的抽樣值來(lái)唯一表示。經(jīng)過(guò)抽樣后的頻譜就是將的頻譜在頻率軸上以抽樣頻率為間隔進(jìn)行周期延拓。因此，當(dāng)時(shí)，周期延拓后頻譜不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊；當(dāng)時(shí)，周期延拓后頻譜將產(chǎn)生頻率混疊。通常把滿足抽

15、樣定理要求的最低抽樣頻率稱為奈奎斯特頻率，把最大允許的抽樣間隔稱為奈奎斯特間隔。（三）信號(hào)重建抽樣定理表明，當(dāng)抽樣定理小于奈奎斯特間隔時(shí)，可以使用抽樣信號(hào)唯一表示原信號(hào)，即信號(hào)的重建。為了從頻譜中無(wú)失真的恢復(fù)原信號(hào)，可以采用截止頻率為的理想低通濾波器。上式表明連續(xù)信號(hào)可展開為抽樣函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)為抽樣值。利用MATLAB中的函數(shù)來(lái)表示，所以可獲得由重建的表達(dá)式，即實(shí)例9-3 對(duì)實(shí)例9-1中的升余弦脈沖信號(hào)，假設(shè)其截止頻率為，抽樣間隔，采用截止頻率的低通濾波器對(duì)抽樣信號(hào)濾波后重建信號(hào)，并計(jì)算重建信號(hào)與原升余弦脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差。程序運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。從圖中可以看出，重建后的信號(hào)與原

16、升余弦脈沖信號(hào)的誤差在以內(nèi)，因?yàn)楫?dāng)選取升余弦脈沖信號(hào)帶寬為時(shí)，實(shí)際上已經(jīng)將很少的高頻分量忽略了。程序運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。結(jié)果表明信號(hào)不滿足抽樣定理時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的失真，并且絕對(duì)誤差十分明顯。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、設(shè)有三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)，頻率分別為，；現(xiàn)在使用抽樣頻率對(duì)這三個(gè)信號(hào)進(jìn)行抽樣，使用MATLAB命令畫出各抽樣信號(hào)的波形和頻譜，并分析其頻率混疊現(xiàn)象。2、結(jié)合抽樣定理，利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)信號(hào)經(jīng)過(guò)沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號(hào)及其頻譜，并利用構(gòu)建信號(hào)。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述幾部分代碼及結(jié)果圖形）、實(shí)驗(yàn)思考等。實(shí)驗(yàn)六 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特

17、性及頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析連續(xù)系統(tǒng)地頻率特性2、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析（一）連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特性 一個(gè)連續(xù)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常用常系數(shù)線性微分方程描述，即 （*）對(duì)上式兩邊取傅里葉變換，并根據(jù)FT的時(shí)域微分性質(zhì)可得：定義為：可見為兩個(gè)的多項(xiàng)式之比。其中，分母、分子多項(xiàng)式的系數(shù)分別為（*）式左邊與右邊相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，也稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)頻率響應(yīng)或頻率特性。一般是復(fù)函數(shù)，可表示為：其中，稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱為幅頻響應(yīng)或幅頻特性；稱為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱相頻響應(yīng)或相頻特性。描述

18、了系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換與激勵(lì)的傅里葉變換間的關(guān)系。只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，與激勵(lì)無(wú)關(guān)，因此它是表征系統(tǒng)特性的一個(gè)重要參數(shù)。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的freqs函數(shù)可直接計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的數(shù)值解，其語(yǔ)句格式為：H=freqs(b,a,w)其中，b和a表示的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量；w為系統(tǒng)頻率響應(yīng)的頻率范圍，其一般形式為w1:p:w2，w1為頻率起始值，w2為頻率終止值，p為頻率取值間隔。H返回w所定義的頻率點(diǎn)上系統(tǒng)頻率響應(yīng)的樣值。注意，H返回的樣值可能為包含實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)。因此，如果想得到系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，還需要利用abs和angle函數(shù)來(lái)分別求得。例1：已知某連續(xù)LTI系

19、統(tǒng)的微分方程為：求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并用MATLAB繪出其幅頻特性和相頻特性圖。解：對(duì)上式兩端取FT，得：因此，頻率響應(yīng)為：利用MATLAB中的freqs函數(shù)可求出其數(shù)值解，并繪出其幅頻特性和相頻特性圖。MATLAB源程序和程序運(yùn)行結(jié)果如下例2：下圖是實(shí)用帶通濾波器的一種最簡(jiǎn)單形式。試求當(dāng)時(shí)該濾波器的幅頻特性和相頻特性。解：帶通濾波器的頻率響應(yīng)為：代入?yún)?shù)，帶通濾波器的諧振頻率為：帶通濾波器的幅頻特性和相頻特性的MATLAB源程序如下：程序運(yùn)行結(jié)果如上右圖所示，可以看到，該帶通濾波器的特性是讓接近諧振頻率的信號(hào)通過(guò)而阻止其它頻率的信號(hào)。（二）連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特性 連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻域分

20、析法，也稱為傅里葉變換分析法。該方法是基于信號(hào)頻譜分析的概念，討論信號(hào)作用于線性系統(tǒng)時(shí)在頻域中求解響應(yīng)的方法。傅里葉分析法的關(guān)鍵是求取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。傅里葉分析法主要用于分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，或分析輸出信號(hào)的頻譜，也可用來(lái)求解正弦信號(hào)作用下的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。下面通過(guò)實(shí)例來(lái)研究非周期信號(hào)激勵(lì)下利用頻率響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)。例3：下圖(a)為RC低通濾波器，在輸入端加入矩形脈沖如圖(b)所示，利用傅里葉分析法求輸出端電壓。解：RC低通濾波器的頻率響應(yīng)為：，其中激勵(lì)信號(hào)的FT為：因此，響應(yīng)的FT為：MATLAB源程序和程序運(yùn)行結(jié)果如下所示：由上圖可看出，時(shí)域中輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的波形產(chǎn)生了失真，表現(xiàn)在波

21、形的上升和下降部分，輸出信號(hào)的波形上升和下降部分比輸入波形要平緩許多。而在頻域，激勵(lì)信號(hào)頻譜的高頻分量與低頻分量相比受到較嚴(yán)重的衰減。這正是低通濾波器所起的作用。對(duì)于周期信號(hào)激勵(lì)而言，可首先將周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，然后求系統(tǒng)在各傅里葉級(jí)數(shù)分解的頻率分量作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，再由系統(tǒng)的線性性質(zhì)將這些穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量疊加，從而得到系統(tǒng)總的響應(yīng)。該方法的理論基礎(chǔ)是基于正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對(duì)于正弦激勵(lì)信號(hào)，當(dāng)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：例4：設(shè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，若外加激勵(lì)信號(hào)為，用MATLAB命令求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：MATLAB源程序和程序運(yùn)行結(jié)果如下：從圖形可看出，信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)后，其

22、高頻分量衰減較大，說(shuō)明該系統(tǒng)是低通濾波器。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、試用MATLAB命令求下圖所示電路系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。已知。2、已知系統(tǒng)微分方程和激勵(lì)信號(hào)如下，試用MATLAB命令求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（1）（2）四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述幾部分代碼及結(jié)果圖形）、實(shí)驗(yàn)思考等。實(shí)驗(yàn)七 拉普拉斯變換（LT）一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求拉普拉斯變換（LT）2、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求拉普拉斯反變換（ILT）二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析 LT是分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的重要方法。運(yùn)用LT可以將連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域模型簡(jiǎn)便地進(jìn)行變換，經(jīng)求解在還原為時(shí)域解。從數(shù)學(xué)角度看

23、，LT是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。由LT導(dǎo)出的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性分析也具有重要意義。（一）拉普拉斯變換（LT） 對(duì)于一些不滿足絕對(duì)可積條件的時(shí)域信號(hào)，是不存在傅里葉變換的。為了使更多的函數(shù)存在變換，并簡(jiǎn)化某些變換形式或運(yùn)算過(guò)程，引入衰減因子，其中，為任意實(shí)數(shù)，使得滿足絕對(duì)可積條件，從而求的傅里葉變換，即把頻域擴(kuò)展為復(fù)頻域。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的LT定義為： （*）ILT定義為： （*）式（*）和（*）構(gòu)成了拉普拉斯變換對(duì)，稱為的像函數(shù)，而稱為的原函數(shù)?？梢詫⒗绽棺儞Q理解為廣義的傅里葉變換。考慮到實(shí)際問(wèn)題，人們用物理手段和實(shí)驗(yàn)方法所能記錄和處理的一切信號(hào)都是有起始時(shí)刻的，對(duì)于這類單邊信號(hào)或因果信

24、號(hào)，我們引入單邊LT，定義為：如果連續(xù)信號(hào)可用符號(hào)表達(dá)式表示，則可用MATLAB的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的laplace函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)其單邊LT，其語(yǔ)句格式為：。式中L返回的是默認(rèn)符號(hào)為自變量s的符號(hào)表達(dá)式，f則為時(shí)域符號(hào)表達(dá)式，可通過(guò)sym函數(shù)來(lái)定義。例1：用MATLAB的laplace函數(shù)求的FT。解：MATLAB的源程序?yàn)椋?gt;>f=sym(exp(-t)*sin(a*t);>>L=laplace(f)或>>syms a t>>L=laplace(exp(-t)*sin(a*t);laplace函數(shù)另一種語(yǔ)句格式為：。它返回的函數(shù)L是關(guān)于符號(hào)對(duì)象v的函

25、數(shù)，而不是默認(rèn)的s。對(duì)上例中如果要求FT后的表達(dá)式自變量為v，則MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>syms a t v>>f=exp(-t)*sin(a*t);>>L=laplace(f,v)注：請(qǐng)自行驗(yàn)證結(jié)果正確與否（二）拉普拉斯反變換（ILT） 1、基于MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱實(shí)現(xiàn)ILT如果連續(xù)信號(hào)可用符號(hào)表達(dá)式表示，則可用MATLAB的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的ilaplace函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)其ILT，其語(yǔ)句格式為：。式中f返回的是默認(rèn)符號(hào)為自變量t的符號(hào)表達(dá)式，L則為s域符號(hào)表達(dá)式，也可通過(guò)sym函數(shù)來(lái)定義。例2：試用MATLAB的ilaplace函數(shù)求的ILT。解：M

26、ATLAB源程序?yàn)椋?gt;>F=sym(s2/(s2+1);>>ft=ilaplace(F)或>>syms s>>ft=ilaplace(s2/(s2+1)注：請(qǐng)自行驗(yàn)證結(jié)果正確與否2、基于MATLAB部分分式展開法實(shí)現(xiàn)ILT用MATLAB函數(shù)residue可得到復(fù)雜有理式F(s)的部分分式展開式，其語(yǔ)句格式為：其中B、A分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量；r為部分分式的系數(shù)；p為極點(diǎn)；k為F(s)中整式部分的系數(shù)。若F(s)為有理真分式，則k為0。例3：利用MATLAB部分分式展開法求的ILT。解：MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>f

27、ormat rat;>>B=1,2;>>A=1,4,3,0;>>r,p=residue(B,A)程序中的format rat是將結(jié)果數(shù)據(jù)以分?jǐn)?shù)的形式表示，其運(yùn)行結(jié)果為：r= -1/6-1/22/3p=-3-10從上述結(jié)果可知，F(xiàn)(s)有3個(gè)單實(shí)極點(diǎn)，即，其對(duì)應(yīng)部分分式展開系數(shù)為：-1/6、-1/2、2/3。因此，F(xiàn)(s)可展開為：。所以，F(xiàn)(s)的反變換為：例4：利用MATLAB部分分式展開法求的ILT。解：F(s)的分母不是標(biāo)準(zhǔn)的多項(xiàng)式形式，可利用MATLAB的conv函數(shù)將因子相乘的形式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的形式，其MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>B=1,

28、-2;>>A=conv(conv(1,0,1,1),conv(1,1,1,1);>>r,p=residue(B,A)程序運(yùn)行結(jié)果（略）根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果，F(xiàn)(s )可展開為：所以，F(xiàn)(s)的ILT為：（三）拉普拉斯變換法求解微分方程拉普拉斯變換法是分析連續(xù)LTI系統(tǒng)的重要手段。LT將時(shí)域中的常系數(shù)線性微分方程，變換為復(fù)頻域中的線性代數(shù)方程，而且系統(tǒng)的起始條件同時(shí)體現(xiàn)在該代數(shù)方程中，因而大大簡(jiǎn)化了微分方程的求解。借助MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱實(shí)現(xiàn)拉普拉斯正反變換的方法可以求解微分方程，即求得系統(tǒng)的完全響應(yīng)。例5：已知某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為：，且已知激勵(lì)信號(hào)，起始條件為

29、，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對(duì)原方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并利用起始條件，得：將起始條件及激勵(lì)變換代入整理可得：其中，第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng)的拉普拉斯變換，第二項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換。利用MATLAB求其時(shí)域解，源程序如下：>>syms t s>>Yzis=(3*s+13)/(s2+3*s+2);>>yzi=ilaplace(Yzis)yzi= -7*exp(-2*t)+10*exp(t)>>xt=4*exp(-2*t)*Heaviside(t);>>Xs=laplace(xt);>>Yzss=Xs/(

30、s2+3*s+2);>>yzs=ilaplace(Yzss)yzs= 4*(-1-t)*exp(-2*t)+4*exp(-t)>>yt=simplify(yzi+yzs)yt= -11*exp(-2*t)+14*exp(-t)-4*t*exp(-2*t)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：系統(tǒng)的完全響應(yīng)為：三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、試用MATLAB命令求課本習(xí)題4-1各函數(shù)的LT。注：要求至少任選2個(gè)小題。2、試用MATLAB命令求課本習(xí)題4-4各函數(shù)的ILT。注：要求至少任選2個(gè)小題，且分別用兩種方法求解。3、試用MATLAB命令和拉普拉斯變換法求課本習(xí)題2-6。注：要求至

31、少任選一種情況求解。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求61實(shí)驗(yàn)八 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求解離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)3、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求解離散時(shí)間系統(tǒng)的卷積和二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析（一）離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)離散LTI系統(tǒng)可用線性常系數(shù)差分方程來(lái)描述，即其中，和為實(shí)常數(shù)。MATLAB中的函數(shù)filter可對(duì)上式的差分方程在指定時(shí)間范圍內(nèi)的輸入序列所產(chǎn)生的響應(yīng)進(jìn)行求解。其語(yǔ)句格式為其中，x為輸入的離散序列；y為輸出的離散序列；y的長(zhǎng)度與x的長(zhǎng)度一樣；b與a分別為差分方程右端與左端的系數(shù)向量。例1：已知某LTI系統(tǒng)的差分

32、方程為試用MATLAB命令繪出當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為時(shí)該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。程序運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。圖1 例1系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（二）離散時(shí)間系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)定義為系統(tǒng)在激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用表示。MATLAB求解單位樣值響應(yīng)可利用函數(shù)filter，并將激勵(lì)設(shè)為如下定義的impDT函數(shù)。例如，求解例1中系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)時(shí)，MATLAB源程序?yàn)槌绦蜻\(yùn)行結(jié)果如圖2所示。MATLAB的另一個(gè)求單位樣值響應(yīng)的方法是利用控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù)impz來(lái)實(shí)現(xiàn)。impz函數(shù)的常用語(yǔ)句格式為impz(b,a,N)其中，參數(shù)N通常為正整數(shù)，代表計(jì)算單位樣值響應(yīng)的樣值個(gè)數(shù)。圖2 例1的系統(tǒng)單位樣值響

33、應(yīng)例2：已知某離散LTI系統(tǒng)的差分方程為利用MATLAB的impz函數(shù)繪出該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。程序運(yùn)行結(jié)果如圖3所示，比較圖2和圖3 ，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)果相同。圖3 系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)（三）離散時(shí)間信號(hào)的卷積和運(yùn)算由于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)的卷積，因此卷積運(yùn)算在離散時(shí)間信號(hào)處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。離散時(shí)間信號(hào)的卷積定義為：可見，離散時(shí)間信號(hào)的卷積運(yùn)算為求和運(yùn)算，故常稱為“卷積和”。MATLAB求離散時(shí)間信號(hào)卷積和的命令為conv，其語(yǔ)句格式為：，其中，x與h表示離散時(shí)間信號(hào)值的向量；y為卷積結(jié)果。用MATLAB進(jìn)行卷積和運(yùn)算時(shí)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)無(wú)限的累加，只能計(jì)算時(shí)限信號(hào)的卷積。 程序運(yùn)行結(jié)

34、果如圖4所示。 圖4 卷積結(jié)果圖對(duì)于給定函數(shù)的卷積和，應(yīng)計(jì)算卷積結(jié)果的起始點(diǎn)及其長(zhǎng)度。兩個(gè)時(shí)限序列的卷積和長(zhǎng)度一般等于兩個(gè)序列長(zhǎng)度的和減1。例3：已知某系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為，試用MATLAB求當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：在MATLAB中可通過(guò)卷積求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即。由題意可知，描述向量的長(zhǎng)度至少為8，描述向量的長(zhǎng)度至少為4，因此為了圖形完整美觀，將向量和向量加上一些附加的零值。MATLAB源程序?yàn)椋撼绦蜻\(yùn)行結(jié)果如圖5所示。圖5 利用卷積和求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求實(shí)驗(yàn)九 z變換及離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的z域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求離散時(shí)間信號(hào)

35、的z變換和z反變換2、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)3、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與其時(shí)域特性的關(guān)系4、學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB進(jìn)行離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析二、實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析（一）z正反變換序列的雙邊z變換定義為：序列的單邊z變換定義為：MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了計(jì)算離散時(shí)間信號(hào)的單邊z變換的函數(shù)ztrans和z反變換函數(shù)iztrans，其語(yǔ)句格式分別為：Z=ztrans(x)X=iztrans(Z)上式中的x和Z分別為時(shí)域表達(dá)式和z域表達(dá)式的符號(hào)表示，可以通過(guò)sym函數(shù)來(lái)定義。例1：試用ztrans函數(shù)求下列函數(shù)的z變換。例2：試用iztra

36、ns函數(shù)求下列函數(shù)的z反變換。如果信號(hào)的z域表示式是有理數(shù)，則進(jìn)行z變換的另外一個(gè)辦法就是對(duì)X(z)進(jìn)行部分分式展開，然后求各簡(jiǎn)單分式的z變換。設(shè)X(z)的有理分式表示為MATLAB信號(hào)工具箱提供了一個(gè)對(duì)X(z)進(jìn)行部分分式展開的函數(shù)residuez，其語(yǔ)句格式為R,P,K=residuez(B,A)其中，B，A分別表示X(z)的分子與分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，R為部分分式的系數(shù)向量，P為極點(diǎn)向量，K為多項(xiàng)式的系數(shù)。若X(z)為有理真分式，則K為0。例3：試用MATLAB命令對(duì)函數(shù)進(jìn)行部分分式展開，并求出其z反變換。（二）系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義為如果系統(tǒng)函數(shù)的有理函數(shù)表達(dá)式

37、為在MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)就可以通過(guò)函數(shù)roots得到，也可以借助函數(shù)tf2zp得到，tf2zp的語(yǔ)句格式為:Z,P,K=tf2zp(B,A)其中，B與A分別表示為H(z)的分子與分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。它的作用是將H(z)的有理分式表示為轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益形式：例4：已知一離散因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試用MATLAB命令求該系統(tǒng)的零極點(diǎn)。例5：已知一離散因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試用MATLAB命令求該系統(tǒng)的零極點(diǎn)。（三）系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與其時(shí)域特性的關(guān)系在離散系統(tǒng)中，z變換建立了時(shí)域函數(shù)h(n)與z域函數(shù)H(z)之間的關(guān)系。因此，H(z)從形式上可以反映h(n)的部分內(nèi)在性質(zhì)

38、。下面通過(guò)討論H(z)的一階極點(diǎn)情況，來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)時(shí)域特性的關(guān)系。例6：試用MATLAB命令畫出下列系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖以及對(duì)應(yīng)的時(shí)域單位取樣響應(yīng)h(n)的波形，并分析系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)對(duì)時(shí)域波形的影響。程序運(yùn)行結(jié)果如圖2的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）和（g）所示。圖2 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖與其時(shí)域特性的對(duì)應(yīng)從圖2可以看出，當(dāng)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，h(n)為衰減序列；當(dāng)極點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，h(n)為等幅序列；當(dāng)極點(diǎn)位于單位圓外時(shí)，h(n)為增幅序列。若H(z)有一階實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則h(n)為指數(shù)序列；若H(z)為一階共軛極點(diǎn)，則h(n)為指數(shù)震蕩序列；若H(z)

39、的極點(diǎn)位于虛軸左邊，則h(z)序列按一正一負(fù)的規(guī)律交替變化。（四）離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特性分析對(duì)于因果穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)，如果激勵(lì)為正弦序列，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為。其中，通常為復(fù)數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為，其中，稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性；稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)特性；是以為周期的周期函數(shù)。因此，只要分析在范圍內(nèi)的情況，便可知道整個(gè)系統(tǒng)在頻域的特性。MATLAB提供了求離散時(shí)間系統(tǒng)頻響特性的函數(shù)freqz，調(diào)用freqz的格式主要有兩種形式。一種形式為：H,w=freqz(B,A,N), 其中B與A分別表示H(z)的分子與分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量；N為正整數(shù)，默認(rèn)值為512；返回值包

40、含范圍內(nèi)的N個(gè)頻率等分點(diǎn)；返回值H則是離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)在范圍內(nèi)N個(gè)頻率處對(duì)應(yīng)的值。另外一種形式為H,w=freqz(B,A,N，whole)。與第一種方式的不同之處在于角頻率的范圍由擴(kuò)展到。例7：試用MATLAB命令繪制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。程序運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。圖3 離散系統(tǒng)頻響特性曲線三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、使用MATLAB的residuez函數(shù)，求出的部分分式展開和。2、使用MATLAB畫出因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3、使用MATLAB繪制出的頻率響應(yīng)曲線。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（上述幾部分代碼及結(jié)果）、實(shí)驗(yàn)思考等。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析（4學(xué)時(shí)）一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模ㄒ唬┱莆帐褂肕atlab進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的方法1、學(xué)