1.2三重積分的概念及計(jì)算ppt課件

1、定義 設(shè)f(x y z)是空間有界閉區(qū)域上有定義將任意分割成n個(gè)互不重疊的小區(qū)域i在 上任取一點(diǎn) 作積分和i,iiix y z1,2, .in1,niiiiif x y zV其中表示小區(qū)域 的體積iVi1max.ii n 令的直徑若對(duì)區(qū)域的任意一種分割法i以及中間點(diǎn)的任意取法，積分和的極限,iiix y z01lim,niiiiifx y zV總存在，則稱此極限為在區(qū)域上的三重積分，, ,f x y z記作, ,f x y z dV或, ,f x y z dxdydz7-3 三重積分的概念與計(jì)算三重積分的概念與計(jì)算01lim,niiiiifx y zV當(dāng)極限當(dāng)極限 存在時(shí)存在時(shí),稱稱 在在區(qū)域

2、區(qū)域 上可積上可積. , ,f x y z, ,f x y z dV三重積分三重積分 中的各部分的名稱中的各部分的名稱 積分號(hào)積分號(hào) 積分區(qū)域積分區(qū)域 f(x y z)被積函數(shù)被積函數(shù)f(x y z)dv被積表達(dá)式被積表達(dá)式dv 體積元素體積元素 x y z積分變量 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù)或分塊連續(xù)函數(shù)在上的連續(xù)函數(shù)或分塊連續(xù)函數(shù)在 上是可積的上是可積的.),(dvzyxM若一物體占有空間位置若一物體占有空間位置，又其體密度為，又其體密度為 則該則該物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為),(zyx當(dāng)當(dāng)f(x,y,z)=1,V表示表示的體積，那么的體積，那么.dvV1 在直角坐標(biāo)下的計(jì)算在直角坐

3、標(biāo)下的計(jì)算 （積分區(qū)域是一個(gè)柱面，而其底與頂可以是 曲面 12, ,|,x y zx yD zx yzzx y 及在上連續(xù)1,z x y2,z x yD其中, ,f x y z在上連續(xù)在上連續(xù), ,f x y z dxdydz21, ,.zx yzx yDdxdyfx y z dzD那那么么),(yx穿入點(diǎn)穿入點(diǎn)穿出點(diǎn)穿出點(diǎn)穿入點(diǎn)的豎坐標(biāo)：),(1yxzz 穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)：).,(2yxzz ),(),(21yxzyxz上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 先將x,y看作定值，將f(x,y,z)看成z的函數(shù)，在上積分，其結(jié)果是x,y的函數(shù)，記為),(),(21yxzyxz),(),(21. ),(),(yx

4、zyxzdzzyxfyxF然后計(jì)算F(x,y)在D上的二重積分DdyxF),( Dyxzyxzddzzyxf),(),(21.),(bxa , )()(:21xyyxyD設(shè)baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf)()(),(),(2121 .),(),(于是有 公式把三重積分化為先對(duì)z、次對(duì)y、最后對(duì)x的三次積分或 累次積分.D),(yx穿入點(diǎn)穿入點(diǎn)穿出點(diǎn)穿出點(diǎn)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)其中 為三個(gè)坐標(biāo)補(bǔ)例補(bǔ)例 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)

5、2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例1 求三重積分求三重積分,)cos(dxdydzzxyI.2, 0, 0圍成及柱面由平面其中xyzxzy解解為頂?shù)那斪◇w，是以平面2zxxyz22oD平面它在oxy可表為上的投影區(qū)域D200 xxyxz20:xy 020 x DydxdydzzxI20)cos(ydxdyzxDx20| )sin(上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)ydxdyxD)sin1 (200:xxyDxydyxdx020)sin1 (20)sin1 (21dxx).18(212（2先二重積分后定積分的方法先

6、二重積分后定積分的方法 一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分一個(gè)定積分 設(shè)積分區(qū)域?yàn)樵O(shè)積分區(qū)域?yàn)?x y z)|(x y)Dz azb 其中其中Dz是豎坐標(biāo)為是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉區(qū)域的平面截空間閉區(qū)域 所得到的一個(gè)平所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域面閉區(qū)域 那么那么 , ,f x y z dv, ,.zbaDdzf x y z dxdy即所謂的即所謂的“先二后一法先二后一法.應(yīng)滿足下列條件：說(shuō)明：說(shuō)明：區(qū)域用“先二后一法”積分az 要介于平面.之間及bz zbazZ,平面且任取.Dz的交集是一個(gè)閉區(qū)域與abxyzzzD上頁(yè)下頁(yè)鈴

7、結(jié)束返回首頁(yè)例例2 求三重積分求三重積分,2dveIz.122圍成及平面由曲面其中zyxz解解,1 , 0z任取得截面，軸的垂直平面截作z即,D(z)22zyx：區(qū)域.D(z)z的面積：)(102zDzdxdyedzI102dzzez10|22ze).1 (21ezDyxz1DO上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 判定是否可以用此方法的具體步驟是：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)，如果用垂直于某坐標(biāo)軸如z軸的平面去截區(qū)域得截面面積是該坐標(biāo)軸如z軸的函數(shù)，而被積函數(shù)也僅是該坐標(biāo)變量如z的函數(shù)，或可化為僅是該坐標(biāo)變量如z的函數(shù)，則有)(11)(),(zDccdxdydzzFdvzyxf21)()(),(bbyDd

8、zdxdyyGdvzyxf)(21)(),(xDaadydzdxxHdvzyxf同理得:同理得:同理得同理得:上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè).平面對(duì)稱關(guān)于假如積分區(qū)域oxy).,(),(),(2),(),(),(0),(1zyxfzyxfdvzyxfdvzyxfzyxfzyxfdvzyxf.0,),( | ),(1zzyxzyx其中區(qū)域上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)dvzxyzxyzyxI)222(222例例3 求三重積分求三重積分dvzyxI2)().0, 0, 0(1:222222cbaczbyax其中解解是奇函數(shù)，所以關(guān)于平面對(duì)稱，而關(guān)于由于zzxyzoxy2 ,2yzdv2, 02zxdv是奇函數(shù)，故

9、關(guān)于平面對(duì)稱，而關(guān)于同理，xxyoyz2. 02xydv于是dvzyxI)(222xyzabczDz上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)xyzabczDz),|(|1: )(222222czczbyaxzD2222221czbyax橢圓：兩個(gè)半軸是：,122cza.122czbdvz2dxdyzdzzDcc)(2cdzczabz0222)1 (2.1543abcdvy2,1543cab同理dvx2).(154222cbaabcI故,1543cab空間點(diǎn)的柱面坐標(biāo)空間點(diǎn)的柱面坐標(biāo) 2 在柱坐標(biāo)下的計(jì)算公式在柱坐標(biāo)下的計(jì)算公式 設(shè)設(shè)M(x y z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn) 并設(shè)點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在在xOy面上的面上的投

10、影投影P 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為P(r ) 則這樣的三個(gè)數(shù)則這樣的三個(gè)數(shù)r、 、z就就叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo) 這里規(guī)定這里規(guī)定、 、z的變化范圍為的變化范圍為 0r 02 z 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系 xrcos yrsin zz 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)常數(shù)r圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面坐標(biāo)面分別為如下圖, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zrrvddddoxyzoz),(zyxMr)0 ,(yxzrzdrddrxyzorrdd三重積分在柱面坐標(biāo)下的計(jì)算公式是dvzyxf),(dvzrrf),sin,cos(.),sin,cos( | ),(zrrzr其中上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束

11、返回首頁(yè) (1) 是一個(gè)正的柱體，在oxy平面上的投影的極坐標(biāo) 區(qū)域 為D，其低曲面與頂曲面用柱坐標(biāo)分別表示為).,(),(rzrz與那么dxdydzzyxf),(.),sin,cos(),(),(rrDdzzrrfdrdo oxyz2例例 4 求三重積分求三重積分dvzyxI)(22.2222圍成及平面是由曲面其中zyxz上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)o oxyz2解解)(2122yxz2z),(yx4:22 yxD2222zyxz422yx.2)(21, 4| ),(2222zyxyxzyx.221, 20 ,20| ),(2zrrzrdvzyxI)(22dzrdrdzr224sincosDrzd

12、zdrdr222252sincosDdrdrr)414(21sincos422520542022)414(sincos21drrrd上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)15256)cos1 (cos22022d15256)22143221(2.1532,)20)2(之間（與介于半平面相截得平面的任意一半平面與，且極角為),(D平面閉區(qū)域則有計(jì)算公式：dvzyxf),(.),sin,cos()(Drdrdzzrrfd)(Dxyzo上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例 5 求三重積分求三重積分,)2(222zyxdvI.1, 1122所圍及兩平面由柱面其中zzyx解解為矩形：，對(duì)于)(),20D,10 , 11| ),(

13、rzrz)(2220)2(DzrrdrdzdI102211)2(2zrrdrdz112|)2|)2(1(2dzzz.8)310ln() 12ln(1032).ln(2121222222axxxaxdxxa注：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)解解所求體積為dxdydzV1)(20Drdrdzddzrdrd是下列區(qū)域其中)(D.)(| ),(222zarzr例例 6 設(shè)設(shè) 是是(y,z)坐標(biāo)平面上的圓盤(pán)坐標(biāo)平面上的圓盤(pán))0()(222azay繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到的區(qū)域，試求體積V.DrdrdzV22222)()(2araraadzrdraadrarr22)(22.222a上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 3 在球坐標(biāo)下

14、的計(jì)算公式在球坐標(biāo)下的計(jì)算公式 設(shè)P(x y z)為空間內(nèi)一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離計(jì)作 ，向徑 與Z軸正向的夾角計(jì)作 ( ),P在Oxy平面上的投影點(diǎn) 的極角計(jì)作 ( ),則數(shù)組( )與點(diǎn)P 有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱( )為點(diǎn)P 的球坐標(biāo).OP01P20,0200cossinxsinsinycoszsinrcosz直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系1PPoxyzzr上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)坐標(biāo)面分別為常數(shù)球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面),(rM如下圖, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為dddsind2rv xyzodddd因此有zyxzyxfddd),(),(Fdddsin2其中)cos,sinsin,cossin(),(fF上頁(yè)下

15、頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè),)20(之間及介于當(dāng)積分區(qū)域的變相截得平面區(qū)域的平面與且任一極角為,)(D),換范圍則有計(jì)算公式：,)(D,21為：區(qū)域特別地，若對(duì)任一)0, 0(212121），常數(shù)，其中常數(shù)簡(jiǎn)化為：則有公式)8 . 7(dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin()(2Dddfd)8 . 7(dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(22121dfdd)9 . 7(上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例 7 求三重積分求三重積分.2| ),(,2222zzyxzyxdvy其中yzxzzyx2222o12解解.2 , 0）的變化范圍為由圖可見(jiàn),)(,2 , 0

16、總是一個(gè)半圓）任意固定D的球面方程2cos)20 ,20(2cos)(軸及曲線的邊界曲線為zD.20(）因此有dvy2dddsind2rrv dddcos204203202sinsin.154ddd234sinsin上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例 8 求三重積分求三重積分,)()(22222dvzyxzyxI所圍的與拋物面有球面其中2222234yxzzyx.0部分的閉區(qū)域zxyzo解解平面對(duì)稱，所以關(guān)于由于Oyzdvzyxxy2222)(2. 0)(22222dvzyxxz. 0)(22222dvzyxyz同理上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)dvzyxzyxI2222222)(.1222dvzyxxyzo

17、322sincos3,sincos322由交線.3解得,20），任意固定從圖可以看出，)30(2)(軸及兩曲線的邊界由zD.)23(sincos32組成和z222sincos3oy3上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)dddsin122dvzyx2221203020sinddd2sincos302320sinddd2330sincos3sin22dd30| )cos2(223| )sinln3().23ln31 (2z222sincos3oy3dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(22121dfdd4. 在一般變量變換下的計(jì)算公式在一般變量變換下的計(jì)算公式定理定理3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

18、在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù),又設(shè)變換又設(shè)變換, ,f x y z, , , ,xx u v wyy u v wzz u v w, ,u v w, ,0, ,xxxuvwD x y zyyyJD u v wuvwzzzuvw在在 上連續(xù)上連續(xù),有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),將將 一一對(duì)應(yīng)地變到一一對(duì)應(yīng)地變到 ,且變換的雅可比行列式且變換的雅可比行列式那那么么 , , , , ,.f x y z dVf x u v w y u v w z u v wJ dudvdw上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)球坐標(biāo)變換cossinxsinsinycosz的雅可比行列式),D(z)y,x,DJ（0sincoscossincoscossinsinsinsincoscoscossin22222332sinsincoscossincossin.sin2上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)柱面坐標(biāo)變換cosrx sinry zz 的雅可比行列式.),D(z)y,x,DJrrr（ 因而，前面講的球坐標(biāo)及柱面坐標(biāo)計(jì)算