有限元課件第4講等參元和高斯積分ppt課件

1、第4講 等參單元和數(shù)值積分l實踐問題經(jīng)常需求運用一些幾何外形不太規(guī)整的單元來逼近原問題。直接研討這些不規(guī)整單元的表達式比較困難在總體坐標系下構造位移插值函數(shù)，那么計算外形函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷列陣時非常冗繁?，F(xiàn)實上，外形不規(guī)整的單元和外形規(guī)整的單元矩形單元、正六面體單元可以建立一種映射關系，使得物理坐標系中的整體坐標和自然坐標系中的部分坐標一一對應。l等參單元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實踐領域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。4.1 等參單元l簡單桿系問題分析的新途徑簡單桿系問題分析的新途徑l等參單元定義的給出等參單元定義的給出l平面問題四邊形等參單元計算公式平面問題四

2、邊形等參單元計算公式l三維問題六面體等參單元計算公式三維問題六面體等參單元計算公式l采用等參單元的優(yōu)點采用等參單元的優(yōu)點簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標系下進展單元分析參看第3講內(nèi)容途徑2：建立部分自然坐標系進展單元分析F直角坐標系直角坐標系( x , y , z)極坐標極坐標(r,) ，2維維球坐標系球坐標系(r, )柱坐標系柱坐標系 (, , z)自然坐標系自然坐標系關于坐標系關于坐標系自然坐標系自然坐標系: 選軌跡上任一點選軌跡上任一點O為原點為原點用軌跡長度用軌跡長度S 描寫質(zhì)點位置描寫質(zhì)點位置nOmS質(zhì)點沿切線前進方向的單位矢量為質(zhì)點沿切線前進方向的單位矢量為 切向單位

3、矢量切向單位矢量(tangential unit vector) 質(zhì)點與切向正交且指向軌跡曲線凹側的質(zhì)點與切向正交且指向軌跡曲線凹側的 單位矢量為法向單位矢量單位矢量為法向單位矢量(normal unit vector) l當點的運動軌跡知時，通常采用自然法確定點的運動規(guī)律、速度、加速度。 l在自然坐標系中表示質(zhì)點速度，是非常簡單的，由于無論質(zhì)點處在什么位置上速度都只需切向分量，而沒有法向分量。 新途徑：建立部分自然坐標系進展單元分析( )xx坐標插值函數(shù)：01( )xaa0101( 1)(1)ijxaaxxaax部分自然坐標和整體直角坐標可以建立一種映射關系節(jié)點條件：01()/2()/2ij

4、jiaxxaxxxixj( )(1)/2 (1)/2ijxxx( )( )ex Nx( )(1)/2 (1)/2N( )()/2()/2ijjixxxxx單元內(nèi)坐標由節(jié)點坐標插值表示部分坐標到物理坐標的變換( ( )()/2()/2(1)/2 (1)/2iijjijuu xuuuuu( ( )( )eu x Nq( )(1)/2 (1)/2N單元位移函數(shù)：01( ( )u xaa0101( ( 1)( (1)iju xaauu xaau節(jié)點條件：01()/2()/2ijjiauuauu察看： 單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和一樣的外形函數(shù)經(jīng)過插值的方式表示。 外形函數(shù)是用自然坐標給出的，表達

5、式很簡單( )( )ex Nx( ( )( )eu x Nq( )(1)/2 (1)/2N( )(1)/2 (1)/2N( ( )( ( )( )( ( )( )eeedu xddxdxdxdxNqNqBq( ( )( ( )( )( )eeeexExEBqSq11( ) eell B( ) eeeeEEll S2111111111( ( ) ( ( )( ( ) ( ( )221( )( )(/2)21(/2)( )( )2121 1(/2)( )( )1 1eTTTTxeeexeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeUxxdVExxA dxUEA ldUlE AdUE AlE Adl

6、 Bq BqqBBqq K qKBB單元應變能：單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元外力功TeeeW q P( )( )eepeTTxxSb dVp dAPNN等效節(jié)點力( )(1)/2 (1)/2N(1)11(2)( )( )( 1)11000( )( )(1)00011eeeppepeeeppepTTTxxxSSxSTTTxxxSSxSb dVp dAp dARp dARb dVp dAp dAp dAFF PNNNPNNN對于本例自然坐標系下的分析結果與整體直角坐標系下的分析結果完全一樣。忽略單元間作用力等參單元定義的給出l等參單元：用同樣的節(jié)點和一樣的外形函數(shù)經(jīng)過插值的方式表示出單元的幾何坐標

7、與位移的單元，稱為等參單元。l假設坐標變換節(jié)點數(shù)多于位移插值的節(jié)點數(shù)，稱為超參變換。反之，假設坐標變換節(jié)點數(shù)少于位移插值的節(jié)點數(shù)，那么稱為亞參變換。l等參單元的插值函數(shù)用自然坐標給出。平面問題四邊形等參單元的推導整體直角坐標整體直角坐標單元部分自然坐標( , )P x y( , )P 普通四邊形規(guī)格化的矩形( , )P x y( , )P 映射11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy坐標映射( , )( , )xxyy 12341234xy ( , )P x y( , )P 映射( ,)( ,)iiiiiixxyy 節(jié)點條件：構造插值函數(shù)112 1314 1 1212232

8、422312333433412434444xxxx 11234212343123441234xxxx11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1xxxx11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1yyyy12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0

9、000 0 xyxyNNNNxxNNNNyyxy 12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN( , )( , )e xNx12341234( ( , ), ( , )( , )( ( , ), ( , )( , )u xyuv xyv 11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy( 1, 1) ( 1,1)(1,1)(1, 1)( ,)( ,)iiiiiiuuvv 節(jié)點條件：11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)

10、(1, 1) (,)( 1,1) 位移函數(shù)112 1314 1 1212232422312333433412434444uuuu 11234212343123441234uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1vvvv同理可得：12341 122334412341 12 23 34 4( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )u xyN uN uN uN uv xyN vN vN vN v 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1

11、)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0( ( , ), ( , )000 0 ( ( , ), ( , )uvuvNNNNu xyuNNNNv xyvuv ( ( , ), ( , )( , )exy uNq單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和一樣的外形函數(shù)經(jīng)過插值的方式表示。外形函數(shù)用自然坐標給出。( , )( , )e xNx( ( , ), ( , )( , )( , )exy uuNq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN12341234 0 0 0 0 0( , )0 0 0 0 0 xNNNNNNNNyyx B

12、 ( ( , ), ( , )( , )( , )( , )eexy uNqBq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?1 iiiiiiiiiiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNy JJ*1 iNJJJ偏導數(shù)變換( , )iN ( ( , ), ( , )iNx yx y xyxyJ雅可比矩陣：11111111( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )( , )( , )( , )TeTeSxyxytdxdytd dd d KBDBBDBJFJ111111TTeepTTeeepbSeb

13、epdVdAtd dtCd PN bN pPPPN b JPN p1/222xyC在常數(shù)的面上四邊形等參單元外形要求0J不能有重節(jié)點不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o的情況內(nèi)角最好介于30o-150o之間有限變形的情況防止出現(xiàn)三維問題六面體等參單元的計算公式( , )( , )e xNx( , )( , )( , )ex y uuNq8 3 xyzxyzxyzJ( , )( , )( , )ex y uuNq ( , , )( , , ) BN111111TTeedVd d d KB DBB DB J1111TTepepSdACd d PN pN pTTeepeeepbSdVdAPN bN pPP111

14、111TTeebdVd d d PN bN b J在常數(shù)的面上1/2222yzyzzxzxxyxyC采用等參單元的優(yōu)點l借助于等參元可以對于普通的恣意幾何外形的工程問題方便地進展有限元離散。l等參元的插值函數(shù)是用自然坐標給出的，等參元的一切計算都是在自然坐標系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進展，相關運算大大簡化。l不論各個積分方式的矩陣的被積函數(shù)如何復雜，都可以采用規(guī)范化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了一致的通用化程序。4.2 數(shù)值積分l數(shù)值積分及其根本思想lNewton-cotes積分公式lGauss-Legendre積分公式l等參元中積分階次的選擇關于數(shù)值積分l計算剛度矩陣及等效節(jié)

15、點載荷列陣的元素時，往往涉及到復雜函數(shù)的定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分方法。l數(shù)值積分方法是一種近似的方法。一個函數(shù)的定積分可以經(jīng)過n個結點的函數(shù)值的加權組合來表示111111TTeeeeeedVd d d KB DBB DB J1( )( )nbiiaifdA f數(shù)值積分的根本思想( ),( ),( ,1,2,., )( )( ), )( ) : ( ),(1,2,., )( )?( ),I( )( )baiiibbaafdninffinfddff 對于一個定積分 I構造一個多項式使得在區(qū)間內(nèi) 個點上與相同 即(則用來近似代替積問題是如何構造多項式使其對有最好分式變的逼近為求積公式插

16、值法1101111111(1,2,., ),( ), )=( ) ( ) ( )(1)1 ,( ),()0 , innniinininjnniijjijj ininLagrangelfaaalnLagrangeijllij 基于區(qū)間內(nèi) 個結點將多項式取為插值多項式即(其中為階插值函數(shù)顯然11111 )( )( )( ),I( )( )( ) ( ) ( )( )( )iinbbbniiaaainnbniiiiaiifffddlfdldfA f (則用來近似代替積分式變?yōu)橹辽倬哂衝-1次代數(shù)精度Newton-cotes求積公式l假設n個結點 等距分布，那么前面的插值型求積公式稱為Newton-cotes求積公式。lNewton-cotes求積公式具有n-1次代數(shù)精度l幾個常用求積公式l梯形公式，n=1lSimpson公式，n=2(1,2,., )iin( )( )( )2babaf x dxf af b( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff bGauss-Legendre求積公式ln個插值結點非等距分布l結點和積分權系數(shù)可以查表111()(niiiAfdfl高斯積分方法預先定義了積分點和相應的加權系數(shù)，求出被積