數(shù)學選修2-3 第二章隨機變量及其分布列24 正態(tài)分布

1、24正態(tài)分布正態(tài)分布 1利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義2了解變量落在區(qū)間(，(2，2，(3，3的概率大小3會用正態(tài)分布去解決實際問題1正態(tài)曲線函數(shù)，(x)，x(，)，其中實數(shù)和(0)為參數(shù)，稱，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線隨機變量X落在區(qū)間(a，b的概率為P(aXb)，即由正態(tài)曲線，過點(a,0)和點(b,0)的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，就是X落在區(qū)間(a，b的概率的近似值，如圖2正態(tài)分布如果對于任何實數(shù)a，b(ab)，隨機變量X滿足P(aXb)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù) 和 確定，因此正態(tài)分布常記作 如果

2、隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為 N(，2)XN(，2)曲線位于x軸 ，與x軸 ；曲線是單峰的，它關于直線 對稱；曲線在 處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為 ；上方不相交xx1當 一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著 的變化而沿x軸平移，如圖；當一定時，曲線的形狀由確定，曲線越“瘦高”； ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散如圖.越小越大43原則正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內取值的概率P(X)；P(2X2)；P(3X3).0.682 60.954 40.997 41.正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布如長度測量誤差，正常生產條件下各種產品的質量指標等2一般地，一個隨機變量

3、如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布3參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計把0，1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布4求隨機變量的密度函數(shù)時，只需求出，即可，也就是求樣本的均值及標準差.1.性質說明函數(shù)的值域為正實數(shù)集的子集，且以x軸為漸近線2性質是曲線的對稱性，關于直線x對稱3性質說明函數(shù)在x時取最大值4性質說明正態(tài)變量在(，)內取值的概率是1.5性質說明當標準差一定時，變化時曲線的位置變化情況6性質說明當均值一定時，變化時總體分布的集中、離散程度.利用正態(tài)分布N(，

4、2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間上的取值的概率規(guī)律，可以解決某些實際問題通常利用3原則來進行質量控制，這是因為：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(，2)，則X落在(3，3之外的概率約為0.3%，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，則說明X不服從正態(tài)分布了，在現(xiàn)實應用中，即說明產品不合格，這是后面將學到的統(tǒng)計學中常用的假設檢驗方法的基本思路.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，P(X4)0.84，則P(X0)()A0.16B0.32C0.68D0.84【分析】畫出正態(tài)曲線，結合其意義及特點求解【解析】由XN(2，2)，可知其正態(tài)曲線如右圖所示，對稱軸由x2，則P(X0)P(X4)1P(X4)10.84

5、0.16.【答案】A利用正態(tài)曲線的對稱性求概率，是正態(tài)分布的基本題型，也是高考考查的重點解題的關鍵是利用對稱軸x確定所求概率對應的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應的隨機變量的區(qū)間的關系，必要時，可借助圖形判斷在某項測量中，測量結果X服從正態(tài)分布N(1，2)(0)，若X在(0,1)內取值的概率為0.4，則X在(0,2)內取值的概率為_解析：由XN(1，2)(0)，知正態(tài)曲線的對稱軸為x1，從而由圖象可知P(0X1)P(1X2)，所以P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.8為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結果

6、表明他們的體重(kg)服從正態(tài)分布N(，22)，且正態(tài)分布密度曲線如右圖所示若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是()A997 B954 C819 D683【分析】由圖可知曲線關于x60.5對稱，故60.5.解決本題的關鍵是求P(58.5X62.5)，則屬于正常情況的人數(shù)是1 000P(58.5X62.5)【解析】由題意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，從而屬于正常情況的人數(shù)是1 0000.682 6683.【答案】D解此類問題一定要把握服從N(，2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間的取值概率，將所有

7、問題向P(X)，P(2X2)，P(3X3)轉化，然后利用特定值求出相應概率. 同時，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X(g)服從正態(tài)分布N(184,2.52)，求：(1)隨機抽取1罐，其實際凈重超過186.5 g的概率；(2)隨機抽取1罐，其實際凈重大于179 g小于等于189 g的概率某設備在正常運行時，產品的質量服從正態(tài)分布，其參數(shù)為500 g，21，為了檢驗設備運行是否正常，質量檢查員需要隨機抽取產品，測量其質量當檢驗員隨機地抽取一個產品，測得其質量為504 g，他立即要求停止生產，檢查設備他的決定是否有道理呢？【分析】由于產

8、品質量服從正態(tài)分布N(，2)，因此隨機變量在附近取值的的概率較大，在離很遠處取值的概率很小，因此可考慮根據(jù)3原則作出判斷【解】如果設備正常運行，產品質量服從正態(tài)分布N(，2)，根據(jù)3原則可知，產品質量在35003497(g)和35003503(g)之間的概率為0.997 4，而質量超出這個范圍的概率只有0.002 6，這是一個幾乎不可能出現(xiàn)的事件但是檢驗員隨機抽取的產品為504 g，這說明設備的運行極可能不正常，因此檢驗員的決定是有道理的若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，由此做假設檢驗時，按如下步驟進行：(1)確定一次試驗中的取值a是否落入范圍(3，3)；(2)作出判斷，如果a(3，3)，則接

9、受統(tǒng)計假設，如果a (3，3)，則拒絕統(tǒng)計假設某廠生產的圓柱形零件的外直徑(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52)，質檢人員從該廠生產的1 000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7 cm，試問該廠生產的這批零件是否合格？解：由于外直徑服從正態(tài)分布N(4,0.52)，則在(430.5,430.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率為0.002 6，而5.7 (2.5,5.5)，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認為該批零件是不合格的.解析：根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質：正態(tài)分布密度曲線是一條關于x對稱，在x處取得最大值的連線鐘形曲線；越大，曲線越“矮胖”；

10、越小，曲線越“瘦高”故選A.答案：A2若隨機變量N(，2)，且P(c)P(c)，則c的值為()A0 B C D解析：由正態(tài)分布密度曲線的性質知：曲線是單峰的，它關于直線x對稱，且曲線與x軸之間的面積為1，則有c.答案：B3若隨機變量XN(，2)，則P(X)_.解析：由正態(tài)分布密度曲線的性質，得P(X)0.5.答案：0.54(2012山東濰坊檢測)某市進行一次高三教學質量抽樣檢測，考試后統(tǒng)計的所有考生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布已知數(shù)學成績平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學成績在90分至120分之間的人數(shù)約占總人數(shù)的_%.解析：由題可知正態(tài)分布密度曲線關于直線x90對稱，又已知成績在60分以下的人數(shù)占10%，所以