離散時間信號與系統(tǒng)的變換域分析ppt課件

1、抽樣信號nnTnTtnTxnTttxttxtxnTxnx)()()()()()()( )()(nSTdenTt)(nnsTenTxsX)()(nnznxnxzX)()()(ZSTeZ 0nnznxnxzX)()()(Z)()(sXzXSTez解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuZ Z變換的定義變換的定義ImzjZ Z變換的定義變換的定義解：1az|az 或ImzjReza01)() 1()(nnnnnzaznuazX01)(1)(nnnnazaz|)(111)(azazzzXazZ Z變換的定義變換的定義解：

2、03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj3Z Z變換的收斂域變換的收斂域)(nx對于恣意給定的序列 ，使其Z變換收斂的一切z值的集合稱為 的收斂域。)(zX其收斂的充要條件是滿足絕對可和條件，即：nnznx)(根據(jù)級數(shù)收斂的阿貝爾定理發(fā)散不定收斂111limnnna對于不同的序列 ，可求得相應(yīng)的收斂域。)(nxZ Z變換的收斂域變換的收斂域00)()()(njnnnenxznxzX00)()()(njnnnenxznxzXImzjRez0ImzjRez0

3、Rez0ImzjZ Z變換的收斂域變換的收斂域逆逆Z Z變換變換從給定的Z變換表達式(包括收斂域)求原序列的過程稱為逆z變換。其本質(zhì)是求X(z)的冪級數(shù)展開式各項的系數(shù)。dzzzXjnxcn1)(21)(式中C為收斂域中的一條逆時針環(huán)繞原點的閉合曲線。 逆逆Z Z變換變換是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C內(nèi)的一組極點是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C外的一組極點 kakb,)(Re)(1kknazzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx假設(shè) 還滿足在 有二階或二階以上的零點，那么根據(jù)留數(shù)輔助定理，有: z1)(nzzX)(nx假設(shè)被積函數(shù) 是有理分式，普通采用留數(shù)定理來計算圍線積分 。根

4、據(jù)留數(shù)定理， 等于圍線C內(nèi)全部極點留數(shù)之和，即: 1)(nzzX逆逆Z Z變換變換在詳細利用留數(shù)定理進展圍線積分計算時，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點及n值靈敏選用公式來計算，可使問題得以簡化。例如，在n小于某一值時，被積函數(shù)在圍線內(nèi)部z=0處能夠具有高階極點，這時采用圍線外部的極點進展計算將方便得多。 假設(shè) 為單階極點，按留數(shù)定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz假設(shè) 為 階極點，那么其留數(shù)為: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm 求 原 序 列x(n)知某序列的Z變換為: azazzX11)1 ()(解:dzz

5、azjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且當(dāng) 時，z=0處不是極點，被積函數(shù)僅有單階極點a，在收斂域內(nèi)取圍線C包含極點a，可求得:0naz 由于收斂域為 ，可知該序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111azaazazzX求原序列x(n)知序列的Z變換為：解：Rez0Imzja1/a收斂域|z|=|a|圍線C| | |1aza 所給收斂域 為環(huán)域 原序列 必為雙邊序列)(nx|z|=|1/a|在

6、收斂域內(nèi)作包圍原定的圍線C逆逆Z Z變換變換當(dāng) 時，只需一個單階極點z=a,其圍線積分為：0n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn當(dāng)n0時，被積函數(shù)在圍線內(nèi)除了在z=a處有一個單階極點，在z=0處為高階極點，由于這時在圍線外X(z)zn-1只需一個單極點z=a-1 ，因此有: 01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn逆逆Z Z變換變換用部分分式展開法求反Z變換，)()()(zAzBzX通常為有理分式。1、單極點NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(假設(shè)序列為因果序列，且NM，當(dāng)X(z)的N個極點都是單極點時，可以展開成以下的

7、部分分式的方式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX那么其逆Z變換為：)()()(10nuzAnAnxnkkNk逆逆Z Z變換變換闡明：闡明：1 1、X(z)X(z)較簡單時可按算術(shù)展開求各系數(shù)較簡單時可按算術(shù)展開求各系數(shù)Ak(k=0,1,N) Ak(k=0,1,N) 。 2 2、X(z)X(z)較復(fù)雜時可按留數(shù)定理求各系數(shù)較復(fù)雜時可按留數(shù)定理求各系數(shù)Ak(k=0,1,N)Ak(k=0,1,N)，此時為了方便通常利用，此時為了方便通常利用X(z)/zX(z)/z的的方式求?。悍绞角笕。?)(Re)()1 (0 ,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk逆逆

8、Z Z變換變換2、高階極點當(dāng)上述有理分式中的MN且具有高階極點時，假設(shè)設(shè)除單極點外，在zi處還有一個s階的極點，那么其展開式修正為：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1 (1)(11110式中Bk(k=0,1,N)為X(z)整式部分的系數(shù)，可用長除法求得。Ak仍按上面的方法計算，Ck的計算公式為：skzzXzzdzdksCizzsiksksk, 1)()()!(1逆逆Z Z變換變換例：例： 知知 ，求，求X(z)X(z)的原序列。的原序列。 2) 5 . 0)(2()(2zzzzzX解：3/ 1, 3/421AA由求系數(shù)Ak的公式求得 )() 5 . 0(31)() 2(34

9、)(nununxnn由于X(z)的收斂域為 ，為因果序列，從而求得 2z5 . 02)5 . 0)(2()(21zAzAzzzzzX將X(z)變?yōu)閄(z)/z的方式并化為部分分式逆逆Z Z變換變換210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn在詳細進展長除法時，要根據(jù)收斂域先確定序列是左邊序列還是右邊序列。對于左邊序列Z變換為z的正冪級數(shù)，分子分母多項式應(yīng)按升冪陳列展開；對于右邊序列，Z變換為z的負冪級數(shù)，分子分母應(yīng)按降冪陳列進展展開。 )()(nuanxn 用長除法求 azazzX11)1 ()(的逆Z變換。 由收斂域知，這是一右邊序列。用長除法將其展開成z的負冪級數(shù)時應(yīng)將分母

10、多項式按降冪陳列。 1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例: 用長除法求| | | ,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z變換收斂域 為環(huán)域，x(n)必為雙邊序列。|1aza1111)1)(1 (1)(21azazaaazazzX解：解：對右邊序列 2323121212 zazazazazaa 33221zazaazaaz右邊序列為: 01)(2naanxn對左邊序列 az-1 3333222222zazazazazaazaz 3322111zazaazaz左邊

11、序列為: 01)(2naanxn綜上可得: 21)(aanxn逆逆Z Z變換變換例例: 求 的逆Z變換。|)1ln()(1azazzXaz 由收斂域 知原序列應(yīng)為因果序列。)1ln(x的冪級數(shù)展開式為 111|)1()1ln(nnnxnxx|)1()(11nnnnaznzazX故有 ，即： 1 azx1x用 代入上式，因az 001)1()(1nnnanxnn解：解：)(n)(nu1111zzz1z)(nuan111azazzaz )(nRN1111)1(1zzzzzNNN0z)(nnu2112)1()1(zzzz1z)()sin(0nun20101020cos21sin1cos2sinzzz

12、zzz1z)()cos(0nun201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz1z)()sin(0nuneanaaaezezez220101cos21sinaez)()cos(0nuneanaaaezezez220101cos21cos1aez)()sin(0nun20101cos21)sin(sinzzz1zZ Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(則,min,maxyxyxRRRRRR其中xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00則xxRzRz

13、XnxZ)()(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1則xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(則xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理假設(shè)x(n)為因果序列，它的初值為：)(lim)0(zXxz假設(shè)x(n)為因果序列，且其Z變換的極點除在z=1處可以有一個一階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)，那么有：)()1(lim)(lim1zXznxznhhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)

14、RzRzHzXnhnxZ)()()()(則,min,maxhxhxRRRRRR其中Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(則yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理對序列抽取運算時，將序列x(n)以M：1抽取后構(gòu)成的新序列y(n)。兩者之間的關(guān)系為： ,2, 1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMj

15、MezXMzY則求序列 的z變換，并確定其收斂域。)()cos()(0nunrnxn解：解：rrezzrenuerZrrezzrenuerZazaznuaZjjnjnjjnjnn00000011111)(11)(11)(221010110)cos2(1)cos(1111121)()cos(00zrzrzrzrezrenunrZjjnrz 線性性線性性xRznxZzXnunxnx),()(),()()(設(shè)求 的z變換和收斂域。nmmxny0)()(解：解：) 1()()()()(100nynymxmxnxnmnm)1()()(nynyZnxZ)()()(1zYzzYzX 1 ,max)(11)(

16、1xRzzXzzY即序列的移序列的移位性位性).(|)1ln()(1nxZazazzX變換的逆求解：解：121)(azazdzzdX111)()(azazdzzdXznnxZaznunanxnn)1()1()(1) 1()()(111111111nuaaazzaZazazZnX(z)對z進展微分：Z域微分性逆Z變換用卷積定理求 )()(nunx設(shè))()(nuanhn1a)()()(nhnxny1|11)()(1zznuZzX|11)()(1azaznuaZzHn1|1111)()()(11zazzzHzXzYdzazzzjzHzXZnync)(1(21)()()(11)(11111,)(1(R

17、e 1 ,)(1(Re1111nuaaaaaaazzzsazzzsnnnn解：解：卷積定理逆Z變換),()(nuanxn已知)()(nubnhn)()()(nhnxny1|1|ba、其中用復(fù)卷積定理求 )()(nyZzY解：解：|11)()(1bzbznubZzHn|11)()(1azaznuaZzXndvbvzavazjdvbvvvzajnyZzYcc)(/(/211)(1121)()(111復(fù)卷積定復(fù)卷積定理理在v平面中，被積函數(shù)有2個極點，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收斂域為：azvb可見，只需一個極點v2=b在圍線C內(nèi)。由留數(shù)定理求得：| |,max

18、|11,)(/(/Re)(1bazabzbbvzavazszYZ Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系Z變換與拉氏變換的關(guān)系: )(| )(sXzXaezsT這一關(guān)系實踐上是經(jīng)過 將S平面的函數(shù)映射到了Z平面。 sTez 假設(shè)將Z平面用極坐標表示 ，S平面用直角坐標表示 ，代入 ，得：jrez sTez jsTerT上述關(guān)系闡明： z 的模 r 僅與 s 的實部 相對應(yīng)，z 的幅角 那么僅與 s 的虛部 對應(yīng)。 映射關(guān)系：映射關(guān)系：)(10)(10)(10平面單位圓外平面單位圓內(nèi)平面上的單位圓zrzrzrZ Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系Tzs/102,00(S平面實軸映射到

19、Z平面的正實軸) (S平面原點映射到z =1點)(當(dāng)由- /T 添加到+ /T 時,對應(yīng)于 由- 添加到+ ) 由于 是 的周期函數(shù)，S平面每添加一個寬為2 /T 的程度條帶時，對應(yīng)于Z平面從- 到+ 旋轉(zhuǎn)了一周。這樣就有： jrez 1)(z即S平面的整個虛軸都映射到了Z平面 =1 的單位圓上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,這些關(guān)系示于以下圖示： zZ Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系抽樣序列的傅立葉變換即抽樣序列的頻譜。由于傅抽樣序列的傅立葉變換即抽樣序列的頻譜。由于傅立葉變換是拉氏變換在虛軸上立葉變換是拉氏變換在虛軸上 的特例，按照的特例，按照前面的前面的SZSZ平面的

20、映射關(guān)系，它映射到平面的映射關(guān)系，它映射到Z Z平面平面 =1 =1 的單位圓上，故有的單位圓上，故有 jSz)()()(jXeXzXaTjezTj12()()()jTjanX eX eXjjnTT 或定義：定義：Z Z平面的角變量平面的角變量 ，稱為數(shù)字頻率，單位為弧度。，稱為數(shù)字頻率，單位為弧度。sffT2序列的傅立葉變換是從頻域?qū)﹄x散時間信號和系統(tǒng)進展分析。它是用 作為基函數(shù)對序列進展正交展開，這與延續(xù)時間信號中的傅立葉變換用 對模擬信號進展展開類似。njetje 1序列傅立葉正變換 nnjjenxnxFeX)()()(x(n)的傅立葉變換定義如下: 是 的延續(xù)函數(shù)。但由于 其中M為整數(shù)

21、，故有 nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可見 還是 的周期函數(shù)，周期為2 。 )(jeX序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義2 2序列傅立葉變換與序列傅立葉變換與Z Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 比較后可見：序列的傅立葉變換是Z變換在 時的Z變換，即Z變換在的單位圓上 的特殊情況。jez 1zjezjzXeX)()(序列的傅立葉變換式： nnjjenxnxFeX)()()(nnznxzX)()(序列的Z變換定義式： 序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義由于單位圓上的由于單位圓上的Z Z變換就等于抽樣序列的傅立葉變變換就等于抽樣序列的傅立葉變換，也就是序

22、列的頻譜，因此，序列的傅立葉變換，也就是序列的頻譜，因此，序列的傅立葉變換也就是序列的頻譜。由于序列的傅立葉變換直換也就是序列的頻譜。由于序列的傅立葉變換直接給出了序列的頻譜，在頻譜分析與數(shù)字濾波器接給出了序列的頻譜，在頻譜分析與數(shù)字濾波器設(shè)計中經(jīng)常用到，因此它是信號處置的重要工具設(shè)計中經(jīng)常用到，因此它是信號處置的重要工具之一。之一。 序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義普通為 的復(fù)變函數(shù)，可表示為: )(jeX)(arg| )(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中， 分別為 的實部和虛部；通常稱 為序列的幅頻特性或幅度譜，而稱 為相位譜，并且有：)(jeX、)(j

23、ReX)(jIeX)(jeX)(arg)(jeX2/122)()(| )(|jIjRjeXeXeX)(/ )()(arg)(jRiIjeXeXarctgeX顯然 都是 的延續(xù)函數(shù)和周期為 2 的周期函數(shù)。 、)(jeX)(序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義3 3序列的傅立葉反變換序列的傅立葉反變換 )()(1jeXFnx通常傅立葉反變換記為deeXdzzzXjnxjnjceznj)(21|)(21)(14 4序列的傅立葉變換的收斂條件序列的傅立葉變換的收斂條件 )()(nxenxnnjn即序列絕對可和該條件是序列傅立葉變換存在的充分但非必要條件有些序列雖然不滿足以上條件，但滿足平方可和，

24、其傅立葉變換依然存在。見后例。某些既不滿足絕對可和的條件也不滿足平方可和條件的序列，假設(shè)引入頻域的沖擊函數(shù) ，其傅立葉變換也存在。如 、某些周期序列，見后例。 njenu、)()(序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義5 5常用序列的傅立葉變換常用序列的傅立葉變換 )(n11)(anuan1)1 (jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(00知 ，求它的傅立葉變換。 )()(5nRnx)2/sin(2/5sin)()(11)()(22/2/2/52/52/2/5540jj

25、jjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenxFeX解：解：其幅度譜和相位譜分別為： , |)2/sin(2/5sin|)(jeX)2/sin(2/5sinarg2)(|0|01)(ccjeH知序列的傅立葉變換如下，求它的反變換。 解：解：deeHFnhnjccj21)()(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22| )(|21|sin|顯然序列 不是絕對可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立葉變換。)(nhParseval定理njenx0)(證明復(fù)指數(shù)序列 的傅立葉變換為： kjkeX)2(2)(0證：證： 根據(jù)序列的傅立葉反變換定義，利用沖擊函數(shù) 的

26、性質(zhì)，有：)( knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，則若kkF)2(21 即mnmjmeanx)(假設(shè)序列為復(fù)指數(shù)和的方式： 推推論論 kmmmjkaeX）則2(2)(求余弦序列 的傅立葉變換 nnx0cos)()2()2(00kkk21cos)()(000njnjjeeFnFnxFeX解：解：可見：序列 的傅立葉變換表現(xiàn)為在 處的沖擊，強度為 ，并以2 為周期進展周期延拓。 n0cos0利用上例結(jié)論序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)下面所列出的性質(zhì)都可直接由Z變換令 得到，可自行證明。因序列的傅立葉變換是Z變換在 的單位圓上的特例，故一切Z變換的性質(zhì)

27、對傅立葉變換都成立。jez 1z序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)),()(jeXnxF若)()(jeYnyF)()()()(jjebYeaXnbynaxF則)()(jeXnxF若)()(00jnjeXennxF則)()(jeXnxF若)()(00jnjeXnxeF則),()(jeXnxF若)()(jeXnxF則序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì))()(jeXnxF若)(*)(*jeXnxF則)()(jeXnxF若dedXjnnxFj)()(則對時域信號進展線性加權(quán)對應(yīng)于頻域的微分),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(jjjeHeXeY則)()()(nhnxny設(shè)

28、序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(nhnxny設(shè))()(21)(jjjeHeXeY則deHeXjj)(21)()()()(jjjxyeYeXeR則),()(jeXnxF若)()(jeHnhFnxymnynxmr)()()(設(shè)2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推論序列的序列的自相關(guān)自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)的傅立葉傅立葉變換就變換就是序列是序列的功率的功率譜譜-維維納納-辛欠辛欠定理定理序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì))()(jeXnxF若deXnxjn22)(21)(則該定理闡明：信號在時域中的能量等于頻域中的能量)()(jeXnxF若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY則 2, 1,0)()(nnMxny設(shè)10)2()(1)(MlMljMjeXMeY或該性質(zhì)闡明：重抽該性質(zhì)闡明：重抽樣序列的頻譜是將樣序列的頻譜是將原來序列的頻譜展原來序列的頻譜展寬了寬了M倍，并將展倍，并將展寬后的頻譜以寬后的頻譜以為周期擴展了為周期擴展了M個個，幅度那么下降到，幅度那么下降到原來的原來的1/M。M/2序列傅立葉變換的對稱性序列傅立葉變換的對稱性假設(shè)序列 滿足 )()(nxnxee)(nxe)(nxe那么稱 為共軛對稱序列)(