二項分布及泊松分布教材

1、例例1 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒個嬰兒中中“男孩男孩”的個數(shù)的個數(shù). .貝努利概型貝努利概型 和和二項分布二項分布一、一、我們來求我們來求X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函數(shù)是：的概率函數(shù)是：男男 女女X表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男孩的個數(shù)，個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例2 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰

2、子拋擲1010次，次，令令X 表示表示3 3次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)“4”4”點的次數(shù)點的次數(shù)3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率函數(shù)是：的概率函數(shù)是：不難求得，不難求得， 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 一般地，一般地，設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：互逆的結(jié)果：A或或 ， 或者形象地把兩個互或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做逆結(jié)果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”. .A 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產(chǎn)品：抽驗產(chǎn)品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 這樣的這樣的n次獨立

3、重復(fù)試驗稱作次獨立重復(fù)試驗稱作n重貝努利重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗或試驗，簡稱貝努利試驗或貝努利概型貝努利概型. . 再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨立試驗次獨立試驗 ( “( “重重復(fù)復(fù)”是指這次試驗中各次試驗條件相同是指這次試驗中各次試驗條件相同 ) )， 每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A（成功成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則出現(xiàn)的次數(shù)，則nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(1)(0nkkXP（2）不難驗證：不難驗證：0)( kXP（1）稱稱r.vr

4、.vX服從參數(shù)為服從參數(shù)為n和和p的二項分布，記作的二項分布，記作 XB(n,p)當(dāng)當(dāng)n=1時，時，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱稱X服從服從0-1分布分布007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP例例3 已知已知100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中個次品，現(xiàn)從中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1個，求在所取個，求在所取的的3個中恰有個中恰有2個次品的概率個次品的概率.解解: 因為這是有放回地取因為這是有放回地取3次，因此這次，因此這3 次試驗次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗.依題意，每

5、次試驗取到次品的概率為依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設(shè)設(shè)X為所取的為所取的3個中的次品數(shù)，個中的次品數(shù)，于是，所求概率為于是，所求概率為：則則 X B (3, 0.05)，注：若注：若將本例中的將本例中的“有放回有放回”改為改為”無放無放回回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解努里概型，此時，只能用古典概型求解.00618. 0) 2(310025195CCCXP二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功成功”次數(shù)次數(shù)X的概率分布的概率分布.可以簡單地說，可以簡單地說，例例4 某類

6、燈泡使用時數(shù)在某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上小時以上的概率是的概率是0.2，求三個燈泡在使用，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率小時以后最多只有一個壞了的概率. .解解: : 設(shè)設(shè)X為三個燈泡在使用為三個燈泡在使用1000小時已小時已壞壞的燈泡數(shù)的燈泡數(shù) . X B (3, 0.8)，把觀察一個燈泡的使用把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗時數(shù)看作一次試驗,“使用到使用到1000小時已壞小時已壞”視為視為“成功成功”.每次試驗每次試驗“成功成功”的概率為的概率為0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2

7、. 0()8 . 0()(33kkkCkXP3 , 2 , 1 , 0k 對于固定對于固定n及及p，當(dāng)，當(dāng)k增增加時加時 ,概率概率P(X=k) 先是隨先是隨之增加直至之增加直至 達(dá)到最大值達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：二項分布的圖形特點： XB(n,p)當(dāng)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時，二項概不為整數(shù)時，二項概率率P(X=k)在在k=(n+1)p達(dá)到最達(dá)到最大值；大值；( x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)). . .n=10,p=0.7nPk0 對于固定對于固定n及及p，當(dāng)，當(dāng)k增增加時加時 ,概率概率P(X=k) 先是隨先是隨之增加直至之增加直至

8、達(dá)到最大值達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：二項分布的圖形特點： XB(n,p)當(dāng)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時，二項概率為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在在k=(n +1)p和和k =(n+1)p-1處處達(dá)到最大達(dá)到最大值值.n=13,p=0.5Pkn.0111)1()( knkknknkknqpCqpCkXPkXPkqpkn)1( ),2 , 1()1(1nkkqkpn kqqkpn)1 () 1( kqkqkpn )1(的的增增加加而而上上升升；隨隨著著此此時時，時時，當(dāng)當(dāng)kkXPkXPkXPpnk)()1()()1( ;),1()()1(的的增增加加而而下下降降此此時時

9、隨隨著著時時，當(dāng)當(dāng)kKXPKXPpnk 達(dá)達(dá)到到最最大大值值。時時不不是是整整數(shù)數(shù)，則則若若都都達(dá)達(dá)到到最最大大值值及及在在此此時時為為正正整整數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng))1()1(;1)1()1()(),1()(,)1(pnkpnpnpnkkXPkXPkXPpnk 想觀看二項分布的圖形隨參數(shù)想觀看二項分布的圖形隨參數(shù)n,p的的具體變化，請看演示具體變化，請看演示二項分布二項分布例例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人的維修工人 . 設(shè)共有設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若若在通常的情

10、況下，一臺設(shè)備的故障可由一在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理人來處理 . 問問: (1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？障而不能及時維修的概率是多少？ (2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？而不能及時維修的概率是多少？ (3) 若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人，至少應(yīng)配備多少工人?我們先對題目進(jìn)行分析：我們先對題目進(jìn)行分析： 300臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是0

11、.01 . 一臺設(shè)備故障一人來處理一臺設(shè)備故障一人來處理. 設(shè)設(shè)X為為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設(shè)備，獨立工作，每臺出故障概率臺設(shè)備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01 . 可看作可看作n=300的貝努利概型的貝努利概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可見，可見， “若只配備一名工人若只配備一名工人”那么只要同時發(fā)生故那么只要同時發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)障的設(shè)備的臺數(shù)X大于大于1，其中的，其中的X-1 臺設(shè)備就臺設(shè)備就會得不到及時維修。即所求為會得不到及時維修。即所求為 問問(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障

12、而不能及時維修的概率是多少？而不能及時維修的概率是多少？ 同理，同理，“若只配備兩名工人若只配備兩名工人”那么只要同時那么只要同時發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)X大于大于2即可。所求為即可。所求為)1(XP)2(XP 300臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺設(shè)備故障一人來處理一臺設(shè)備故障一人來處理. 問問(3) 需配備多少工人，若使設(shè)備發(fā)生故需配備多少工人，若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于障時不能及時維修的概率小于0.01?設(shè)設(shè)X為為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，XB(n,p)，n=300, p=0.

13、01設(shè)需配備設(shè)需配備N個工人，個工人，所求的是滿足所求的是滿足的最小的的最小的N.P(XN) N) )(1NXP 01. 0)01. 01(01. 013000300kkNkkC 通過計算可知，通過計算可知，01. 0039. 0)8( XP 則要使設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概則要使設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于率小于0.01，只需配備，只需配備8名工人，平均每人負(fù)責(zé)名工人，平均每人負(fù)責(zé)38臺。臺。若將該例改為：若將該例改為： (1)若由一人負(fù)責(zé)若由一人負(fù)責(zé)20臺設(shè)備，求這臺設(shè)備，求這20臺設(shè)備臺設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；發(fā)生故障而不能及時維修的概率； 解：解：(1)設(shè)隨機變量

14、設(shè)隨機變量X表示表示20臺設(shè)備在同一臺設(shè)備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則)01. 0 ,20( BX)1(1 XP)1(XP)1()0(1 XPXP1912020002099. 001. 099. 001. 01 CC0176. 0 (2)若由若由3人共同負(fù)責(zé)維修人共同負(fù)責(zé)維修80臺設(shè)備，求這臺設(shè)備，求這80臺設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。臺設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。 解：設(shè)隨機變量解：設(shè)隨機變量X表示表示80臺設(shè)備在同一時刻臺設(shè)備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則發(fā)生故障的臺數(shù)，則)01. 0 ,80( BX)4(1XP )4( XP)3()2()1()0(1 XP

15、XPXPXP0.0091由由(1)(2)結(jié)果，可看出后者的管理經(jīng)濟效益要結(jié)果，可看出后者的管理經(jīng)濟效益要好得多。好得多。例例6 某人去一服務(wù)單位辦事，排隊等候的時某人去一服務(wù)單位辦事，排隊等候的時間間(分鐘分鐘)為一隨機變量，設(shè)其概率密度為：為一隨機變量，設(shè)其概率密度為： 000101)(10 xxexx 若此人等候時間超過若此人等候時間超過15分鐘則憤然離去。假分鐘則憤然離去。假設(shè)此人一個月要到該服務(wù)單位辦事設(shè)此人一個月要到該服務(wù)單位辦事10次，則次，則 (1)此人恰好此人恰好 有有2 次憤然離去的概率；次憤然離去的概率； (2)此人至少有此人至少有2次憤然離去的概率；次憤然離去的概率； (

16、3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。此人多數(shù)會憤然離去的概率。解：解：”表表示示，則則“機機變變量量“此此人人憤憤然然離離去去”由由隨隨15Xdxex1015101 )15(XP223. 023 e 1510 xe 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Y表示表示“此人來服務(wù)單位辦事此人來服務(wù)單位辦事10次中憤然離去的次數(shù)次中憤然離去的次數(shù)”，則，則)223. 0 ,10( BY(1)此人恰好此人恰好 有有2 次憤然離去的概率；次憤然離去的概率；82210)223. 01(223. 0 C)2( YP即即)1()0(1 YPYP)1(YP(2)此人至少有此人至少有2次憤然離去的概率；次憤然離去的概率；91101000

17、10)223. 01(223. 0)223. 01(223. 01 CC(3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。此人多數(shù)會憤然離去的概率。)5(1 YP)5(YPkkkkC 105010)223. 01(223. 01二、二項分布的泊松近似二、二項分布的泊松近似 我們先來介紹我們先來介紹二項分布的泊松近似，二項分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近似似.kkkkkCkXPXP 30030023003002)99. 0()01. 0()() 1(或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法. 當(dāng)試驗次數(shù)當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，

18、計算二項概率變很大時，計算二項概率變得很麻煩，若得很麻煩，若 要計算要計算)01. 0 ,300( BX 定理的條件意味著當(dāng)定理的條件意味著當(dāng) n很大時，很大時，p 必定必定很小很小. 因此，泊松定理表明，當(dāng)因此，泊松定理表明，當(dāng) n 很大，很大，p 很小時有以下近似式：很小時有以下近似式：!)1 (keppCkknkkn泊松定理泊松定理設(shè)設(shè) 是一個正整數(shù)，是一個正整數(shù)， ，則有，則有, 2 , 1 , 0,!)1 (lim kkeppCkknkknn 其中其中 np (證明見下一頁證明見下一頁).np 證明：證明：np knkknknppCP )1(knknnkknnn )1()(!)1()

19、1( knknnkknnn )1()(!)1()1( knkknnnknnnk )1()1()1()1(! knknnnknnk )1()1)(11()21)(11(1 ! 時時，有有當(dāng)當(dāng)對對固固定定的的 nk,1)11()21)(11(1 nknn)()1()1( nnnn e1)1( kn knkknnnknnnk )1()1()1()1(! n 100, np 10 時近似效果就很好時近似效果就很好 請看演示請看演示二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似實際計算中，實際計算中，!)1 (keppCkknkkn其中其中 np 例例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人的維修工人 . 設(shè)共有設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理人來處理 . 問問: (1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是