正態(tài)分布概念

1、 正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal distribution) 正態(tài)分布正態(tài)分布概述概述 正態(tài)分布是描述連續(xù)型正態(tài)分布是描述連續(xù)型變量值變量值分布分布的曲線，醫(yī)學(xué)上許多資料近似服從正態(tài)的曲線，醫(yī)學(xué)上許多資料近似服從正態(tài)分布。分布。 正態(tài)分布在統(tǒng)計推斷上有重要的作用。正態(tài)分布在統(tǒng)計推斷上有重要的作用。 直方圖的頻數(shù)分布與正態(tài)分布直方圖的頻數(shù)分布與正態(tài)分布 （見圖（見圖2-4）00.020.040.060.080.10.120.1412.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.0000.020.040.060.080.10.120.1412.0

2、14.517.019.522.024.527.029.532.0圖圖2-4 頻數(shù)分布與正態(tài)分布曲線示意圖頻數(shù)分布與正態(tài)分布曲線示意圖101名正常成年女子血清膽固醇分布05101520252.302.903.504.104.705.30頻數(shù)（f ）f（X）一、正態(tài)分布的概念和特征1.正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)表達式：正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)表達式：2)(2121)(XeXfX為連續(xù)隨機變量，為連續(xù)隨機變量，為為X值的總體均數(shù)，值的總體均數(shù)，2 為總體方差，記為為總體方差，記為XN（ ， 2） (- X )X服從的概率密度函數(shù)服從的概率密度函數(shù)f（x）方差方差x“胖胖”“瘦瘦”均值均值區(qū)間區(qū)間取值概率取

3、值概率, 2 ,2 3,30.68260.95440.99743. 33. 3個特殊結(jié)論個特殊結(jié)論若若, ,則則2( ,)XN 通常服從于正態(tài)分布通常服從于正態(tài)分布N(，2)的隨機變量的隨機變量X在區(qū)間在區(qū)間(3，3)外取值的概率只有外取值的概率只有 .0.3% 1正態(tài)分布完全由參數(shù)正態(tài)分布完全由參數(shù)和和確定，因此可把正態(tài)確定，因此可把正態(tài)分布記作分布記作N(，2) 2要正確理解要正確理解，的含義若的含義若XN(，2)，則，則EX，DX2，即，即為隨機變量為隨機變量X取值的均值，取值的均值，2為為其方差其方差(1)非負性：非負性：曲線曲線 在軸的上方在軸的上方,與與x軸軸不相交不相交( (即即

4、x軸是曲線的漸近線軸是曲線的漸近線).).(2)定值性定值性:曲線曲線 與與x軸圍成的面積為軸圍成的面積為1,( )fx ,( )fx (3)對稱性：對稱性：正態(tài)曲線正態(tài)曲線關(guān)于直線關(guān)于直線 x= =對稱，對稱，曲線成曲線成“鐘形鐘形”(4)(4)單調(diào)性：單調(diào)性：在在直線直線 x= =的左邊的左邊, 曲線是上升的曲線是上升的; ;在在直線直線 x= =的右邊的右邊, 曲線是下降的曲線是下降的. .2.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)(6)幾何性幾何性:參數(shù)參數(shù)和和的統(tǒng)計意義的統(tǒng)計意義:E(x)=,曲曲線 的 位 置 由線 的 位 置 由 決 定決 定;D(x)=2,曲線的形狀曲線的形狀由由決定

5、決定. .(5)最值性最值性:當(dāng)當(dāng) x= =時時, 取得最大值取得最大值,( )fx 越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”, ,表示總體的分布越表示總體的分布越分散分散;反之反之越小越小, ,曲線越曲線越“瘦高瘦高”, ,表示總體表示總體的分布越集中的分布越集中 12 正態(tài)分布曲線下面積的含義1.表示變量值（表示變量值（x）在【）在【a-b】區(qū)間變量值】區(qū)間變量值所占全部（總體）變量值的所占全部（總體）變量值的比例或概率比例或概率(p)。2變量值在整個曲線下的面積為變量值在整個曲線下的面積為100%,或或出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為1。 例例1設(shè)設(shè)XN(1,22)，試求：，試求： (1)P(1X3

6、)；(2)P(X5) 思路點撥思路點撥首先確定首先確定1，2，然后根據(jù)三個特，然后根據(jù)三個特殊區(qū)間上的概率值求解殊區(qū)間上的概率值求解 精解詳析精解詳析因為因為XN(1,22)， 所以所以1，2. (1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.683. 一點通一點通對于正態(tài)分布對于正態(tài)分布N(，2)，由，由x是正態(tài)曲是正態(tài)曲線的對稱軸知，線的對稱軸知， (1)對任意的對任意的a，有，有P(Xa)P(Xa)； (2)P(Xx0)1P(Xx0)； (3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)答案：答案：D 例例2(8分分)在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從一服從一個正態(tài)分布，即個正態(tài)分布，即XN(90,100) (1)試求考試成績試求考試成績X位于區(qū)間位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率是多少？內(nèi)的概率是多少？ (2)若這次考試共有若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在名考生，試估計考試成績在(80,100)之間的考生大約有多少人？之間的考生大約有多少人？ 思路點撥思路點撥4某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102)，如果規(guī)定低于，如果規(guī)定低于60分為不及格，求：分為不及格，求：(1)成績不及格的學(xué)生占多少？成績不及格的學(xué)生占多少？(2)成績在成績在8090之間的學(xué)生占多少？之間的學(xué)生占多少？2