因式分解(一)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一講 因式分解(一)多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2

2、)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an

3、-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(

4、-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3

5、+b3+c3-3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3a

6、bc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解解 因?yàn)閤16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形

7、中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=

8、(x-1)(x2+x-8)解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主

9、要的是要依靠對題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

10、=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=

11、ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-

12、12分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了解 設(shè)x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)? 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先將兩個(gè)括號內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)

13、-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說明 對多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設(shè)x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說明 由本題可知，用換元法分解因

14、式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換

15、元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)

16、2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2練習(xí)一1分解因式 (2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+3233分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20第二講 因式分解(二)1雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字

17、相乘法對于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式對于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的

18、十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2

19、；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的

20、值用f(a)表示如對上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整

21、數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以

22、(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因?yàn)?的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，±為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系

23、數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x