復(fù)變函數(shù)課件1-1.

1、1課程名稱課程名稱復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)教教 材材復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論高教第三版高教第三版(鐘玉泉編鐘玉泉編)總總 學(xué)學(xué) 時(shí)時(shí)76學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)課 程 概 況2 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 8第二章 解析函數(shù) 12第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 12 第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法 10 第五章 解析函數(shù)羅朗展示與孤立奇點(diǎn) 12第六章 留數(shù)理論及其應(yīng)用 12第七章 共形映射（選學(xué)） 103 以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論，簡(jiǎn)稱函數(shù)論。課程簡(jiǎn)介4對(duì)對(duì) 象象復(fù)變函數(shù)

2、（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、5學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注中要善

3、于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。果。6背景背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛虛數(shù)數(shù)”。 直到十八世紀(jì)，直到十八世紀(jì)，

4、J.DAlembert(1717-1783)J.DAlembert(1717-1783)與與L.Euler (1707-1783)L.Euler (1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。7復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展

5、統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。學(xué)中最和諧的理論之一。 A.L.Cauchy（1789-1866)、 K.Weierstrass(1815-1897) 和和G.F.B.Riemann (1826-1866) 是這一時(shí)期的三位代表人物。是這一時(shí)期的三位代表人物。8 經(jīng)過他們

6、的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，常系統(tǒng)的理論，并深刻地滲人到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)并深刻地滲人到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)、和電學(xué)等方面也同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)、和電學(xué)等方面也有很多的應(yīng)用。有很多的應(yīng)用。 二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。并且，還開辟并且，還開辟了一些新的分支

7、，如復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、了一些新的分支，如復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)單葉解析函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論以及擬保形變換等論以及擬保形變換等9 從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問題中?，F(xiàn)在。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。10他被一些數(shù)學(xué)史學(xué)者稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾弗里德里克高斯）。歐拉是第一個(gè)使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的

8、人，例如：y = F(x) （函數(shù)的定義由萊布尼茲在1694年給出）。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一 歐拉（ Euler ，1707年4月5日1783年9月18日）是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。11法國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。1717 年11月 17 日生于巴黎，1783年10月29日卒于同地。他是圣讓勒隆教堂附近的一個(gè)棄嬰 ，被一位玻璃匠收養(yǎng)，后來這個(gè)教堂的名字就成了他的教名 。達(dá)朗貝爾在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)等許多領(lǐng)域都作達(dá)朗貝爾在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)等許多領(lǐng)域都作出了貢獻(xiàn)。其中最著名的有八卷巨著出了貢獻(xiàn)。其中最著名的有八卷巨著數(shù)學(xué)手?jǐn)?shù)學(xué)手冊(cè)冊(cè)、力學(xué)專著、力學(xué)專著動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)、23卷的

9、卷的文集文集、百科全書百科全書的序言等等的序言等等 達(dá)朗貝爾12 柯西（柯西（Cauchy），），1789年年8月月21日日出生于巴黎，死于出生于巴黎，死于1857年年5月月23日日 。在幼年時(shí)他有機(jī)會(huì)遇到在幼年時(shí)他有機(jī)會(huì)遇到拉普拉斯拉普拉斯和和拉格朗日拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們兩位大數(shù)學(xué)家。他們對(duì)他的才能十分賞識(shí)。對(duì)他的才能十分賞識(shí)。 在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，一生共著作了789篇論文和幾本書，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率。據(jù)說，法國科學(xué)院會(huì)刊創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于印刷費(fèi)用超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最

10、長(zhǎng)的只能有四頁，所以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到其它地方。 13黎曼：德國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家 。1826年9月17日生于漢諾威布列斯倫茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加 。他對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，對(duì)微分方程也有很大貢獻(xiàn)。他引入三角級(jí)數(shù)理論，從而指出積分論的方向，并奠定了近代解析數(shù)論的基礎(chǔ)，提出一系列問題；他最初引入黎曼曲面這一概念，對(duì)近代拓?fù)鋵W(xué)影響很大；在代數(shù)函數(shù)論方面，如黎曼-諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之后建立黎曼幾何學(xué)。 14 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié) 復(fù)數(shù)第二節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集 第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)第四節(jié) 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)151 復(fù)數(shù)域2 復(fù)平面3 復(fù)數(shù)的

11、模與輻角4 復(fù)數(shù)的乘冪與方根5 共軛復(fù)數(shù)6 復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)161、復(fù)數(shù)域、復(fù)數(shù)域1.1 虛單位虛單位:.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i.1 :2在實(shí)數(shù)集中無解在實(shí)數(shù)集中無解方程方程實(shí)例實(shí)例 x對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四則運(yùn)算四則運(yùn)算樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i17虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii則則是是正

12、正整整數(shù)數(shù)一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 181.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:. , 為復(fù)數(shù)或稱對(duì)于iyxzyixzRyx ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .000 , 0 , 0特別iyx時(shí)當(dāng)i-虛單位虛單位滿足：滿足：i2=-1虛部虛部記做：記做：Im z=y實(shí)部實(shí)部記做：記做：Re z=x 稱為為復(fù)數(shù)集,|RyxiyxzzC19例例1 1復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù),m )43(2mm.)2(;)1(純虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)是是imm

13、)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y則則如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù). 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且則則如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù). 140432 mmmm或或知知由由.10應(yīng)舍去應(yīng)舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有20 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛它們的實(shí)部和虛部分別相等部分別相等. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于同時(shí)等于0.說明說明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)

14、, 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就是說是說121212z =z,xxyy設(shè)：設(shè)：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小!211.3 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)1. 兩復(fù)數(shù)的和差兩復(fù)數(shù)的和差:).()(212121yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 注解：注解： 復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是乘

15、法運(yùn)算的逆運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算保持一致復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算保持一致22定理定理: 全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算做成一個(gè)數(shù)域全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算做成一個(gè)數(shù)域. .稱為復(fù)數(shù)域，用稱為復(fù)數(shù)域，用C表示表示. .1221zzzz321321)()(zzzzzz1221zzzz321321)()(zzzzzz3121321)(zzzzzzz 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 乘法交換律乘法交換律 乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律 乘法對(duì)加法的分配律乘法對(duì)加法的分配律 加法交換律加法交換律 231.1.4 4 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的

16、HamiltonHamilton( (代數(shù)對(duì)）代數(shù)對(duì)）形式的定義形式的定義1835年， Hamilton給出如下定義： 稱一個(gè)有序數(shù)對(duì)z=(x,y)為一個(gè)復(fù)數(shù)。其中x,y為實(shí)數(shù)。要注意，因?yàn)閺?fù)數(shù)是“有序數(shù)對(duì)”，所以一般地有 （x, y) （y, x) 。 (x, y)=x+iy 實(shí)部 Rez=x 虛部：Imz=y 虛單位 (0,1)=i 數(shù)零0=(0,0)=0+0 i24( ,0)0(0, ) 0(0)( , )(0,0) xxx izyi y yzx yx i y xy實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)純虛數(shù) 虛數(shù)非純虛數(shù) ( , ) ( , )(,)a bc da c b d復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算:( ,

17、) ( ,)(,)a bc dacbd bcad222222( , ) ( , )(,) ,0ac bd bc ada bc dcdcdcd252、復(fù)平面、復(fù)平面. . , , , . ),( 面面面面叫叫復(fù)復(fù)平平這這種種用用來來表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的平平軸軸叫叫虛虛軸軸或或縱縱軸軸軸軸通通常常把把橫橫軸軸叫叫實(shí)實(shí)軸軸或或用用來來表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的平平面面可可以以一一個(gè)個(gè)建建立立了了直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系因因此此對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)成成一一一一與與有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表表示示面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)可可以以用用復(fù)復(fù)平平復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)yxiyxz ),(yxz xyxyoiyxz .

18、向量 表示面上的點(diǎn)可以用復(fù)平復(fù)數(shù)oziyxz 復(fù)數(shù)的向量表示法復(fù)數(shù)的向量表示法26結(jié)論結(jié)論:xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. .273. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角3.1 模與輻角及輻角主值模與輻角及輻角主值復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)iyxz可以等同于平面中的向量，可以等同于平面中的向量，向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z的模，定義為：22|yxztanyx向量與正實(shí)軸之間的夾角 稱為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z的輻角的輻角，定義為：= A rga rcta n2yzkx kN （），arg2,(0, 1, 2,)Arg

19、zzkk 。arg zarg z我們知道非零復(fù)數(shù)有無限多個(gè)輻角，今后以表示其中的一個(gè)特定值。并稱符合條件的一個(gè)為主值主值，或稱之為，或稱之為 z 的主輻角主輻角。于是，28(0)arctan,0,0;,0,0;2arctan,0,0;arctan,0,0;0,0;arctan,0,0;argzyxyxxyyxyxyxyxxyyxyxz當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)-,當(dāng)2當(dāng)0arg,tanarctanyyzzArcxx 時(shí)表示 的主輻角它與反正切的主值注意：當(dāng)注意：當(dāng)z=0時(shí)輻角無意義。當(dāng)zarg zarctan22yx有如下關(guān)系（，）293.2 復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù) 的三角表示定義為：|(cossin

20、),|,.zzArgziArgzrzArgz .zxiy 根據(jù)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)z的模與輻角的定義以及復(fù)數(shù)的向量表示的模與輻角的定義以及復(fù)數(shù)的向量表示可以推出非零復(fù)數(shù)的三角形式，即可以推出非零復(fù)數(shù)的三角形式，即303.3 3.3 三角表示的乘法三角表示的乘法 利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法 ，設(shè)其中后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等.),sin(cos|1111ArgziArgzzz),sin(cos|2222ArgziArgzzz則有),sin()cos(|21212121ArgzArgziArgzArgzzzzz|,|2121zzzz,)(2121ArgzArgzzzArg其中

21、其中31 同理，對(duì)除法，也有：其中后一個(gè)式子也應(yīng)理解為集合相等.),sin( )cos(| / |/21212121ArgzArgziArgzArgzzzzz,)/(2121ArgzArgzzzArg|,| / |/|2121zzzz其中其中323.4 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式及運(yùn)算 , z(cossin )zricossinieiizre根據(jù)復(fù)數(shù)的模與幅角，我們用復(fù)數(shù)的三角形式來表示非零復(fù)數(shù)即有()Euler同時(shí)我們引進(jìn)著名的歐拉歐拉公式公式：則 z 上式稱為非零復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3312121122()1 2121 2()111222iiiiiiz zre rrr ezrerezrr1 212,z z

22、z z1122zzzz2(0)z 1 2121122()Argz zArgzArgzzArgArgzArgzz由指數(shù)性質(zhì)即可推得復(fù)數(shù)的乘除有由指數(shù)性質(zhì)即可推得復(fù)數(shù)的乘除有因此 其模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)模的乘積（或商），其模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)模的乘積（或商），其幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和（或差）其幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和（或差） 1z2z這說明：兩個(gè)復(fù)數(shù)，的乘積（或商），34()(cossin )ninninnzrer eri(cossin )cossinninin12nzzz此外，當(dāng)時(shí)，有1r ()DeMoiVre當(dāng)時(shí)，就得到熟知的德摩弗德摩弗公式公式： 354、復(fù)數(shù)的乘冪與方根、復(fù)數(shù)的乘冪與方根 利

23、用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：| cos()sin()nnzznArgzinArgz，則令nnzz1),sin( )cos(|nArgzinArgzzznn,sincos)sin(cosninin4.1 復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪 德摩弗公式德摩弗公式364.2 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根 進(jìn)一步，有：)1sin()1cos(|1ArgzniArgznzznn),2arg1sin()2arg1cos(|nkzninkznzn可以看到，k=0,1,2,n-1 時(shí)，可得 n 個(gè)不同的值，即 : z有有n個(gè)個(gè)n次方根次方根; 其模相同其模相同; 輻角相

24、差一個(gè)常數(shù)輻角相差一個(gè)常數(shù); 均勻分布于一個(gè)圓上均勻分布于一個(gè)圓上. 這樣，復(fù)數(shù)的乘冪可以推廣到有理數(shù)的情形這樣，復(fù)數(shù)的乘冪可以推廣到有理數(shù)的情形.37例 2 求 及 用 與 表示的式子cos3sin3cossin3cos3sin3(cossin )ii （）=3223cos3 cossin3cossinsinii323cos3cos3cossin4cos3cos233sin33cossinsin3sin4sin 解：384)1 (i),4sin4(cos21ii所以有)24(41sin)24(41cos2)1 (84kiki)216sin()216cos(2)1 (84kiki3 , 2 ,

25、 1 , 0k有四個(gè)根.例例3 求下式的所有值：解：由于39 5、共軛復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù): 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù). . , 的zz共軛復(fù)數(shù)記為. , iyxziyxz 則則若若例例4 4、.的積與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixzyixz解：解：)(yixyix 22)(yix .22yx .,的積是實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：.22yxzz即：5.1 共軛復(fù)數(shù)的定義共軛復(fù)數(shù)的定義405.2 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1),zz(2),ArgzArgz (3),zz1212(4),zzzz1212(5),z zz z112

26、22(6)()(0),zzzzz2(7),zzz(8)Re,Im22zzzzzzi(9)( , ,), ,R(a,b,c)( , ,)R a b ca b cR a b c設(shè)表示對(duì)于復(fù)數(shù)的任一有理運(yùn)算則 415.3 基本不等式基本不等式關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：|;| ) 1 (2121zzzz|;| )2(2121zzzz|;| ) 3(2121zzzz|;| )4(2121zzzz|;|Im| |,|Re| )5(zzzz.| )6(2zzz2z1z021zz 21zz 2z2z1z2z42例例5 5、 . 的形式的形式將下列復(fù)數(shù)表示為將

27、下列復(fù)數(shù)表示為iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 43例例6 6、解：解：.112 iiii計(jì)算計(jì)算iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 44例例7： 解：解：,43,55 21iziz 設(shè)設(shè). 2121 zzzz與與求求iizz435521 )43)(43()43)(55(i

28、iii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 45例例8、 解解,131 iiiz 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 46例例9、 證證, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)).Re(2 212121zzzzzz 證明證明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(

29、22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或47例例10、 設(shè)設(shè) 、 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：1z2z).Re(2|212221221zzzzzz)(|2121221zzzzzz）（證明：）（2121(zzzz21212211zzzzzzzz21212221|zzzzzz).Re(2|212221zzzz48例例11、 設(shè)設(shè) 、 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：1z2z,21212121zzzzzzzz.11zz,222111iyxziyxz證明：設(shè))()(221121iyxiyxzz則)()(2121yyixx)()(2

30、121yyixx,212211zziyxiyx49)(221121iyxiyxzz則)()(21212121xyyxiyyxx12121212()()x xy yi x yy x212211)(zziyxiyx)()()(21212121xyyxiyyxx.111111ziyxiyxz500|1 |1 |112222babababababababababababa11|1 |222222|1bbabaabababa1|1222aba0|1|122ba11baba解解：然而然而1| , 1|ba11baba例例12 12 若若試證即即51zzw1122221Im21111111111zzizzz

31、zzz zzzzzzzw2211Rezzw21Im2Imzzw zzzzzzzzw1Re21111112例例1313、求復(fù)數(shù)、求復(fù)數(shù)1z（復(fù)數(shù)）的實(shí)部、虛部和模。所以 ， 解：526、曲線的復(fù)數(shù)方程121() (01)zzt zzt 121() ()zzt zzt zRz0zzRIm0z Re0z 1z2z過 及兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為1z2z連接 及兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為 (1)、 (2)、虛軸的方程為 (3)、 (4)、R平面上以原點(diǎn)為心， 為半徑的圓周的方程為0z 為心，平面上以 為半徑的圓周的方程為R平面上實(shí)軸的方程為 (5)、 (6)、53例例14、 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：試用復(fù)數(shù)表示

32、圓的方程：, 0)(22dcybxyxayzzxzzyxz z2,2,22, 0dzzzaz).(21icb解：利用其中a,b,c,d是常數(shù).得：其中，54例例15、作出過復(fù)平面、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)上不同兩點(diǎn)a,b的直線的直線及過不共線三點(diǎn)及過不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的表示式。的圓的表示式。ab0Imabaz直線：, 0argabaz是實(shí)數(shù)，所以即abaz55例例15、作出過復(fù)平面、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)上不同兩點(diǎn)a,b的直線的直線及過不共線三點(diǎn)及過不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的表示式。的圓的表示式。0)Im(bcacbzaz圓：, 0argargbcacbzazabcz56引進(jìn)復(fù)數(shù)的

33、幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。例例16、用復(fù)數(shù)方程表示用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過兩點(diǎn)）過兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點(diǎn)）中心在點(diǎn)(0, -1), 半徑為半徑為2的圓。的圓。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t +）572)()2( izxy(z)O(0, -1)2例例17、方程方程 表示表示 什么圖形？什么圖形？3

34、)Re( z i平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的直直線線圖圖形形為為故故設(shè)設(shè)3)Re(3 )Re( )( ziyyziixyiyxiziiyxz解解3)Re( z i58作業(yè)作業(yè) 設(shè)1|0z， 證明：如果1|z，那么1100zzzz 證明：1|z，所以zz1，因此 1|1)11 (10000zzzzzzzzzz； 59附錄：附錄： 向向Hamilton 學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)Hamilton.William Rowan（威廉.羅萬.哈密兒頓，18051865）爵士，無疑是使愛爾蘭人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中享有盛益的最偉大的人物，同時(shí)也是有名望的物理學(xué)家和天文學(xué)家。他1805年生于都柏林，除了短時(shí)間外出訪問外，一生都是在這里度過

35、的。他才一歲時(shí)，被委托給一位叔叔教育，這位叔叔的熱心在于給他側(cè)重語言上的教育，不久之后，他就成了孤兒。Hamilton是個(gè)神童，3歲時(shí)能閱讀英文，5歲時(shí)能閱讀、60翻譯拉丁、希臘和希伯萊文，翻譯拉丁、希臘和希伯萊文，8 8歲就會(huì)講意大利歲就會(huì)講意大利語和法語，而且能用拉丁文描寫美麗的愛爾蘭語和法語，而且能用拉丁文描寫美麗的愛爾蘭江山，江山，1212歲就讀完了用拉丁文寫的歲就讀完了用拉丁文寫的EuclidEuclid的的幾幾何原理何原理，據(jù)說他到十三歲時(shí)就掌握了十三種，據(jù)說他到十三歲時(shí)就掌握了十三種語言。在語言。在1414歲時(shí)，有波斯大使到達(dá)他的家鄉(xiāng)都?xì)q時(shí)，有波斯大使到達(dá)他的家鄉(xiāng)都柏林訪問，他還

36、用波斯文寫了一篇?dú)g應(yīng)詞。這柏林訪問，他還用波斯文寫了一篇?dú)g應(yīng)詞。這使得他逐步喜愛上了古典文學(xué)使得他逐步喜愛上了古典文學(xué), ,沉醉于詩的寫作沉醉于詩的寫作之中之中, ,他成為當(dāng)時(shí)的偉大詩人他成為當(dāng)時(shí)的偉大詩人Willam WordsworthWillam Wordsworth的親密朋友和相互贊賞者。然而遺憾的是卻沒的親密朋友和相互贊賞者。然而遺憾的是卻沒有什么真正的成就。有什么真正的成就。61直到十五歲，哈密爾頓的興趣才轉(zhuǎn)變，愛上了數(shù)學(xué)。直到十五歲，哈密爾頓的興趣才轉(zhuǎn)變，愛上了數(shù)學(xué)。這個(gè)變化是由于他認(rèn)識(shí)美國的心算專家這個(gè)變化是由于他認(rèn)識(shí)美國的心算專家Zerah ColburnZerah Colb

37、urn( (科爾伯恩科爾伯恩) )引起的。這位計(jì)算家雖然只是個(gè)小孩子，引起的。這位計(jì)算家雖然只是個(gè)小孩子，但是他在都柏林表演了他的快速計(jì)算能力。不久之后但是他在都柏林表演了他的快速計(jì)算能力。不久之后HamiltonHamilton偶然間見到偶然間見到NewtonNewton的的通用算術(shù)通用算術(shù)的抄本，的抄本，他貪婪地讀它，然后又掌握了解析幾何和微積分，并他貪婪地讀它，然后又掌握了解析幾何和微積分，并接著讀了歐洲大陸的數(shù)學(xué)巨著。他讀了接著讀了歐洲大陸的數(shù)學(xué)巨著。他讀了LaplaceLaplace的的天天體力學(xué)體力學(xué)（Mecanique ClesteMecanique Cleste）后）后, ,指

38、出了其中的一個(gè)指出了其中的一個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤；學(xué)錯(cuò)誤；18231823年，他寫了一篇關(guān)于這件事的論文，受年，他寫了一篇關(guān)于這件事的論文，受到相當(dāng)?shù)淖⒁?，第二年，他進(jìn)了都柏林的三一學(xué)院。到相當(dāng)?shù)淖⒁猓诙?，他進(jìn)了都柏林的三一學(xué)院。HamiltonHamilton的大學(xué)經(jīng)歷也是獨(dú)一無二的。他在的大學(xué)經(jīng)歷也是獨(dú)一無二的。他在18271827年，年，當(dāng)他二十二歲還是一個(gè)大學(xué)生時(shí)，就無異當(dāng)他二十二歲還是一個(gè)大學(xué)生時(shí)，就無異62議地被任命為愛爾蘭的皇家天文學(xué)家，鄧辛克天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，和大學(xué)的天文學(xué)教授。不久之后，僅從數(shù)學(xué)理論方面，預(yù)見到二軸晶體中圓錐形的折射，后來，有物理學(xué)家們戲劇般地從試驗(yàn)上加以肯定。在物理學(xué)

39、中常見到的Hamilton的名字有Hamilton原理（最小作用量原理，1829），Hamilton數(shù)（哈數(shù)）和動(dòng)力學(xué)的HamiltonJacobi微分方程等。從1833年起，他轉(zhuǎn)而研究代數(shù)，并于631835年寫成了年寫成了共軛函數(shù)或者代數(shù)對(duì)的理論共軛函數(shù)或者代數(shù)對(duì)的理論的有價(jià)值的論文，并把它呈交給愛爾蘭科學(xué)院，的有價(jià)值的論文，并把它呈交給愛爾蘭科學(xué)院，在這篇文章中，詳細(xì)談到了形如在這篇文章中，詳細(xì)談到了形如x+iy的復(fù)數(shù)把的復(fù)數(shù)把它當(dāng)做實(shí)數(shù)對(duì)來研究，這是它當(dāng)做實(shí)數(shù)對(duì)來研究，這是Hamilton的偉大成就之一。的偉大成就之一。繼他的這篇論文之后，繼他的這篇論文之后，Hamilton用許多年的時(shí)

40、間用許多年的時(shí)間斷斷續(xù)續(xù)地考慮實(shí)數(shù)的有序三元組和有序四元組斷斷續(xù)續(xù)地考慮實(shí)數(shù)的有序三元組和有序四元組的代數(shù)，但總是在如何定義乘法，使得能夠的代數(shù)，但總是在如何定義乘法，使得能夠保持人們所熟悉的運(yùn)算率上處于困境。保持人們所熟悉的運(yùn)算率上處于困境。64最后在最后在1843年，一閃年間，他直覺地想到，要求年，一閃年間，他直覺地想到，要求的太多了，必須犧牲交換率。于是，第一個(gè)四的太多了，必須犧牲交換率。于是，第一個(gè)四元數(shù)的代數(shù)，第一個(gè)非交換代數(shù)，就這樣突然元數(shù)的代數(shù)，第一個(gè)非交換代數(shù)，就這樣突然誕生了。關(guān)于四元數(shù)，有一種說法：這是他在誕生了。關(guān)于四元數(shù)，有一種說法：這是他在經(jīng)過十年無效的苦思冥想之后，

41、當(dāng)他在黃昏前，經(jīng)過十年無效的苦思冥想之后，當(dāng)他在黃昏前，和他的妻子一道，沿著都柏林附近的皇家運(yùn)河和他的妻子一道，沿著都柏林附近的皇家運(yùn)河散步時(shí)突然想到的，并把這種想法刻在了步老散步時(shí)突然想到的，并把這種想法刻在了步老姆橋（姆橋（Broughm Bridge）的石柱上）的石柱上。在生命的最后二十年中，。在生命的最后二十年中，Hamilton花費(fèi)了大花費(fèi)了大量時(shí)間和精力推演其四元數(shù)，他認(rèn)為這將在數(shù)量時(shí)間和精力推演其四元數(shù)，他認(rèn)為這將在數(shù)學(xué)物理中引起巨大的變革，學(xué)物理中引起巨大的變革，1853年發(fā)表了他的年發(fā)表了他的偉大巨著偉大巨著論四元數(shù)論四元數(shù)（Treatise on Quaternious），

42、在這之后，他準(zhǔn)備寫一本擴(kuò)展），在這之后，他準(zhǔn)備寫一本擴(kuò)展了的四元數(shù)原理。了的四元數(shù)原理。65但不幸的是，但不幸的是，18651865年他在都柏林死于酒精中毒，據(jù)年他在都柏林死于酒精中毒，據(jù)說這是由于不愉快的婚姻帶給他的潦倒生活所致，說這是由于不愉快的婚姻帶給他的潦倒生活所致，使這項(xiàng)工作未能完成。使這項(xiàng)工作未能完成。18661866年，其遺著年，其遺著四元數(shù)的四元數(shù)的理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)出版。出版。雖然，由于后來有了美國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，耶魯雖然，由于后來有了美國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，耶魯大學(xué)的吉步斯（大學(xué)的吉步斯（Josiah Willard Gibbs 1839-1903Josiah Willard

43、 Gibbs 1839-1903）的更）的更方便的向量分析，格拉斯曼（方便的向量分析，格拉斯曼（Herman GiintherHerman Giinther Grassman Grassman）的更一般的有序）的更一般的有序n n元組，是四元數(shù)的理論元組，是四元數(shù)的理論被淹沒成為數(shù)學(xué)史上一件有趣的古董，但他在數(shù)學(xué)被淹沒成為數(shù)學(xué)史上一件有趣的古董，但他在數(shù)學(xué)史上的重要性在于：史上的重要性在于：66Hamilton1843Hamilton1843的創(chuàng)造，把代數(shù)的創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從受束縛于實(shí)數(shù)算術(shù)的傳學(xué)從受束縛于實(shí)數(shù)算術(shù)的傳統(tǒng)中解放出來，并且因而打統(tǒng)中解放出來，并且因而打開了現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘們。開了現(xiàn)

44、代抽象代數(shù)的閘們。HamiltonHamilton在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有許多貢獻(xiàn)。如矩陣論中的許多貢獻(xiàn)。如矩陣論中的HamiltonCayleyHamiltonCayley定理、方定理、方程和多項(xiàng)式；圖論中的程和多項(xiàng)式；圖論中的HamiltonHamilton博弈問題等。博弈問題等。一生共發(fā)表了一生共發(fā)表了140140余篇論文。余篇論文。67Hamilton一生受到的榮益也是很高的，他是新成立一生受到的榮益也是很高的，他是新成立的美國國家科學(xué)院選作的第一個(gè)外籍院士，的美國國家科學(xué)院選作的第一個(gè)外籍院士，1835年年被封為爵士，被封為爵士，1845年他還得到了一個(gè)罕有的榮譽(yù)年他還得到了一個(gè)罕有的榮譽(yù)那年，他參加了不列顛協(xié)會(huì)的第二次劍橋會(huì)議，