定積分的概念

1、第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分主講人：李源第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例二、定積分的定義二、定積分的定義一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負、連續(xù). 由直線x=a、x=b、Y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 如何計算其面積？abxyo

2、y=f(x)x=bx=a 在初等函數(shù)里面，我們只會計算規(guī)則圖形的面積，如長方形，圓形等。如何計算不規(guī)則圖形的面積，是我們需要解決的問題。1xix1ix-xabyo解決步驟解決步驟 :1) 分割分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點0121nna x x xxx b-= 0, 計算物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程S. (1)分割: T1=t0t1t2 * tn-1tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物體在時間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 (3)求和: (4)取極限:

3、記maxt1, t2, tn, 物體所經(jīng)過的路程為 niiitvS1)( niiitvS10)(lim 01lim()niiisvtlx=D上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限1.1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積2.變速直線運動的路程變速直線運動的路程 01lim( )niiiSx flx=D 許多問題的解決都可以化為上述特定和式的問題，將其一般化，就得到定積分的概念.1. 定積分的定義(i1, 2, n), niiixf1)( 作和maxx1, x2,xn; 在小區(qū)間xi1, xi上任取一

4、點i 記xi=xi-xi1 (i1, , n), 個分點: ax0 x1x2 xn1=曲邊梯形面積( )0,( )dbaf xf xxb 時 abbadxxfdxxf)()( 性質(zhì) 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性質(zhì) 2 babadxxfkdxxkf)()( 性質(zhì) 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性質(zhì)4 推論1 如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則 如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則 性質(zhì)5 推論2 這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以即 babadxxfdxxf| )(|)(| 性質(zhì) 4 abdxdxbaba1 bad

5、xxf0)(ab) babadxxgdxxf)()(ab) babadxxfdxxf| )(|)(|(ab) bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(| 性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)則在積分區(qū)間a b上至少存在一個點 ,使下式成立 這是因為, 由性質(zhì)6變形得 積分中值公式 由介值定理, 至少存在一點a, b, 使兩端乘以ba即得積分中值公式. baMdxxfabm)(1 baabMdxxfabm)()()(a 可把.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對因)(d)(fabxxfbaabxxfbad)(nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例3 估計積分 的值3013sindxxp+解解,sin)(xxxf 2,4 x2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx , 0 例4 估計積分 的值24sinxdxxpp)(xf在2,4 上單調(diào)下降, 22 2( )( )( ),24ff