Dimensional analysis：量綱分析

1、 Dimensional analysis is a method for helping determine how the selected variables are related and for reducing significantly the amount of the experimental data that must be collected. DA provides qualitative information about the model. Unit? mph m/s -v(t)Dimensional Analysis 量綱是物理學(xué)中的一個(gè)重要問題。它可以定性地

2、表示出物理量與基本量之間的關(guān)系； 可以有效地應(yīng)用它進(jìn)行單位換算；可以用它來檢查物理公式的正確與否；還可以通過它來推知某些物理規(guī)律。 一、單位與量綱一、單位與量綱1 1、單位、單位 數(shù)學(xué)建模的目的是解決實(shí)際問題，而實(shí)際問題中的量都有數(shù)學(xué)建模的目的是解決實(shí)際問題，而實(shí)際問題中的量都有相應(yīng)的單位。數(shù)學(xué)中純粹的數(shù)在實(shí)際問題中不具有明確的含義。相應(yīng)的單位。數(shù)學(xué)中純粹的數(shù)在實(shí)際問題中不具有明確的含義。如在實(shí)際問題中談某個(gè)長(zhǎng)度量，在關(guān)注其數(shù)值的同時(shí)還必須關(guān)如在實(shí)際問題中談某個(gè)長(zhǎng)度量，在關(guān)注其數(shù)值的同時(shí)還必須關(guān)注其單位，否則，我們便沒有把這個(gè)量完全弄清楚。但實(shí)際問注其單位，否則，我們便沒有把這個(gè)量完全弄清楚。

3、但實(shí)際問題中的諸多量并非全是相互獨(dú)立的，其中一些量能起到基本量題中的諸多量并非全是相互獨(dú)立的，其中一些量能起到基本量的作用，其它量是這些基本量的符合某種規(guī)律的組合，如速度的作用，其它量是這些基本量的符合某種規(guī)律的組合，如速度是長(zhǎng)度與時(shí)間這兩個(gè)基本量的一種規(guī)定的組合。是長(zhǎng)度與時(shí)間這兩個(gè)基本量的一種規(guī)定的組合。如果規(guī)定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。如果規(guī)定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。量綱量綱 是物理量的單位種類，又稱因次，如長(zhǎng)度、寬度、高度、是物理量的單位種類，又稱因次，如長(zhǎng)度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來度量，深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺

4、等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱( (長(zhǎng)度量綱），用長(zhǎng)度量綱），用L L表示。表示。定義定義：一組物理量，若彼此相互獨(dú)立，且其它物一組物理量，若彼此相互獨(dú)立，且其它物理量均是這些物理量的合乎某種規(guī)律的組合，理量均是這些物理量的合乎某種規(guī)律的組合，則稱這些物理量為基本物理量。則稱這些物理量為基本物理量。2 2、基本物理量、基本物理量導(dǎo)出量：由基本量通過自然規(guī)律導(dǎo)出的量。例如：導(dǎo)出量：由基本量通過自然規(guī)律導(dǎo)出的量。例如：速度、加速度、力、速度、加速度、力、定義：一物理量與基本物理量之間的規(guī)定關(guān)系，稱定義：一物理量與基本物理量之間的規(guī)定關(guān)

5、系，稱為該量的量綱。這種規(guī)定關(guān)系常為該量的量綱。這種規(guī)定關(guān)系常，因此也稱為量綱積。即任一物理，因此也稱為量綱積。即任一物理量量Q的量綱皆可表示成的量綱皆可表示成Q=LM TIJN其中，其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量綱；是基本物理量的量綱；稱量綱指數(shù)均為稱量綱指數(shù)均為0 0的物理量為無量綱量。的物理量為無量綱量。基本物理量 名稱 量綱 單位 符號(hào) 長(zhǎng)度 L 米 m 質(zhì)量 M 千克 kg 時(shí)間 T 秒 s電流強(qiáng)度 I 安培 A 溫度 開爾文 K 光強(qiáng) J 坎德拉 cd物質(zhì)的量 N 摩爾 mol, , , , , , , , , , , , 稱為量綱指數(shù)。稱為量綱指數(shù)?；玖?導(dǎo)出量一

6、個(gè)物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系得到，前者互為獨(dú)立的物理量。基本量個(gè)數(shù)取基本量綱個(gè)數(shù)，所取定的基本量必須包括三個(gè)基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。 如、v 、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L 、M 、T這三個(gè)基本量綱，而a 、v 、l就不能構(gòu)成基本量，因?yàn)椴话玖烤VM。物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加

7、速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無量綱量對(duì)無量綱量 ， =1(=L0M0T0)=fl2m-2=L3M-1T-24 4、量綱與單位的關(guān)系、量綱與單位的關(guān)系1 1）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基本物理量間的關(guān)系。本物理量間的關(guān)系。2 2）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有多個(gè)。）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有多個(gè)。)./(),/()/(,1hkmskmsmLT還可以是也可以是但其單位可以是如速度的量綱是3 3）、有的量可以沒

8、有量綱，但它可能有單位。如角度）、有的量可以沒有量綱，但它可能有單位。如角度4 4）、物理量的量綱及其相互關(guān)系反映了各量之間的內(nèi)在屬）、物理量的量綱及其相互關(guān)系反映了各量之間的內(nèi)在屬性，這是量綱關(guān)系能用于建立數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)。性，這是量綱關(guān)系能用于建立數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)。量綱分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用量綱分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用假設(shè)假設(shè)任務(wù)任務(wù)Ex：A simple pendulum)1 (321glmt 321glmt lmgmwhat is the expression of the period t ?Assume t, m, l, g2/ 12/ 10321gltglt2Result332

9、12TLMT12003321設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)

10、基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqq

11、qfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(32111221221313glvlsg lf11,0,220,2,0,1,3, 1,Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本解個(gè)基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本解個(gè)基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個(gè)無量綱量個(gè)無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式的顯式表

12、達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf四、案例原子彈爆炸的能量估計(jì)四、案例原子彈爆炸的能量估計(jì)1 1、問題的提出、問題的提出 19451945年年7 7月月1616日，美國(guó)科學(xué)家在墨西哥州阿拉日，美國(guó)科學(xué)家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠進(jìn)行了莫戈多沙漠進(jìn)行了“三位一體實(shí)驗(yàn)三位一體實(shí)驗(yàn)”，試爆了全球，試爆了全球第一顆原子彈。人們想了解這次爆炸的威力究竟有第一顆原子彈。人們想了解這次爆炸的威力究竟有多大。英國(guó)物理學(xué)家多大。英國(guó)物理學(xué)家Taylor(1886-1975

13、)Taylor(1886-1975)通過研究通過研究爆炸時(shí)的錄像帶，建立數(shù)學(xué)模型對(duì)這次爆炸所釋放爆炸時(shí)的錄像帶，建立數(shù)學(xué)模型對(duì)這次爆炸所釋放的能量進(jìn)行了估計(jì)，得到的結(jié)果為的能量進(jìn)行了估計(jì)，得到的結(jié)果為19.219.2千噸。這次千噸。這次爆炸所釋放的實(shí)際能量為爆炸所釋放的實(shí)際能量為2121千噸。千噸。 那么，那么，TaylorTaylor是如何對(duì)是如何對(duì)原子彈爆炸的能量進(jìn)行原子彈爆炸的能量進(jìn)行估計(jì)的呢？估計(jì)的呢？ TaylorTaylor認(rèn)為，爆炸的能量與爆炸形成的認(rèn)為，爆炸的能量與爆炸形成的“蘑菇蘑菇云云”半徑大小有關(guān)，他根據(jù)錄影帶，測(cè)出不同時(shí)刻半徑大小有關(guān)，他根據(jù)錄影帶，測(cè)出不同時(shí)刻爆炸所產(chǎn)

14、生的爆炸所產(chǎn)生的“蘑菇云蘑菇云”半徑見下表。半徑見下表。 表1 時(shí)刻t(ms)所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”半徑r(m) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t)0.10 11.10.80 34.2 1.50 44.43.53 61.115.0 106.50.24 19.90.94 36.31.65 46.03.80 62.925.0 130.00.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.00.52 28.81.22 41.01.93 48.74.34 65.653.0 175.00.66 31.91.36 42.83.26 59.

15、04.61 67.362.0 185.02、建立數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)模型 TaylorTaylor建立計(jì)算建立計(jì)算爆炸能量的數(shù)學(xué)模型所采用的是爆炸能量的數(shù)學(xué)模型所采用的是量綱分析法。記爆炸能量為量綱分析法。記爆炸能量為E E，將，將“蘑菇云蘑菇云”半徑近半徑近似看成一個(gè)球形。除時(shí)刻似看成一個(gè)球形。除時(shí)刻t t和能量和能量E E外，外， 與與“蘑菇云蘑菇云”半徑半徑r r有關(guān)的物理量還可能有有關(guān)的物理量還可能有“蘑菇云蘑菇云” ” 周圍的空周圍的空氣密度（記為氣密度（記為 ）和大氣壓強(qiáng)）和大氣壓強(qiáng)P P，將要尋求的關(guān)系為：，將要尋求的關(guān)系為：) 1 (),(pEtr記作更一般的形式 )2(0),(

16、pEtrf21322 , , , ,MTLPMLMTLETtLr20210111001320153A 取3個(gè)基本量綱：長(zhǎng)度L，質(zhì)量M和時(shí)間T，（2）中各個(gè)物理量的量綱分別是 由此得到量綱矩陣為齊次方程 Ay=0的基本解為TTyy) 1 , 5/3, 5/2, 5/6 , 0()0 , 5/1 , 5/1, 5/2, 1 ( 根據(jù)量綱分析的Bucking-ham Pi定理，由這2個(gè)基本解可以得到2個(gè)無量綱量2/51/51/51/512656/52/53/51/5223()()rtErt Et PrEPE（3）（4） 1212且存在某個(gè)函數(shù)F使得 F(,)=0與（2）等價(jià)。?。?）的特殊形式= (

17、)，由（3）（4）有（5）651/51/52232651/51/523()()()()t Prt EEt Et PrE于是（6）3 3、數(shù)值計(jì)算、數(shù)值計(jì)算 為了利用表為了利用表1中中t和和r的數(shù)據(jù)由（的數(shù)據(jù)由（6）確定原子彈爆炸的能）確定原子彈爆炸的能量量E，必先估計(jì)，必先估計(jì) 的大小。的大小。 2（）651/5223()01t PTaylorE認(rèn)為，建議（0）21/5()t Er由（6）有（7）P上式表明，半徑與大氣壓強(qiáng) 無關(guān)，而當(dāng)E， 一定時(shí)2 /5rt與成正比。現(xiàn)檢驗(yàn)這個(gè)關(guān)系，設(shè)brat（8） 其中其中 是待定系數(shù)，對(duì)（是待定系數(shù)，對(duì)（8 8）取對(duì)數(shù)后用線性最?。┤?duì)數(shù)后用線性最小二乘擬

18、合，根據(jù)表二乘擬合，根據(jù)表1 1中中t t和和r r的數(shù)據(jù)得到的數(shù)據(jù)得到, a b0.4052b 2量綱分析得到的結(jié)果一致5101010,51logloglog ()(9)22Ert3為了由（7）和表1的數(shù)據(jù)估計(jì)E，Taylor對(duì)（8）兩邊取對(duì)數(shù)作線性最小二乘擬合，取 1.25kg/m 有xc10101051,log,log,log ( )(10)22Eyc yrx xt c6.9038c 138.0276 10cE由 和 容易算出焦耳1214.184 10千噸TNT的核子能量焦耳原子彈爆炸原子彈爆炸的能量是的能量是19.1863千噸千噸原子彈爆炸能量的實(shí)際值原子彈爆炸能量的實(shí)際值21千噸千噸

19、基本一致基本一致建模實(shí)例：空間點(diǎn)熱源的擴(kuò)散問題建模實(shí)例：空間點(diǎn)熱源的擴(kuò)散問題。一、問題的提出一、問題的提出設(shè)初始時(shí)刻設(shè)初始時(shí)刻(t=0)(t=0)在空間中有一熱量為在空間中有一熱量為e e的瞬時(shí)熱源位的瞬時(shí)熱源位于原點(diǎn)處于原點(diǎn)處(r=0),(r=0),熱量通過介質(zhì)向無窮遠(yuǎn)空間擴(kuò)散，試熱量通過介質(zhì)向無窮遠(yuǎn)空間擴(kuò)散，試研究點(diǎn)熱源的擴(kuò)散規(guī)律。研究點(diǎn)熱源的擴(kuò)散規(guī)律。二、模型假設(shè)二、模型假設(shè)1.1.任意時(shí)刻任意時(shí)刻t,t,空間任意一點(diǎn)空間任意一點(diǎn)( (徑向距離為徑向距離為r)r)的溫度是的溫度是u u。2 2、介質(zhì)的初始溫度為、介質(zhì)的初始溫度為0 0。3 3、問題的基本量綱為長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)、問題的基本量

20、綱為長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間和溫度的量綱；即間和溫度的量綱；即L,M,T,u=L,M,T,u=。三、模型的建立三、模型的建立 空間任意一點(diǎn)的溫度為空間任意一點(diǎn)的溫度為u=u(r,t,e,c,k)u=u(r,t,e,c,k)其中其中c c為介質(zhì)的體積比熱，即單位體積的介為介質(zhì)的體積比熱，即單位體積的介質(zhì)溫度升高一度所需熱量。質(zhì)溫度升高一度所需熱量。K K為介質(zhì)的熱擴(kuò)為介質(zhì)的熱擴(kuò)散系數(shù)，即由散系數(shù)，即由q=-kq=-ku/ru/r確定（確定（q q是單位時(shí)是單位時(shí)間通過單位面積的熱量）。間通過單位面積的熱量）。據(jù)據(jù)Buckingham PiBuckingham Pi定理設(shè)定理設(shè)f(u,r,t,e,c,k)=0f(u,r,t,e,c,k)=0r=l,t=T,e=Lr=l,t=T,e=L2 2MTMT-2-2為熱量為熱量e e的量綱，的量綱，c = e/Lc = e/L3 3u= Lu= L-1.-1.M M. .T T-2.-2.-1-1 k=Lk=L. .M M. .T T-3.-3.-1-12,TLerukqLLuru1322LMTTLeLTL