積分變換第1-2節(jié)

1、積分變換積分變換第一章 Fourier變換 1.1 Fourier積分 但全直線上的非周期函數(shù)沒(méi)有但全直線上的非周期函數(shù)沒(méi)有FourierFourier級(jí)級(jí) 數(shù)表示；數(shù)表示； 引進(jìn)類似于引進(jìn)類似于FourierFourier級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的FourierFourier積積分分 ( (周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限形式周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限形式) )復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 周期函數(shù)在一定條件下可以展開(kāi)為周期函數(shù)在一定條件下可以展開(kāi)為 FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)；最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j), 其中其中w=2p/T研究周期函數(shù)研究周期函數(shù) fT(t

2、) ,如果在區(qū)間如果在區(qū)間-T/2,T/2上滿足上滿足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)條件條件:1. 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2.只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn).那么在區(qū)間那么在區(qū)間-T/2,T/2上就可以展成上就可以展成Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).t由高數(shù)可知由高數(shù)可知, , 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:22010( )(cossin) (1.1)2( )2dTTTnnnTafttTaftan tbn twwww- - 其中222( )cosdTTnTaftn t

3、tTw w- - 222( )sindTTnTbftn ttTw w- - 1.2 Fourier變換變換1. Fourier變換的概念變換的概念我們知道我們知道, , 若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件滿足傅氏積分定理的條件, , 則在則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處, , 有有jj1( )( )eded(1.7)2tf tfwwwwwwp p- - (1.8)式叫做式叫做f(t)的的Fourier變換式變換式, , (1.9)式為式為F(w w)的的Fourier逆變換式逆變換式, , f(t)與與F(w w)可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換, ,可記為可記為F(w w)= f(t) 和和 f

4、(t)= -1F(w w)jj1( )( )( )ed( )ed(1.9)21.8)ttfFFf tttw ww wwwwww wp p- - - - - 設(shè)設(shè)則則還可以將還可以將f(t)放在左端放在左端, , F(w w)放在右端放在右端, , 中間用雙中間用雙向箭頭連接向箭頭連接: : f(t) F(w w) (1.8)式右端的積分運(yùn)算式右端的積分運(yùn)算, , 叫做叫做f(t)的的Fourier變換變換, , 同樣同樣, (1.9)式右端的積分運(yùn)算式右端的積分運(yùn)算, , 叫做叫做F(w w)的的Fourier逆變換逆變換. . F(w w)稱作稱作f(t)的的象函數(shù)象函數(shù), f(t)稱作稱作

5、F(w w)的的象原函數(shù)象原函數(shù).可以說(shuō)象函數(shù)可以說(shuō)象函數(shù)F(w w)和象原函數(shù)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個(gè)構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì)變換對(duì). .wpwwdedeftjj-)(21傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在(- - , + )上滿足條件上滿足條件: : 1. f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2.f(t)在無(wú)限區(qū)間在無(wú)限區(qū)間(- - , + )上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積, , 則有則有(,)|( )|df tt- - 在在絕絕對(duì)對(duì)可可積積是是指指的的收收斂斂. . 為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)( )(0)(0)2f ttf tf tt-0,

6、02( )e,00.( ).ttf ttf t - - FourierFourier, , ,求求函函數(shù)數(shù)的的變變換換及及其其積積分分表表達(dá)達(dá)式式 其其中中這這個(gè)個(gè)叫叫做做指指數(shù)數(shù)衰衰減減函函數(shù)數(shù) 是是工工程程技技術(shù)術(shù)中中常常碰碰到到的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)例例tf(t)根據(jù)根據(jù)(1.8)式式, , 有有j0eedtttww- (j)0edttww- 這就是指數(shù)衰減函數(shù)的這就是指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換變換.221jjwwwwww- -= ( )Fw( )f t( )j tf t edtw w - - - 根據(jù)根據(jù)(1.9)式式, 有有j221jed2tw wwww wpwpw- - 220

7、1cossindttwwwwwww wpwpw 22000cossind/20e0tttttt wwwwwwwpwpwwp p- - 因因此此( )f t= 1( )Fw-1( )2j tFedw wwwwwp p- 問(wèn)題的提出 定定義義于于 ，而而不不必必考考慮慮時(shí)時(shí)取取值值的的函函數(shù)數(shù)；絕絕對(duì)對(duì)可可積積的的條條件件太太強(qiáng)強(qiáng)。許許多多簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單函函數(shù)數(shù)的的傅傅氏氏變變換換或或者者不不存存在在，或或者者為為非非常常義義下下的的廣廣義義函函數(shù)數(shù)給給應(yīng)應(yīng)用用帶帶來(lái)來(lái)很很大大的的不不方方便便。(1)0),0(2)t 對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)),(tj使其進(jìn)行Fourier變換時(shí)克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)？能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)?/p>

8、改造 因此因此, , 幾乎所有的實(shí)用函數(shù)幾乎所有的實(shí)用函數(shù)j j(t)乘上乘上u(t)再乘再乘上上e- t后得到的后得到的j j( (t) )u(t)e- t傅氏變換都存在傅氏變換都存在. . 首先將首先將j j(t) 乘上乘上u(t), 這樣這樣t小于零的部分的小于零的部分的函數(shù)值就都等于函數(shù)值就都等于0了了. 而大家知道在各種函數(shù)中而大家知道在各種函數(shù)中, , 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e t ( 0)的上升速度是很快的了的上升速度是很快的了, , 因而因而e- t下降的速度也下降的速度也是很快的是很快的. .tf (t)Otf (t)u(t)e- - tO對(duì)對(duì)函數(shù)函數(shù)j j(t)u(t)e- -

9、t( 0)取傅氏變換取傅氏變換, , 可得可得j( )( ) ( )eedttGt u ttww wjwj- (j)00( )ed( )edtstf ttf ttww-其其中中j,( )( ) ( )sf tt u twjwj若若再再設(shè)設(shè)( )jsF sG - - 則則得得0( )( )edstF sf tt- - 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)有定義時(shí)有定義, , 而且積分而且積分是是一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)參參量量0( )ed()stf tts- - 0( )( )ed(2.1)stF sf tt- - 在在s的某一域內(nèi)收斂的某一域內(nèi)收斂, , 則由此積分所確定的函數(shù)可寫則由此積分所確定的

10、函數(shù)可寫為為稱此式為函數(shù)稱此式為函數(shù)f(t)的的Laplace變換式變換式( (簡(jiǎn)稱拉氏變換式簡(jiǎn)稱拉氏變換式), ), 記為記為F(s)= f(t)F(s)稱為稱為f(t)的的Laplace變換變換( (或稱為或稱為象函數(shù)象函數(shù)). ). 而而f(t)稱為稱為F(s)的的Laplace逆變換逆變換( (或或象原函數(shù)象原函數(shù)) )記為記為f(t)= - -1F(s)注注：的的變變換換，實(shí)實(shí)際際上上就就是是的的變變換換。( )(0)( ) ( )tf t tLaplacef t u t eFourier - - 例例1 1 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)的的變變換換00( )10tu tLaplac

11、et . .0 ( )edstu tt- - 解解: : 根據(jù)拉氏變換的定義根據(jù)拉氏變換的定義, , 有有這個(gè)積分在這個(gè)積分在Re(s)0時(shí)收斂時(shí)收斂, , 而且有而且有011ede.0ststtss- - - 1 ( )(Re( )0)u tss ( ( ) )1u ts所以例例2 2 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)).根據(jù)根據(jù)(2.1)式式, , 有有()00 ( )e ededktsts k tf ttt-()011e(Re( ).s k tsksksk-其實(shí)其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立, , 只是收斂區(qū)間為只是收斂區(qū)間為 Re(s

12、) Re(k).).1ktesk- - 例例3 求求 f(t)=sinkt (k為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)) ) 的拉氏變換的拉氏變換. .0sinsinedstktktt- - jj01(ee)ed2jktktstt- ( () )(j )(j )00jeded2sk tsk ttt- -(j )(j )00j112jjsk tsk teesksk-22j112j(R ( )0)je sksksksk- - 解：解： 22sinkktsk 在今后的實(shí)際工作中在今后的實(shí)際工作中, , 我們并不要求用廣義我們并不要求用廣義積分的方法來(lái)求函數(shù)的拉氏和積分的方法來(lái)求函數(shù)的拉氏和FourierFourier變換變換

13、, , 有有現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查, , 就如同使用三角就如同使用三角函數(shù)表函數(shù)表, , 對(duì)數(shù)表及積分表一樣對(duì)數(shù)表及積分表一樣. . 本書已將工程實(shí)本書已將工程實(shí)際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于附錄中附錄中, , 以備查詢以備查詢. . 在物理學(xué)和工程技術(shù)中在物理學(xué)和工程技術(shù)中, , 有許多重要函數(shù)不滿足有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件, , 即不滿足條件即不滿足條件|( )|df tt- 一種改進(jìn)思路是轉(zhuǎn)換為一種改進(jìn)思路是轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)aplaceLaplace求，但例如常

14、數(shù)求，但例如常數(shù), , 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù), , 以及正以及正, , 余弦函數(shù)等余弦函數(shù)等, , 我們希望其我們希望其能正確地反應(yīng)出頻率的特性能正確地反應(yīng)出頻率的特性, , 因此引入了單位因此引入了單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換變換. . 1.2 Fourier變換變換 2. 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 在物理和工程技術(shù)中在物理和工程技術(shù)中, , 常常會(huì)碰到單位脈沖函常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù)數(shù). . 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì)因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), , 如在電如在電學(xué)中學(xué)中, , 要研究線性電路受具有脈沖

15、性質(zhì)的電勢(shì)作要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流用后產(chǎn)生的電流; ; 在力學(xué)中在力學(xué)中, , 要研究機(jī)械系統(tǒng)受要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等. . 研究此類問(wèn)題就會(huì)研究此類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù). . 工程上將工程上將d-函數(shù)稱為函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù), , 可將可將d-函數(shù)函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示的有向線段表示, , 這個(gè)線段的長(zhǎng)這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示度表示d-函數(shù)的積分值函數(shù)的積分值, , 稱為稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度函數(shù)的強(qiáng)度. .tOd(t)1稱稱de(t)的弱極限為的弱極

16、限為d-函數(shù)函數(shù), , 記為記為d(t).即即0( ) ( )( ),dlim( ) ( )d(0)對(duì)任意的無(wú)窮次可微函數(shù)若對(duì)任意的無(wú)窮次可微函數(shù)若t f ttt fff ttte ee edddd-1/0( )0tte eeeeed d 其其中中其其它它de(t)1/eeO0lim()()tte ee ed dd d d-函數(shù)有性質(zhì)函數(shù)有性質(zhì):00( )d1( ) ( )d(0)() ( )d( )ttt f ttfttf ttf td dd dd d- - 及及( ) ( )lim( ) ( )t f t dtt f t dte ee edddd- 0 0lim( )lim( )f t d

17、tf t dteeeeeeeeeeee000000001111(1)(1)篩選性質(zhì)篩選性質(zhì)事實(shí)上f(t)是連續(xù)函數(shù)，按積分中值定理知：eeee)(lim0f)0(f=（2 2）( ) td d( ( ) )td d 則有則有為無(wú)窮次可微的函數(shù)，為無(wú)窮次可微的函數(shù)，若若)()4(tf函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù), ,即即()( )ttd dd d- - （3 3）( )tt dtd d- - ( ( ) )u t 其中其中, 10( )00tu tt 稱為單位階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù). .反之反之, ,有有 ( )du tdt( ) ( )(0)t f t dtfd d- - - 一般地，有一般地，

18、有( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnt f t dtfd d- - - d-函數(shù)的Fourier變換為:于是常數(shù)1 與d (t)構(gòu)成了一Fourier變換對(duì).證法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆變換可得j01( )2( )ed12tj tf tewwwww wpd wwpd wwp p - .例1 證明：2pd (w) 和1構(gòu)成Fourier變換對(duì)證法1：= ( )Fw)(td( )j tt edtw wd d- - 01j ttew w- - = ( ) td d 1 1-12j tedw ww wp p- 2( )j tedtw ww wp pd d - - 1j tedtw w- - ts-2( )j sedsw