數(shù)字信號的最佳接收(8.1)

1、1 12 23 3 一、引言一、引言 一個通信系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)劣在很大程度上取決于一個通信系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)劣在很大程度上取決于接收系統(tǒng)的性接收系統(tǒng)的性能能。影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩貙⒅苯幼饔玫浇邮斩?，對信號。影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩貙⒅苯幼饔玫浇邮斩?，對信號接收產(chǎn)生影響。因此就涉及到接收產(chǎn)生影響。因此就涉及到最佳接收最佳接收或或信號接收最佳化信號接收最佳化的問題。的問題。 最佳接收理論，是在某個準(zhǔn)則意義下的一個相對概念，是相最佳接收理論，是在某個準(zhǔn)則意義下的一個相對概念，是相對的，而不是絕對的。對的，而不是絕對的。 最佳接收理論又稱為信號檢測理論，它涉及到的主要問題包最佳接收理論又稱為信號檢測理論

2、，它涉及到的主要問題包括兩個方面括兩個方面：（：（1 1）從噪聲中判決有用信號是否出現(xiàn)；（）從噪聲中判決有用信號是否出現(xiàn)；（2 2）從噪）從噪聲中測量有用信號的參數(shù)。聲中測量有用信號的參數(shù)。 數(shù)字通信中的統(tǒng)計判決問題是針對第一個問題，即數(shù)字通信中的統(tǒng)計判決問題是針對第一個問題，即假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗問題問題，因此又稱數(shù)字信號最佳接收。而后一問題是，因此又稱數(shù)字信號最佳接收。而后一問題是參量估值問題參量估值問題。4 4 二、二、 統(tǒng)計描述與最佳接收準(zhǔn)則統(tǒng)計描述與最佳接收準(zhǔn)則 數(shù)字信號的接收是一個統(tǒng)計判決的問題。數(shù)字信號的接收是一個統(tǒng)計判決的問題。原因：一方面，哪個信號被發(fā)送，對接收方來說是一無所知的

3、。原因：一方面，哪個信號被發(fā)送，對接收方來說是一無所知的。 另一方面，即使預(yù)知某一信號被發(fā)送了，但由于信號在傳另一方面，即使預(yù)知某一信號被發(fā)送了，但由于信號在傳輸過程中可能發(fā)生各種畸變和混入各種噪聲，也會使接收方對收輸過程中可能發(fā)生各種畸變和混入各種噪聲，也會使接收方對收到的信號產(chǎn)生懷疑。到的信號產(chǎn)生懷疑。 但是從概率論的觀點看，任何隨機因素總是遵循某種統(tǒng)計但是從概率論的觀點看，任何隨機因素總是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律性的。因此我們可以從已掌握接收波形的統(tǒng)計資料，利用統(tǒng)規(guī)律性的。因此我們可以從已掌握接收波形的統(tǒng)計資料，利用統(tǒng)計的方法，即統(tǒng)計判決法來獲得滿意的接收效果。計的方法，即統(tǒng)計判決法來獲得滿意的

4、接收效果。5 5 0 0T TS S期間，期間，k k個高斯噪聲采樣值的聯(lián)合概率密度函數(shù)個高斯噪聲采樣值的聯(lián)合概率密度函數(shù) ( (* *) )ISnXR判決規(guī)則+消消息息空空間間信信號號空空間間噪噪聲聲空空間間觀觀測測空空間間判判決決空空間間x xy yr rkiinknkknnfnfnfnnnfnf122212121exp21)().()(),.,()(6 6 高斯均值為零，噪聲統(tǒng)計平均功率高斯均值為零，噪聲統(tǒng)計平均功率 對帶限信號對帶限信號S(t)S(t)，若截止頻率為若截止頻率為f fH H，則則f fS S = 2f = 2fH H，噪聲平均功率噪聲平均功率 令令 代入（代入（* *）

5、式得：）式得：2nkiiSHkiinTfnkN12120211Hft21dttnTtnTNSTSkiiS02120)(11SSTknTnHkndttnndttnfnf020022)(1exp21)(22exp21)(7 7 當(dāng)發(fā)送信號為當(dāng)發(fā)送信號為S Si i(t)(t)，i i1 1，2 2，,m,m，時，接收信號時，接收信號 y(t) = S i(t)+ n(t) 可得可得y(t)y(t)的條件概率密度函數(shù)為：的條件概率密度函數(shù)為： 其中其中 i i1 1，2 2，,m,m。 n n0 0= =n n2 2/f/fH H為單位頻率上的噪聲功率，即噪聲功率譜密度。為單位頻率上的噪聲功率，即噪

6、聲功率譜密度。 可以證明，只要知道了發(fā)送信號可以證明，只要知道了發(fā)送信號s si i的先驗概率分布的先驗概率分布P(s)P(s)和和出現(xiàn)信號出現(xiàn)信號s si i的條件下的的條件下的y y的概率密度，則數(shù)字信號在一定判決準(zhǔn)的概率密度，則數(shù)字信號在一定判決準(zhǔn)則下可以得到最佳接收。則下可以得到最佳接收。STiknSidttstynyf020)()(1exp)2(1)(8 8 ：在數(shù)字通信中，最直觀、最合理的準(zhǔn)則是：在數(shù)字通信中，最直觀、最合理的準(zhǔn)則是“最小錯誤概率最小錯誤概率”。 對二進制信號，設(shè)在一個碼元周期內(nèi)：對二進制信號，設(shè)在一個碼元周期內(nèi)：S S1 1(t)=a(t)=a1 1，S S2 2

7、(t)=a(t)=a2 2，則則 , , i= 1,2i= 1,2SiTiknSdtatxnxf020)(1exp21)(f fS S1 1( (x x) )f fS S2 2( (x x) )V VT Ta a1 1a a2 2x xy(t) - ai9 9 設(shè)發(fā)送設(shè)發(fā)送s s1 1和和s s2 2的先驗概率分別為的先驗概率分別為P(sP(s1 1) )、P(sP(s2 2) )若判決門限設(shè)為若判決門限設(shè)為V VT T 發(fā)發(fā)S S1 1判為判為S S2 2的概率的概率 發(fā)發(fā)S S2 2判為判為S S1 1的概率的概率 則總的錯判的概率為：則總的錯判的概率為： 求使求使P Pe e達(dá)到最小的達(dá)

8、到最小的V VT T，令令 理論上，求解上式，可獲得理論上，求解上式，可獲得 最佳的判決門限最佳的判決門限。 TVSSdxxfSP)()(112TVSSdxxfSP)()(221)()()()(122121SPSPSPSPPSSe0)()()()(, 02121TSTSTeVfSPVfSPVP得：1010 利用似然判決法，可不必求解利用似然判決法，可不必求解V VT T而獲得最佳判決結(jié)果。而獲得最佳判決結(jié)果。 稱稱 為為： 為為。 當(dāng)當(dāng)y yi i V VT T時，必有：時，必有： 由此可得另一判決準(zhǔn)則：由此可得另一判決準(zhǔn)則： 若若 ，判為，判為S S1 1 ，反之，判為反之，判為S S2 2

9、 每一觀測值都可用上述準(zhǔn)則來判決，該準(zhǔn)則稱為每一觀測值都可用上述準(zhǔn)則來判決，該準(zhǔn)則稱為。若若P(sP(s1 1)=P(s)=P(s2 2),),則上式變?yōu)椋簞t上式變?yōu)椋?即判決規(guī)則成為比較即判決規(guī)則成為比較f fs1s1(y)(y)及及f fs2s2(y)(y)哪個大就判為哪個，常稱為哪個大就判為哪個，常稱為，它是似然比準(zhǔn)則的特例。，它是似然比準(zhǔn)則的特例。)()(21xfxfSS，)()(21xfxfSS)()()()(1221spspyfyfSS)()()()(1221spspVfVfTSTS。；反之，判為則判為s2 s1, 1)()(21yfyfss11 11 2 2 還可根據(jù)聯(lián)合概率密度

10、用下述準(zhǔn)則來判決：還可根據(jù)聯(lián)合概率密度用下述準(zhǔn)則來判決： 由聯(lián)合概率定理：由聯(lián)合概率定理：P(sP(si i)f)fsisi(y)=P(y)f(y)=P(y)fy y(s(si i) ) 即：即： f fy y(s(s1 1)=P(s)=P(s1 1)f)fs1s1(y)/P(y) , f(y)/P(y) , fy y(s(s2 2)=P(s)=P(s2 2)f)fs2s2(y)/P(y)(y)/P(y) 得：得： f fy y(s(s1 1) f) fy y(s(s2 2),),判為判為r1r1； f fy y(s(s1 1)f) bKT bKTS S 判為判為s s1 1 ，否否則判為則判

11、為s s2 2，比較完后立刻將積分器的積分值清除，故積分器實為比較完后立刻將積分器的積分值清除，故積分器實為積分清除器。比較器是在時刻積分清除器。比較器是在時刻t=Tt=T進行比較的，可以理解為抽樣進行比較的，可以理解為抽樣判決電路。判決電路。 （3 3）位同步信號位同步信號cp (t) cp (t) 由位同步器提取，位同步由位同步器提取，位同步器輸入信號來自器輸入信號來自y(t)y(t)或乘法器?；虺朔ㄆ?。 1616 設(shè)二進制設(shè)二進制FSKFSK信號最佳接收機的結(jié)構(gòu)如圖信號最佳接收機的結(jié)構(gòu)如圖, , 設(shè)信號先驗等概設(shè)信號先驗等概 其中其中: : s s1 1(t) = Asin(t) = A

12、sin 1 1t, 0 t, 0 t t T ; T ; s s2 2(t) = Asin(t) = Asin 2 2t, 0 t, 0 t t T ; T ; 且且 2 2 = 4 = 4 / /T T， 1 1 =2 =2 2 2 畫出圖中畫出圖中a a，b b，c c和和d d中各點的波形。中各點的波形。 XX積分積分比較y(t)s1(t)s2(t)outputabcd1717 T2T3T0y(t)abcs1(t)s2(t)s2(t)d1818 最佳接收機可以按照最佳接收機可以按照“似然比準(zhǔn)則似然比準(zhǔn)則”或或“最大似然準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則”構(gòu)成。經(jīng)構(gòu)成。經(jīng)證明可知，這樣的接收機都能達(dá)到證明可

13、知，這樣的接收機都能達(dá)到“最小差錯概率最小差錯概率”的極限。這個極的極限。這個極限有多少？限有多少？ 這個問題就是來確定最佳接收機的性能的問題。我們可以通過求系這個問題就是來確定最佳接收機的性能的問題。我們可以通過求系統(tǒng)總的誤碼率來確定。統(tǒng)總的誤碼率來確定。 即：即：P Pe e=P(s=P(s1 1)Q)Q1 1+P(s+P(s2 2)Q)Q2 2 其中，其中，Q Q1 1、Q Q2 2分別為發(fā)送分別為發(fā)送s s1 1、s s2 2的錯誤概率。的錯誤概率。1919 從二進制最佳接收性能的分析可知，誤碼率從二進制最佳接收性能的分析可知，誤碼率PePe與先驗概率有關(guān)外，與先驗概率有關(guān)外，還與信號

14、的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。還與信號的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。 令：令： 是一個高斯隨機變量。是一個高斯隨機變量。 求得其方差為：求得其方差為： 從而可以得到：從而可以得到： Tdttststn021)()()(TdttstsnD02210)()(2dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120221)()(21)()(ln2na 21)()(22其中2020 同樣可得：同樣可得： dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120212)()(21)()(ln2na 21) ()(22其中dttstssPsPdxesPdxesPPTaxaxe22011202221)()(21)()(l

15、n2na 2)(2)(2222其中于是有：2121 或者：或者： TsPsPTTsPsPTbzbzdttstsndttstsnbdttstsndttstsnxzdzesPdzesPPe02210)()(0221002210)()(022102221)()(212ln)()(21a- )()(212ln)()(21a-b 21)(21)(122122其中：2222 Pe Pe與先驗概率的關(guān)系：與先驗概率的關(guān)系： 1 1）當(dāng)）當(dāng) ，即即P(sP(s1 1)=0)=0而而P(sP(s2 2)=1)=1，或或P(sP(s2 2)=0)=0而而P(sP(s1 1)=1)=1時，時，Pe=0Pe=0，意味

16、著接收端預(yù)先知道發(fā)送的是什么，故不會有錯誤發(fā)生。意味著接收端預(yù)先知道發(fā)送的是什么，故不會有錯誤發(fā)生。 2 2）當(dāng)）當(dāng) 即先驗等概時，即先驗等概時，PePe僅與兩信號之差的能量及僅與兩信號之差的能量及n n0 0有關(guān)。有關(guān)。 3 3）當(dāng)）當(dāng) 此時的此時的PePe將比先驗等概時略小。將比先驗等概時略小。 或0)()(21sPsP, 1)()(21sPsP, 1 . 010)()(21或sPsP2323 從二進制最佳接收性能的分析可知，誤碼率從二進制最佳接收性能的分析可知，誤碼率PePe與先驗概率有關(guān)外，與先驗概率有關(guān)外，還與信號的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。還與信號的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。 p pe e =

17、 Q(A) = Q(A) 令：令： 為為S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。 當(dāng)信號當(dāng)信號s s1 1(t)(t)與與s s2 2(t)(t)在在00，T Ts s 內(nèi)等能量（內(nèi)等能量（E E1 1=E=E2 2=E=Eb b) ) 則：則：STdttstsnA02210)()(210)1 (nEAbSTdttstsEE02121)()(102/2)1 (21 212nEerfcdzePeAz2424 1 1、分析、分析（1 1）當(dāng)）當(dāng)= -1= -1時，時，S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信號波形相反，有利于判決。信號波形相反，有利

18、于判決。 = -1 = -1時最佳接受形式可簡化為時最佳接受形式可簡化為 判決準(zhǔn)則為判決準(zhǔn)則為r(KTr(KTS S) 0 ) 0 判為判為s s1 1，否則判為否則判為s s2 2（2 2）當(dāng)）當(dāng)越接近于越接近于1 1時，性能越差，此時時，性能越差，此時PePe1/21/2； 當(dāng)當(dāng)= 1= 1時，時， S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信號波形完全相同，接收端很難信號波形完全相同，接收端很難判決，完全沒有根據(jù)來判決信號；判決，完全沒有根據(jù)來判決信號；（3 3）當(dāng)）當(dāng)= 0= 0時，兩信號正交，誤碼率比時，兩信號正交，誤碼率比= -1= -1差，但比差，但比= = 1 1好。

19、好。（見課本（見課本P262P262及圖及圖8 87 7）y(t) s1（t） cp(t) 抽樣判決抽樣判決 積積 分分r(t)2525 2 2、2 2PSKPSK信號的最佳接收機信號的最佳接收機 因為可以從接收信號時提取相干載波，故每個碼元內(nèi)接收信因為可以從接收信號時提取相干載波，故每個碼元內(nèi)接收信號的相位是確知的，可認(rèn)為號的相位是確知的，可認(rèn)為2 2PSKPSK為確知信號。同理也可以認(rèn)為為確知信號。同理也可以認(rèn)為2 2ASKASK、2FSK2FSK為確知信號。為確知信號。對于對于2 2PSKPSK信號，信號，s s1 1(t) = cos(t) = cosC C(t)(t)，s s2 2(t) = -cos(t) = -cosC C(t) (t) = = -1 -1 最佳接收機為最佳接收機為與與2 2PSKPSK相干接收機相干接收機 比較：比較： y(t) x(t) r(t) cos0(t) cp(t) 抽樣判決 積 分