空間直線和平面總結(jié)_知識(shí)結(jié)構(gòu)圖+例題

1、空間直線和平面知識(shí)串講空間直線和平面：（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)（二）平行與垂直關(guān)系的論證 1、線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 2. 線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 3. 平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 4. 應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?5. 唯一性結(jié)論： （三）空間中的角與距離 1. 三類角的定義： （1）異面直線所成的角：090 （2）直線與平面所成的角：090 （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關(guān)的角； （2）證明其符合定義； （3）指出所求作的角； （4）計(jì)算大小。 3. 空間距離：將空間距

2、離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離構(gòu)造三角形，解三角形，求該線段的長(zhǎng)。 4. 點(diǎn)到面的距離，線線間距離、線面間距離、面面間距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。常用方法：三垂線法、垂面法、體積法、向量法等?！镜湫屠}】 例. 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么AM與CM所成角的余弦值為（ ） 分析：如圖，取AB中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F 連結(jié)B1E、B1F、EF 則B1E/AM，B1F/NC EB1F為AM與CN所成的角 又棱長(zhǎng)為1 選D 例3. 其中正確的兩個(gè)命題是（ ） A. 與B. 與C. 與D. 與 分析： 錯(cuò) 錯(cuò) 正確，選D 例4. 如圖，在四棱錐PABCD中，底

3、面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA/面EDB。（2）PB平面EFD。證：（1）連AC，AC交BD于O，連EO 底面ABCD是正方形 點(diǎn)O是AC中點(diǎn) 又E為PC中點(diǎn) EO/PA PA/面EDB （2）PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E為等直角三角形中點(diǎn) DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，求證：A1CBC1。 證明：設(shè)E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，連AE，A1E1，B1E，E1C 注：三垂線定理是證明兩直線異面垂直的常用手段。 例6. 下列正方體

4、中，l是一條體對(duì)角線，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，如何證明l面MNP。 分析： 如圖，取棱A1A、DC、B1C1的中點(diǎn)，分別記為E、F、G，顯然EMFNGP為平面圖形，而D1B與該平面垂直l面MNP例7. ACB=90，側(cè)棱與底面成60的角。 分析： 證明： 又ACB=90，即ACBC D為AC中點(diǎn) 例8. 已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，沿DE將ABC折成直二面角，使A到A的位置（如圖）。求： （1）C到AD的距離； （2）D到平面ABC的距離； （3）AD與平面ABC所成角的正弦值。 解：（1）二面角ADEB是直二面角 又AEED，CEED

5、 ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F，連結(jié)CF，則CFAD CF即為C點(diǎn)到直線AD的距離 在RtAED中，EFAD=AEED DE/面ABC E到面ABC的距離即為D點(diǎn)到平面ABC的距離 過(guò)E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用體積法： 例9. （1）證明： （2）解： 又取BC中點(diǎn)N，連結(jié)NF 【模擬試題】一. 選擇題 1. 一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線（ ） A. 成異面直線B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直線a，b，平面，有下列四個(gè)命題 ； ； 其中正確的命題有（ ） A. B.

6、 C. D. 以上都不對(duì) 3. 邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，這時(shí)二面角BADC的大小為（ ） A. 30B. 45C. 60D. 90 4. 設(shè)a，b是兩條異面直線，P是a，b外的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 過(guò)P有一條直線和a，b都平行 B. 過(guò)P有一條直線和a，b都相交 C. 過(guò)P有一條直線和a，b都垂直 D. 過(guò)P有一個(gè)平面與a，b都平行 5. 若a，b是異面直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD=AC，BD=BC，則直線a，b所成的角為（ ） A. 90B. 60C. 45D. 30二. 填空題 6. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，

7、則 （1）A點(diǎn)到的距離為_ （2）A點(diǎn)到的距離為_ （3）A點(diǎn)到面的距離為_ （4）A點(diǎn)到面的距離為_ （5）的距離為_ 7. 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF把它折成一個(gè)四面體，使B、D、C三點(diǎn)重合于G，則=_。8. 把邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC沿高線AD折成60的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離為_。 9. 如圖PAO面，AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB，EFPB，AFBC，AE平面PBC，其中正確命題的序號(hào)是_。 10. 平面，其交線為l，AB與所成角為30，則AB與所成角的取值范圍是_。三. 解答題 11.

8、 四面體ABCS中，SB、SC、SA兩兩垂直，SBA=45，SBC=60，M為AB的中點(diǎn)。求： （1）BC與面SAB所成的角；（2）SC與平面ABC所成角的正弦值。 13. 在矩形ABCD中，已知，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將ABE折到的位置，使。 （1）求證：平面平面BCDE。 （2）求和面BCD所成角的大小。 14. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，。 （I）求； （II）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。 【試題答案】一. 1. C2. C3. C 4. C（當(dāng)P點(diǎn)和直線a確定的平面與b平行時(shí)，則過(guò)P點(diǎn)的直線與a不相交

9、，B錯(cuò)，當(dāng)P點(diǎn)在a或b上時(shí)，D不成立） 5. A二. 6. 7. 8. 9. 10. （0，60 （如圖ABD30，90BAD30 BAD60 0BAD60）三. 11. 解：（1）SCSA，SCSB SC面SAB SB是CB在面SAB上的射影 SBC是直線BC與面SAB所成的角，且為60 （2）連SM，CM，則SMAB（SAB為等腰Rt） AB面CSM, 設(shè)SHCM于H，則ABSH SH面ABC SCH為SC與平面ABC所成的角 設(shè)SB=SA=a, 則 注：“垂線”是相對(duì)的，SC是面SAB的垂線，卻又是面ABC的斜線。 12. 證：（1）PA面ABC，PC在面ABC上射影為AC 又AB為O直徑 BCAC BCPC BC面PAC 又BC面PBC面PAC面PBC （2）由（1）知BC面PAC 又AE面PAC BCAE，又PCAE AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 或者：由（1）知面PAC面PBC，PC為交線 又AEPC AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 注：線線垂直線面垂直面面垂直 13. （1）取BE中點(diǎn)M，C