2019年不等式選講真題匯編(文數(shù))

1、2019年不等式選講真題匯編(文數(shù))1 .【2019年高考全國I卷文數(shù)】已知 a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1.證明:11 1222(1) + + <a +b +c ； a b c333(2)(a+b) +(b+c) +(c+a) >24 .【解析】(1)因?yàn)閍2+b2之2ab,b2+c2之2bc,c2+a2之2ac,又abc = 1,故有2.22a b c _ ab bc ca =ab bc caabc111十 + abc所以十1 +工<a2+b2 +c2. abc(2)因?yàn)閍, b, c為正數(shù)且abc = 1,故有(a b)3 (b c)3 (c a)3 _33

2、(a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)_3 (2,、函)(2 , bc) (2 . ac)=24.333所以(a+b) +(b+c)+(c+a) >24 .2.【2019年高考全國n卷文數(shù)】已知 f (x)弓xa|x + |x2|(xa).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f (x) <0的解集;(2)若xw (3,1)時(shí)，f (x) <0 ,求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng) a=1 時(shí)，f (x)=|x-1| x+|x-2|(x -1).當(dāng) x<1 時(shí)，f(x) =-2(x-1)2 <0；當(dāng) x 至1 時(shí)，f (x) >0.所以，不

3、等式f(x)<0的解集為(嗎1).(2)因?yàn)閒(a)=0，所以a之1 .當(dāng) a 之1 , xW(-0o,1)時(shí)，f (x)=(a -x) x+(2 -x)(x-a)=2(a -x)(x -1)<0 .所以，a的取值范圍是1,十厘).3.【2019年高考全國出卷文數(shù)】設(shè) x, y,zW R ,且x+ y + z=1 .(1)求(x -1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 的最小值；1(2)若(x2)2+( y1)2+(za) 之 3 成立，證明：aM3或 a 之一1 .【解析】(1)由于(x -1) (y 1) (z 1)2-(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2 2(x 1)

4、(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)_222<3(x-1) +(y+1) +(z+1)卜故由已知得(x1)2十(y+1)2+(z+1)2之：，511當(dāng)且僅當(dāng)*=一，y= , z = 時(shí)等號(hào)成立.333所以(x - 1)2 +(y +1)2 + (z +1)2 的最小值為；.(2)由于(x -2) +(y -1) + (z-a)2 _ 222_= (x-2) (y-1) (z-a) 2(x-2)(y-1) ( y-1)(z - a) (z-a)(x-2)<3-(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2i,222(2 a)2故由已知(x2) +(y1) +(za) &g

5、t; (2) ,4。a1 -a 2a -2當(dāng)且僅當(dāng)x=, y=, z =時(shí)等號(hào)成立.3332 因此(x -2)2 +(y -1)2 +(za)2 的最小值為(2 a) .32由題設(shè)知(2 a)之1,解得a < 3或a之1 . 334 .【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】設(shè) xWR,解不等式|x|+|2 x-1|>2 .1【解析】當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為 -x+12x>2,解得x<-；3,1 一 _一當(dāng)0aw一時(shí)，原不等式可化為 x+1 -2x>2,即x<T,無解；2,1 ,當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為x+2x-1>2,解得x>1.1 .綜上，

6、原不等式的斛集為x|x<或x>1.3模擬匯編5 .【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)f (x) = x 3 +|3x -3 , g(x) =|4x a + 4x 十2 .(1)解不等式f (x) >10;(2)若對(duì)于任意x e r 都存在x?w R ,使得f (xi) = g(x2)成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)不等式等價(jià)于x 34x-6 101 < x< 32x 106-4x 10解得x > 4或x < -1.(2)對(duì)任意x WR,都存在x2 WR,使得f (x1)=g(x2)成立，即g(x)的值域包含f(x)的

7、值域.4x -6,x 3,If(x) = x3 +|3x-3 = 2x,1 <x <3 ,由圖可得 x =1 時(shí)，f (x)m. =2，所以 f (x)的值域?yàn)?,z),6-4,x<1Jg(x) = 4xa +4x+2 且(4xa)(4x+2)| =|a+2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 4x a 與 4x + 2異號(hào)時(shí)取等號(hào)，所以g( x)的值域?yàn)閍 + 2 , F),由題2,依)=a+2,y),所以 |a+2|E2,解得-4<a <0.【名師點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)和用絕對(duì)值不等式求絕對(duì)值函數(shù)中參數(shù)的范圍，是常見考題.6 .【山東省郛城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)

8、】已知函數(shù)f(x)=ax-2,不等式f (x) <4的解集為x|-2<x<61.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)g(x) = f(x)+f(x +3),若存在xw R ,使g(x)-tx W2成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.1【答案】(1) 1; (2) tS(-O0,-1U-,+=c).2【解析】(1)由ax2 E4得4wax2 wq 即一2waxw5當(dāng)a>0時(shí),所以6:6 a-2,解得當(dāng)a<0時(shí),所以69一 二-2a ,無解.4二6,a所以實(shí)數(shù)a的值為1.-2x 1 x - -1(2)由已知 g(x)= f(x)+ f (x+3) = |x+ 1|十|x 2|= 3 3

9、(1<x<2), 2x-1 x-2不等式g (x) txW2轉(zhuǎn)化成g (x) 4x + 2,1又因?yàn)?kAM= 1, kBM =,2一 ,1所以t J 1或t至一， 2rr _,1即 t e( °0, 1 u , + °°),2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法及分類思想、方程思想，還考查了思想結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化能力，考查了作圖能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.7.【安徽省合肥市 2019屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù) f (x)弓x+1| .(1)若f(x)+2x>2,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；1, ，一(2)設(shè) g(x) =f(x)+f(ax

10、) (a>1 ),右 g(x)的取小值為一，求 a 的值.2【答案】(1) 口，+=0 |； (2) a=2.3【解析】(1) f(x)+2x>2,即 x+1>22xx 1 _0- x 1 ： 0<或ix 1>2-2x -x-1 2-2x實(shí)數(shù)x的取值范圍是十ml3_(a+1)x 2, xw(-°o,_1).1_ ri(2) . a >1 , . -1 <g (x )= (1 a)x, x = 1-1,- ia1 a Jc 1 1)fa +1 )x +2, x= I ，+ 七J1al易知函數(shù)g(x )在1-00,1- 八 1 一一 = 一，解得

11、 a = 2.a 2【名師點(diǎn)睛】本道題考查了含絕對(duì)值不等式的解法，考查了結(jié)合單調(diào)性計(jì)算函數(shù)最值，關(guān)鍵得到函數(shù)解析式，難度中等.8.【河南省中原名校(即豫南九校)2018屆高三第六次質(zhì)量考評(píng)理科數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x) =2x+a, g( x) = x -1 . I,單調(diào)遞減，在i1，+2 j單調(diào)遞增，g x min = g:1 a(1)若f(x) +2g(x)的最小值為1,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若關(guān)于x的不等式f(x) +g(x)<1的解集包含,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) a = -8或4.3(2) .1,卜,2【解析】(1Lb=1 時(shí),-f (x)+g(xHx-|+,|x + 1|

12、x-x-1|=|-+1p 2222a 一 -+1=3,解得 a 21 一因?yàn)槿ff (x ) + g(x )的最小值為3,所以當(dāng) x W J1,1 I時(shí)，2xa + x -1 <1u(2)當(dāng) b = 1 時(shí)，f(x)+g(x)<1 即 2xa +|x1 <1, 2xa+1x<1u 2x a<x，即 cxca3，因?yàn)椴坏仁絝 (x)十g(x)<1的解集包含rd1,所以 a a1 且 a <1 ,_232一 3 即1 <a < 一,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.1,一廣22【名師點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法及不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.9.【河

13、南省頂級(jí)名校 2019屆高三質(zhì)量測評(píng)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f (x )= x+1|2x-1(1)解不等式f (x)Ex+2;(2)若g(x) = |3x-2m| + 3x-1 ，對(duì) /x WR,三 x? w R ,使 f (x1)=g(x2 )成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1) x|0<x<1； (2) I-1,- 1一 4 4【解析】(1)不等式等價(jià)于x < -1T或-3x < x 21-1 x -2或-x 2 < x 2 3x < x 2一 .，、11解得 x = 6 或 0ExE或一<xE1, 22所以不等式f(x) Ex+2的解集為Ix|0<

14、;x <11.3x, x _ 11113(2)由 f(x) =x+2,-1 <xM知，當(dāng) x=1 時(shí)，f(x)min = f (2)=-,22223x, x 2g( x 之(3x -2m) -(3x -1) = 2m 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)(3x2m)(3x1)0時(shí)取等號(hào)，一,315 15所以2m 1 <-,解得一一Em W .故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 卜一，一 2441 4 4【名師點(diǎn)睛】本題考查方程有解問題，考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.10.【吉林省吉大附中 2018屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試卷】已知函數(shù) f(x)=|x-a .(1)當(dāng)a = 2時(shí)，解不等式f

15、(x)至16 2x1 ； 若關(guān)于x的不等式f(x)E1的解集為0,2,求證：f(x)+f(x+2)>2.17【答案】(1) x|xw或x±5 (2)見解析 3【解析】(1)當(dāng)a = 2時(shí)，不等式為x+2|+|2x_1 >16,17當(dāng)xE2時(shí)，原不等式可化為 x22x + 1之16,解得x <-, 3-1 .當(dāng)2 <x W時(shí)，原等式可化為 x+2-2x+1>16,解得xW13,不滿足，舍去； 21當(dāng)xa時(shí)，原不等式可化為 x + 2 + 2x-1>16,解得x>5；217不等式的解集為x|x E或x5. 3(2) f (x) <1 即 x

16、 -a <1,解得 a -1 <x < a +1,a-1 =0而f (x) E1解集是0,2，所以，a1=2解得 a =1 ,從而 f (x) = x1 .于是只需證明f (x) + f(x+2) >2 ,即證x -1+x +1 >2 ,因?yàn)?x -1| + x +1| = 1 -x + x+1 戶|1x+x+1 =2所以x-1| + x+1之2 ,證畢.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法和證明，主要注意先確定參數(shù)的值，進(jìn)而對(duì)定義域 進(jìn)行分類討論，確定解所在的區(qū)間，屬于中檔題.11.【河北衡水金卷 2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評(píng)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù) f(

17、x)=x-2-x + a .(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)<-2的解集；(2)當(dāng) x, y w R 時(shí)，2 + f (y) E f (x) w2 + f (y),求 a 的取值范圍.3.,【答案】(1) x|x> ； (2) I3,123, x < -1【解析】(1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) =412x,1<xW2，-3, x 23可得f (x)c2的解集為x|x >3；2(2)當(dāng) x, ye R 時(shí)，2+f(y)Wf(x) W2 + f(y)u |f(x)-f(y) W2=f (x)'f (x) / <2,因?yàn)?|x2 - x +a| <

18、|(x-2 )-(x + a j=|a+2 ,所以 a +2 -(-a +2| )<2 .所以a十2 E1,所以3£aw1 .所以a的取值范圍是-3, T.【名師點(diǎn)睛】含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的 幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不 等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用.12.【河北省衡水中學(xué) 2019屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x) =|x-2 .(1)求不等式f(x) <x + x+1的解集； 若函數(shù)f(x) =log2

19、f (x + 3 )+f (x) 2a的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由已知不等式f(x)<x+x+1，得x_2 <x+x + 1，當(dāng)x>2時(shí)，絕對(duì)值不等式可化為 x 2<x + x + 1,解得x>-3,所以x>2;11當(dāng)1 Mx M2時(shí)，絕對(duì)值不等式可化為 2x<x + x + 1,解得x >-,所以( x W 2 ；33當(dāng)x<1時(shí)，由2x cxxT得x >3,此時(shí)無解.綜上可得所求不等式的解集為13 要使函數(shù)y log 2 , f(x+3)+f(x)-2a I的定義域?yàn)镽 ,只需g (x ) = f (x +3

20、)+ f (x )2a的最小值大于0即可.又 g(x) = |x+1 +|x -2 -2a >|x+1-x + 2 2a =3 2a ,當(dāng)且僅當(dāng) xw 1,2時(shí)取等號(hào).3所以只需3-2a >0,即a <3.2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是f-oo,3 I.2【名師點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的常見解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用 零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.13.【甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=|2x-1 +|x + 1 .(1)解不等式f(x)

21、至3；(2)記函數(shù)f (x)的最小值為m ,若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且a十2b+3c = 2m ,求a2 + b2 + c2的最小 值.【答案】(1)般*£一1或*之1； ( 2).14-3x,x < -1一一 ，一一1【解析】(1)由題息，f (x)=V2x,-1 <x <一，2八 、13x,x 之一.2，一11所以f(x)之3等價(jià)于x x 或T<x'3或lx3 .3x32 -x-3 3x-3解得xW1或x>1,所以不等式的解集為 xxW1或xn； 1、3(2)由(1)可知，當(dāng)x =一時(shí)，f (x)取得最小值一，223所以 m=,即 a+2b+

22、3c =3,2由柯西不等式得(a(abbca © IJa +b J IJb +c J iJc + a J+b2 +c2)(12十22十32)至(a+2b+3c)2 =9 ,整理得a2 b2 c2 , ,14當(dāng)且僅當(dāng)a ub uc時(shí)，即a = 3,b = 6,c= 9時(shí)等號(hào)成立.12 3141414所以a? +b? +c?的最小值為 一.14【名師點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及柯西不等式的應(yīng)用，熟記不等式解法以及柯 西不等式即可，屬于?？碱}型.14.【四川省成都市第七中學(xué) 2019屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)】已知 a>0, b>0, c>0設(shè)函數(shù)f(x) =

23、 x-b+|x+c+a, xw R .(1)若a=b =c=1,求不等式f(x) <5的解集;(2)若函數(shù)f(x)的最小值為1,證明：+ >18(a + b + c) a b b c c a【答案】(1) (-2,2) ; (2)詳見解析.【解析】(1) a = b=c=1,不等式 f(x) <5,即 |x-1| +| x+1|<4 ,當(dāng) xE-1 時(shí)，1-x-1-x<4= -2 < x < -1,當(dāng)一1<x<1 時(shí)，1x+x1<4= 1<x<1,當(dāng) x之1 時(shí)，x1 + x+1<4= 1 <x <2 ,

24、解集為(2,2)； f (x) = xb +|x+c+a 斗(x + c) (xb) +a = b+c +a,a >0, b>0, c>0, . f(x)min =a+b+c = 1,(a b c)，.一，上.旦a b b c c a a b b c c a(Ja +b)2 +(Jb +c)2 +(Jc + a)2 I2 .2 f .3 r fa b b c c a = 18 = 18( a b c).b cc a【名師點(diǎn)睛】考查了含絕對(duì)值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的證明，難度中等偏難.215 .【四川省成都市第七中學(xué) 2019屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】 已知

25、函數(shù)f(x)=x -x+1,且a, b c WR.(1)若 a +b +c =1 ,求 f (a )+ f (b )+ f (c)的最小值；若x a <1,求證:f (x卜f <2(a +1)【答案】(1) 7 ; (2)見解析31242【斛析】(1)由柯西不等式得，a +b +c至一(a+b+c)=(當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c=時(shí)取等方),33322247所以 f (a )+f (b )+f (c)= (a +b +c )-(a + b+ c)+3> +1 = ,33即f (a )= f (b尸f (c)的最小值為-；3(2)因?yàn)?x-a| <1,所以 f(x)f (

26、a ) = (x2 -a2 )(xa )=|xa ?x + a1| <|x+a 1=|(x -a )+(2a -1 <|x -a +|2a 1 <1 十(2 a + 1 )= 2( a +1),故結(jié)論成立.【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明的問題，屬于中等題.16 .【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬(最后一卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù) f (x )=|2xa+5x ,其中實(shí)數(shù) a >0.(1)當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f(x戶5x+1的解集；若不等式f (x)0的解集為x|xW-1,求a的值.【答案】(1)不等式f (x產(chǎn)5x+1的解集為x|x<1或x之2； (2) a=3【解析】(1)當(dāng)a=3時(shí)，f (x戶5x+1可化為2x321,由此可得x W1或x之2,故不等式f (x戶5x+1的解集為x|x<1或x至2；(2)法一：(從去絕對(duì)值的角度考慮)由 f (x)<0 ,得 2x -a< -5x,此不等式化等價(jià)于ax -22x -a +5x <0aI、, x ：一或2,(2x -a )+5x < 0解得xxr一 x或xa< 2 ,a 一 3因?yàn)閍 > 0,所以不等式組的解集為 x | x E 9,3由