第八章立體的投影及直線、平面與立體相交

1、 立體的投影及直線、平立體的投影及直線、平面與面與立體相交基本形體可分為基本形體可分為平面立體平面立體和和曲面立體曲面立體平面立體：平面立體：表面由平面圍成的幾何體表面由平面圍成的幾何體曲面立體：曲面立體：表面由曲面或者曲面與平面圍成的幾何體表面由曲面或者曲面與平面圍成的幾何體平面平面立體立體曲面曲面立體立體8 81 1 平面立體的投影平面立體的投影平面立體的表面由若干平面（多邊形平面立體的表面由若干平面（多邊形）圍成，各平面間的交線稱為）圍成，各平面間的交線稱為棱線棱線或或底邊底邊，它們間的交點稱為，它們間的交點稱為頂點頂點。工程。工程上最常見的平面立體為上最常見的平面立體為棱柱棱柱和和棱錐

2、棱錐。 一、棱柱體一、棱柱體2） 棱柱的三視圖棱柱的三視圖1） 棱柱的組成棱柱的組成 由由兩個底面和幾個側(cè)棱面兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行側(cè)棱線相互平行。 在圖示位置時，六棱柱的兩在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在平面圖中反映底面為水平面，在平面圖中反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。邊形的邊重合。點的可見性規(guī)定：點的可見性規(guī)定： 若點所在的平面的投若點所在的平面

3、的投影可見，點的投影也可見；影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。點的投影也可見。 由于棱柱的表面都是由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的上取點與在平面上取點的方法相同。方法相同。3） 棱柱表面上取點棱柱表面上取點 a a a (b ) b b s s 二、棱錐體二、棱錐體2）棱錐的三視圖）棱錐的三視圖 b a c abc a (c )b 1） 棱錐的組成棱錐的組成 由由一個底面和幾個一個底面和幾個側(cè)棱面?zhèn)壤饷娼M成。組成。側(cè)棱線交側(cè)棱線交于有限遠的一點于有限遠的一點錐錐頂頂。 棱錐處于圖示位置時，

4、棱錐處于圖示位置時，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在平面圖上反映實形。側(cè)棱平面圖上反映實形。側(cè)棱面面SAC為側(cè)垂面，另兩個為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平。側(cè)棱面為一般位置平。s ( ) s s 3）在棱錐面上取點）在棱錐面上取點 k k k b a c abc a (c )b s n n n 同樣采用平面上取點法。同樣采用平面上取點法。截切：截切： 用一個平面與立體相交，截去立體的一部分。用一個平面與立體相交，截去立體的一部分。 截平面截平面 截切物體的平面截切物體的平面截交線截交線 截平面與物體表截平面與物體表 面的交線面的交線截斷面截斷面 截截交線所圍成的圖形交線所圍成的圖形

5、討論的問題：截交線的分析和作圖討論的問題：截交線的分析和作圖SABCPIIIIII截斷面截平面截交線8 82 2 平面與平面立體相交平面與平面立體相交 截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：截交線截交線是截平面與立體表面的交集，是是截平面與立體表面的交集，是共共有線有線。截交線上的點、線，屬于兩者的共有。截交線上的點、線，屬于兩者的共有點、線。點、線。截交線截交線為為封閉的平面圖形封閉的平面圖形。 求截交線的問題，實質(zhì)上就是求求截交線的問題，實質(zhì)上就是求平面與平面與立體表面的共有點、線立體表面的共有點、線的問題。可用求線面的問題?？捎们缶€面交點的方法，或用求兩面交線的方法來解題。交點的方法，或用求兩面交

6、線的方法來解題。解題步驟1.形體分析2.求六條棱線與截切平面 的交點3.整理圖形，加深圖線一、平面與棱柱相交一、平面與棱柱相交求六棱柱截切后的側(cè)面投影求六棱柱截切后的側(cè)面投影二、平面與棱錐相交二、平面與棱錐相交補全三棱錐截切后的水平投影和側(cè)面投影補全三棱錐截切后的水平投影和側(cè)面投影解題步驟1.形體分析2.求棱線與截切平面的交點3.整理圖形，加深圖線yyyy8 83 3 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 平面與平面與平面立體平面立體相交，其截交線相交，其截交線為平面曲線為平面曲線。 一、平面與圓柱相交一、平面與圓柱相交 截平面與圓柱的截交線的形狀取決于截截平面與圓柱的截交線的形狀取決于截平面

7、與圓柱軸線的相對位置平面與圓柱軸線的相對位置垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行矩形矩形傾斜傾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P截交線的已知投影？截交線的已知投影？求圓柱被截切后的側(cè)面投影求圓柱被截切后的側(cè)面投影找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投截交線的側(cè)面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 找特殊點找特殊點找中間點找中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影求圓柱被截切后的側(cè)面投影求圓柱被截切后的側(cè)面投影 橢圓的長、橢圓的長、短軸隨截平面與短軸隨截

8、平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。4545什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時。時。 解題步驟1.圖形分析2.繪制圓柱輪廓3.求截交線4.整理加深圖線求圓柱開槽后的側(cè)面投影求圓柱開槽后的側(cè)面投影求圓柱截交線求圓柱截交線解題步驟1分析 截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合；2求出截交線上的特殊點、 、 、；3求一般點；4 順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3311 22445532514二、平面與圓錐相交二、平面與圓錐相交 根據(jù)截平面與圓錐

9、軸線的相根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。對位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂過錐頂三角形三角形P PV V圓圓P PV V= 90= 90P PV V橢圓橢圓拋物線和拋物線和直線段直線段P PV V=雙曲線和雙曲線和直線段直線段P PV V= 0= 0圓錐被正垂面截切，求截交圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖。線，并完成三視圖。截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？截交線截交線的投影的投影特性？特性？找特殊點找特殊點如何找橢圓另如何找橢圓另一根軸的端點？一根軸的端點？補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影圓錐被正垂面截切，求截交

10、圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖。線，并完成三視圖。解題步驟1.圖形分析2.求截交線上的特殊點3.求截交線上的一般點4.加深圖線補全圓錐截切后的正面投影補全圓錐截切后的正面投影分析并想象出圓錐穿孔后的投影分析并想象出圓錐穿孔后的投影三、平面與圓球相交三、平面與圓球相交 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，的相對位置不同，其其截截交線的投影可能為圓、交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線橢圓或積聚成一條直線。求圓球截交線求圓球截交線解題步驟1分析 截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面

11、投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點、 、 ；3求出若干個一般點A、B、C、D；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd求半球體截切后的俯視圖和左視圖求半球體截切后的俯視圖和左視圖水平面截圓球的截交線水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。求半球體截切后的俯視圖和

12、左視圖求半球體截切后的俯視圖和左視圖例：四棱錐被正垂面例：四棱錐被正垂面P P切割，求其截交線的投影切割，求其截交線的投影 。3 3 2 2 1 1 ( (4 4 ) )3 3 2 2 4 4 1 1 3 32 24 41) 1) 空間空間分析分析1 12) 2) 投影投影分析分析3) 3) 求求截交線截交線4) 4) 補全補全棱線的投影棱線的投影檢查檢查: :尤其注意檢查尤其注意檢查截交線投影的截交線投影的相仿性相仿性s ss s s s 我我們們采采用用的的是是哪哪種種解解題題方方法？法？線面交點法線面交點法截平面與體的截平面與體的幾個棱面幾個棱面相交相交？截交線的截交線的形狀形狀？四邊形四邊形例：已知立體的例：已知立體的V V、W W投影，試求其投影，試求其H H投影。投影。單擊立體模型區(qū)可觀看三維動畫單擊立體模型區(qū)可觀看三維動畫 4例：求例：求P P、Q Q 兩平面與三棱錐截交線的投影兩平面