第十一章虛位移法

1、 11-1約束及約束方程約束及約束方程 11-2自由度自由度 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 11-3虛位移虛位移 11-4虛位移法及其應(yīng)用虛位移法及其應(yīng)用w約束：約束：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中的某些質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到某些事先給定的幾何上或運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制條件，這些限制條件稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束?！纠纠?1-1】圓盤C在粗糙平面上作純滾動(dòng)。約束是指事先給定的限制條件，它與作用力、起始條件以及運(yùn)動(dòng)的其他條件無(wú)關(guān)。yC = R表示圓盤C受到幾何上的限制，vC = R表示圓盤C受到運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制。CRvCyCw非自由質(zhì)點(diǎn)系：非自由質(zhì)點(diǎn)系：受約束的質(zhì)點(diǎn)系為非自由質(zhì)點(diǎn)系。w約束方程：約束方程：約束加于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的限制條件，可

2、以用幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)寫(xiě)成具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ，該表達(dá)式稱為約束方程?！纠纠?1-2】 求曲柄連桿機(jī)構(gòu)的約束方程。 xA2 + yA2 = r2 (xB xA)2 + (yB yA)2 = l 2 yB = 0w自由質(zhì)點(diǎn)系：自由質(zhì)點(diǎn)系：不受任何約束的質(zhì)點(diǎn)系為自由質(zhì)系，它可以在主動(dòng)力作用下作空間任意運(yùn)動(dòng)。yOA(xA,yA)B(xB, yB)rxl圖示復(fù)擺擺錘M的約束方程為 x2+y2 = l 2雙面約束雙面約束用嚴(yán)格的等號(hào)等號(hào)表示約束方程。這種約束如能限制物體向某一方向運(yùn)動(dòng)，則必能限制向相反方向運(yùn)動(dòng)。單面約束單面約束用不等號(hào)不等號(hào)表示約束方程。這種約束只能限制物體某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制相反方

3、向的運(yùn)動(dòng)。圖示單擺擺錘M的約束方程為 x2+y2 l 2yxOM(x,y)lyxOM(x,y)l-vtv如果約束方程中僅包含坐標(biāo)，或坐標(biāo)與時(shí)間，或包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)但能積分成有限形式 ，稱這種約束為完整約束完整約束。如上面所舉各例。完整約束方程的一般形式為：j (x1,y1,z1, xi,yi,zi, xn,yn,zn; t)=0 (j =1,2,s)如果在約束方程中不顯含時(shí)間t ，即約束不隨時(shí)間而改變 ，稱該約束為定常約束定常約束。如上面所舉二例。圖示單擺的約束方程為：x2 + y2 = (l- vt)2如果在約束方程中顯含時(shí)間t ，即約束隨時(shí)間而改變 ，稱該約束為非定常約束非定常約束。y

4、xOM(x,y)l如果約束方程中不僅含有坐標(biāo)， 還含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)且這種方程不能積分成有限形式，稱這種約束為非完整約束非完整約束。其一般形式為：完整約束方程中僅含坐標(biāo) ，它表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的幾何位置起限制作用 ，故這種約束又稱為幾何約束幾何約束。非完整約束方程中包含有速度的投影 ，它僅表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)速度所加的限制 ，故這種約束又稱為運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束。), 2 , 1(0);,.,(111111sjtzyxzyxzyxzyxzyxzyxfnnnnnniiiiiij本章只涉及定常雙面完整約束?！窘狻窘狻?由質(zhì)點(diǎn)距離不變的條件寫(xiě)出M1和M2的幾何約束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2

5、= l 2 由點(diǎn)C的速度vC必須沿桿的方向的條件寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)約束方程【例【例11-3】平面上兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1和M2質(zhì)量相等。由一長(zhǎng)為 l 不計(jì)質(zhì)量的剛性桿連接 ， 運(yùn)動(dòng)中桿中點(diǎn) C 的速度只可以沿著桿的方向如圖所示。寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)M1、M2及中點(diǎn)C的約束方程。OxyCM2(x2,y2)M1(x1,y1)vC121221212)(2)(xxyyxxyy在完整約束條件下，用來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)稱為質(zhì)點(diǎn)系的自由度。一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系在空間(平面)內(nèi)的位置 ，在直角坐標(biāo)系中需用3n (2n)個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定。如果質(zhì)點(diǎn)系受有s個(gè)完整約束 ，則質(zhì)點(diǎn)系的3n (2n)個(gè)坐標(biāo)必須滿足s個(gè)約束方程。

6、因此質(zhì)點(diǎn)系只有k=3n - s (k=2n - s)個(gè)坐標(biāo)是獨(dú)立的，即其自由度k=3n - s (k=2n - s) ?！纠纠?1-4】求圖示系統(tǒng)的自由度。 xA2 + yA2 = r2(xA-xB)2 + (yA-yB)2 = l 2yB= 0 k = 22 - 3 = 1yOA(xA,yA)B(xB, yB)rxl【例例11-5】 求圖示雙擺的自由度。xA2 + yA2 =l12(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22k 22 2 2yxOA(xA,yA)l11l22B(xB,yB)唯一地確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。若以q1,q2, qj, qk 表示所選定的廣義坐標(biāo)，

7、則任一質(zhì)點(diǎn)Mi 的直角坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。顯然,質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑ri也可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。在具體問(wèn)題中，廣義坐標(biāo)可取為角度、弧度、直角坐標(biāo)等。ri=ri(q1,q2, qj , qk)(i =1,2,n)xi= xi (q1,q2, qj,qk)yi = yi (q1,q2, qj, qk) zi = zi (q1,q2, qj, qk)(i =1,2,n)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所容許的任何微小的位移稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的虛位移，記為r等。w虛位移只是一個(gè)幾何概念，它完全由約束的性質(zhì)及其限制的條件所決定，可以是線位移或角位移。質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下，在一定時(shí)間間隔內(nèi)實(shí)際發(fā)生的位

8、移，記為dr等。w它不但與約束條件有關(guān)，還與時(shí)間、主動(dòng)力以及運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)；w它有確定的方向，既可是微小量也可是有限量?！纠纠?1-6】鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖示，畫(huà)出點(diǎn)A的實(shí)位移和虛位移。drw在定常完整約束條件下 ， 約束的性質(zhì)與時(shí)間無(wú)關(guān)，微小的實(shí)位移是虛位移之一。xyAMOd r1xyAMO1 2r2w它只是約束所容許的可能發(fā)生而實(shí)際不一定發(fā)生的位移，它與作用力無(wú)關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)；w它可以有多種不同的方向，但必須是微小量。BABAr2r1w對(duì)于非定常約束 ，由于物體的位置或形狀隨時(shí)間而改變 ，而虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān) ，實(shí)位移卻與時(shí)間有關(guān) ，所以微小的實(shí)位移不再是虛位移之一。B

9、A【例【例11-7】物塊B擱置于三棱體A上，不計(jì)摩擦。畫(huà)出系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后物塊B的實(shí)位移和虛位移。dr在定常約束條件下 ，微小的實(shí)位移是虛位移之一，故可用求實(shí)位移的方法來(lái)建立質(zhì)點(diǎn)的虛位移間的關(guān)系。rBrA【例【例11-8】 求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移?！窘狻繎?yīng)用幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移rA和 rBOA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ) 1 (1OArAAB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， I為瞬心 IOAB12)2(2 IArA1IBIAOA若1取為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，畫(huà)出虛位移圖得出的 rA和 rB的表達(dá)式與逆時(shí)針轉(zhuǎn)向是一致的。由(1)(2)式得rBrAIOAB12212IAOA2 IBrB利用廣義坐標(biāo)的概念，將

10、任意質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移表示為與廣義坐標(biāo)間的變分關(guān)系。xi= xi (q1,q2, qj, , qk)yi = yi (q1,q2, qj, , qk) zi = zi (q1,q2, qj, , qk) (i =1,2,n)kjjjkjiiqqqqqqxx121),(kjjjkjiiqqqqqqyy121),( (i =1,2,n)kjjjkjiiqqqqqqzz121),(【解】xA=l1 cos yA=l1 sin xB=l1 cos +l2cos l1sin =l2sin【例【例11-9】求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移。OA=l1 ，AB=l2。OABxykjjjkjiiqqqqqq1

11、21),(rr (i =1,2,n)ri=ri(q1,q2, qj , qk) (i =1,2,n) rA = ixA + jyA = l1(- i sin + j cos) rB= i xB =i (- l1sin )( + cot tan )2212211sincossin(lllli可以證明用幾何法和解析法所得結(jié)果是一致的。 OABxyxA = -l1sin yA = l1cos l1cos = l2cos xB = -l1sin - l2sin 力在虛位移中所作的功。 虛功為代數(shù)量。 該功為元功但不能積分。 靜止系統(tǒng)不會(huì)有實(shí)位移，也不會(huì)有實(shí)功，但可以有虛位移，可以有虛功。W =Fr =

12、 Fxx + Fyy + Fzz W= mO(F) W= mw若以Ni表示n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束反力的合力 ， ri表示該質(zhì)點(diǎn)的虛位移 ，則質(zhì)點(diǎn)系的理想約束條件可表示為：0rNiiw約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中所作虛功之代數(shù)和為零的約束稱為理想約束理想約束。w靜力學(xué)中的固定光滑接觸、不可伸長(zhǎng)的柔性體、光滑鉸鏈、固定端、剛性二力構(gòu)件、光滑球形鉸鏈、光滑止推軸承等均為理想約束。對(duì)具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其保持靜靜止平衡止平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力Fi在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移ri中所作的虛功的代數(shù)和為零。虛功方程為：w矢量式：w解析式：0iirF0)(iziziyiyixixrFrF

13、rF w選取適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)(或虛速度)；w求與各主動(dòng)力相對(duì)應(yīng)的虛位移(或虛速度間的關(guān)系；w列主動(dòng)力的虛功方程并求解。 w若求摩擦、支座等約束反力，則可逐次解除一個(gè)約束，將結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，并視該約束反力為主動(dòng)力；w有時(shí)將虛位移換成虛速度并用 表示虛功方程，即用所謂的 “虛速度法” 解題較便捷；w虛位移或虛速度是指在質(zhì)點(diǎn)系靜止平衡的基礎(chǔ)上假想發(fā)生的；w靜力學(xué)大多數(shù)問(wèn)題用虛位移原理求解并不很方便。0iivF【例【例11-10】不計(jì)摩擦力及繩索質(zhì)量，求圖示滑輪系統(tǒng)平衡時(shí)P/Q的值。BOA CPDQ2xA + xB =c1xC - xA = c2(xC-xB)+(xD-xB)= c32xA+ xB = 0

14、 xC - xA = 0 xC+xD- 2xB = 0 xD= -5xC虛功方程: PxC+QxD=0求解：P/ Q= 5【解【解】yxxAxBxDxCxyFF【例【例11-11】圖示機(jī)構(gòu)中彈簧自然長(zhǎng)度為l0，剛度系數(shù)為k。求在主動(dòng)力P、Q作用下平衡時(shí)彈簧拉力及?！窘狻窘狻?)求虛位移間關(guān)系coslxDsinlxDcos)2(lLxEsin)2(LlxEcos2LxCsin2LxC2)列虛功方程0)cos()sin( xFxFxQyPxPEDCBB)(0lxxkFDEcos)(20llLk3)由虎克定律得4)求解sinLyBcosLyBABCDELlPQcosLxBsinLxBOABC3012

15、0O1Fm【例【例11-12】圖示平面機(jī)構(gòu)中，不計(jì)構(gòu)件自重與摩擦。OB桿長(zhǎng)為4l，系統(tǒng)在圖示位置平衡，此時(shí)滑塊A位于OB桿正中，求主動(dòng)力偶矩m與主動(dòng)力F間的關(guān)系。vavrvevBvC6030【解【解】1)求虛速度間關(guān)系A(chǔ)Ova1lOA30sinlvvvaeB)30sin(2230cos60cosvvBClvC32)列虛功方程并求解0vFmCFlm3選滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，OB桿為動(dòng)系abmPOABCD【例【例11-13】圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA上作用一對(duì)矩為m的力偶，另在滑塊D上作用一水平力P。求其平衡時(shí)力P與力偶矩m的關(guān)系。rArBrD I 1 10【解【解1】1)求虛位移間關(guān)系A(chǔ)BAOBC) 1 (0

16、 arA)3(1 IArA)4(1 IBrB)6(0sin20IBarIAD由(1)(5)得：)2( brBcos2brD由)5(sin2brD2)求幾何關(guān)系cot aBOaBOIAcotsinBOIB )7(cot2aa)8(sincota由(6)(8)得：)9(0)tan(cot20raD)10(00rPmD3)列虛功方程并求解由(9)、(10)得： m = aPtan2abmPOABCDrArBrD I 1 10ABAOBCvBabmPOABCDvAvD【解【解2】1)求虛速度間關(guān)系A(chǔ)O) 1 (AOAav)4(2tanAODav由(1)(3)得：)2(cos2cosvvAB) 3()2

17、2cos(cosvvBD22)5(0vPmDAO2)列虛功方程并求解由(4)、(5)得：m = aPtan2【例【例11-14】求圖示三鉸拱支座B的約束反力。IrBxPCBAamaaFBxrCrD【解【解1】 1-1)以FBx代替支座B的水平約束，并視其為主動(dòng)力，將結(jié)構(gòu)變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。1-2)求虛位移間的關(guān)系 BIrBx a2 DIrD aD1-3)列虛功方程并求解0mrFrPBxBxD02mFaaPBx22PamFBxBCACrC 2-1)以FBy代替支座B的鉛垂約束，并視其為主動(dòng)力，將結(jié)構(gòu)變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。2-2)求虛位移間的關(guān)系 ABrBy a2 ADrDcosaPCBAamaaD2-3)列虛功方程并求解0)(cosmrFrPByByD02mFaaPByamPFBy22rByrDFBy45IvBxPCBAamaaFBxvCvD【解【解2】 1-1)以FBx代替支座B的水平約束，并視其為主