大學物理(簡諧振動篇)

1、1大學物理下冊大學物理下冊目錄：目錄：第六篇第六篇 近代物理基礎：近代物理基礎：(2)(2) 第十五章第十五章 狹義相對論基礎狹義相對論基礎 第十六章第十六章 從經(jīng)典物理到量子物理從經(jīng)典物理到量子物理 第十七章第十七章 量子力學基礎量子力學基礎第四篇第四篇 振動和波動：振動和波動：(12)(12) 第十一章第十一章 機械振動機械振動(5)(5) 第十二章第十二章 機械波機械波(7)(7)第二篇第二篇 熱學：熱學：(14)(14) 第四章第四章 氣體動理論（氣體動理論（6 6） 第五章第五章 熱力學（熱力學（8）第五篇第五篇 光學：光學：(18)(18) 第十三章第十三章 幾何光學幾何光學 第十

2、四章第十四章 波動光學波動光學(684)(684)要要 求求nAttendancenHomeworkn蔡冬梅ndm_n辦公室：逸夫樓901第四篇 振動和波動振動與波無所不在振動與波是橫跨物理學各分支學科的最基本的運動形式。盡管在各學科里振動與波的具體內(nèi)容不同，但在形式上卻有很大的相似性。5 一個物理量（如位置、電量、電流、電壓、溫度一個物理量（如位置、電量、電流、電壓、溫度）在某一確定值附近隨時間作周期性的變化，則該物理量的在某一確定值附近隨時間作周期性的變化，則該物理量的運動形式稱為振動。運動形式稱為振動。位移位移x 隨時間隨時間t 的往復變化的往復變化電場、磁場等

3、電磁量隨電場、磁場等電磁量隨t的往復變化的往復變化如晶格點陣上原子的振動如晶格點陣上原子的振動振動振動受迫振動受迫振動自由振動自由振動共振共振阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動( (） 無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由諧振動無阻尼自由諧振動67第11章 機械振動 物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)(或正弦函數(shù)或正弦函數(shù))的規(guī)的規(guī)律隨時間變化，這樣的振動稱為簡諧振動，簡稱諧振動。律隨時間變化，這樣的振動稱為簡諧振動，簡稱諧振動。簡諧振動是最簡單、最基本的振動簡諧振動是最簡單、最基本的振動.簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分

4、解振動的理論建立在振動的理論建立在簡諧振動簡諧振動的基礎上。的基礎上。8第11章 機械振動一、簡諧振動的特征一、簡諧振動的特征1 1 用動力學方程定義用動力學方程定義kmx0 xkx22txmkxdd022xmktxddmk20222xtxdd2 2 用運動學方程定義用運動學方程定義0cosxAt0sinxAt或或二者關系？二者關系？振動方程振動方程簡諧振動的定義簡諧振動的定義9第11章 機械振動 說明說明 （1 1） 上述方程對于非機械振動也成立。上述方程對于非機械振動也成立。例例 電磁震蕩電路電磁震蕩電路CLtiLCqddq0122qLCtqddtqidd（2 2） 從運動學方程從運動學方

5、程0cosxAt0sinAt 20cosaAt （3 3） 簡諧振動的特點簡諧振動的特點等幅性等幅性周期性周期性)()(Ttxtx物體所受的力與位移成正比而反向物體所受的力與位移成正比而反向0cos2At20cosAt10第11章 機械振動1. x 位移位移二、二、 振動參量振動參量0cosxAt廣義上，指振動的物理量廣義上，指振動的物理量2. A 振幅振幅最大位移，恒為正，表征系統(tǒng)的能量最大位移，恒為正，表征系統(tǒng)的能量0cost1xA振動的強弱振動的強弱3. T 周期周期物體離開平衡位置的最大位移的絕對值物體離開平衡位置的最大位移的絕對值 A，由初始條件，由初始條件決定，描述振動的空間范圍。

6、決定，描述振動的空間范圍。振動狀態(tài)重復一次所需要的時間振動狀態(tài)重復一次所需要的時間,描述振動的快慢描述振動的快慢.00cos ()cos()AtTAt2T2T1T物體在單位時間內(nèi)發(fā)生完全振動的次數(shù)物體在單位時間內(nèi)發(fā)生完全振動的次數(shù)振動的頻率振動的頻率11第11章 機械振動固有圓頻率固有圓頻率、固有周期和固有頻率、固有周期和固有頻率 T 的大小由諧振動系統(tǒng)本身性質決定，的大小由諧振動系統(tǒng)本身性質決定，反映了系統(tǒng)反映了系統(tǒng)的固有特性的固有特性（1） 數(shù)學上，相位是一個角度，數(shù)學上，相位是一個角度，物理上，相位是描寫振動狀態(tài)的一個參量。物理上，相位是描寫振動狀態(tài)的一個參量。km2角頻率（圓頻率）角頻

7、率（圓頻率）.112kTm22mTk2mk4. （ ） t 時刻的相位（位相）時刻的相位（位相）0t12第11章 機械振動（2） 用相位描述振動狀態(tài)更能深刻反映物體運動的用相位描述振動狀態(tài)更能深刻反映物體運動的周期性周期性。（取決于時間零點的選擇）（取決于時間零點的選擇） txOA-A = 2 0cos()xAtA0sin()0At xOAA02t0 x A032t0 x A00t（3） 初相，初相，013第11章 機械振動比較比較a、b兩點：兩點：tabcxOT結論：結論：用相位描述物體振動，能反映出時間上的周期性，用相位描述物體振動，能反映出時間上的周期性， 而（而（x，v）則不能。）則不

8、能。位移位移 ，速度，速度 ，相位，相位 .相同相同不同不同不同不同比較比較a、c兩點：兩點： 位移位移 ，速度，速度 ，相位，相位 .相同相同相同相同不同不同14第11章 機械振動相位差相位差1.1.對于同一簡諧運動對于同一簡諧運動2010()()tt0cos()xAt12ttt20t10t對于簡諧運動對于簡諧運動t1時刻相位時刻相位t2時刻相位時刻相位相位差相位差相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間15第11章 機械振動2.對不同一簡諧運動對不同一簡諧運動1110cos()xAt2220cos()xAt同方向、同頻率振動同方向、同頻率振動2010

9、()()tt2010（初相差）（初相差）1. 超前和落后超前和落后 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- 1 0 , 則則 x2 比比 x1 早早 達到正最達到正最大大 , 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。利用相位差可比較兩個振動的步調(diào)是否一致利用相位差可比較兩個振動的步調(diào)是否一致16第11章 機械振動2k兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同(21)kxtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相2. 同相和反相同相和反相兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反17第11章 機械振動 由振動系統(tǒng)本身決定由振動系

10、統(tǒng)本身決定彈簧振子：彈簧振子：km單擺：單擺：gl三、三、 諧振動的描述諧振動的描述1. 解析法解析法0cosxAt振動三要素：振幅、周期和相位振動三要素：振幅、周期和相位0( )cos( )x tAt00cosxA0 sin( )Atv00 sinAv22002Axv1000tg ()xv A， 由初始條件決定由初始條件決定(t=0)018第11章 機械振動例例 一彈簧振子（一彈簧振子（m，k），已知），已知,k m2,Acm當當t0時，時，01,xcm00,試寫出振動方程。試寫出振動方程。解解簡諧振動的表達式：簡諧振動的表達式：0cos()xAt由初始條件：由初始條件：00cosxA00s

11、in0A 03 03振動方程：振動方程：2cos()3kxtm取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點001, cos2xA01,xcm000sin0, 19第11章 機械振動例例 一輕彈簧（一輕彈簧（k），下端掛一重物），下端掛一重物m，用手拉物向下至，用手拉物向下至x處，處，然后無初速度釋放。試寫出振動方程。然后無初速度釋放。試寫出振動方程。解解 原點取在原長原點取在原長建立坐標建立坐標 Ox 如圖如圖,Oxx分析小球受力，分析小球受力，mgkx可得：可得：22d xmgkxmdt22d xkxgdtm（不是諧振動）（不是諧振動）原點取在平衡位置原點取在平衡位置 建立建立 ox軸軸oxx0

12、()k x x202()d xmgk xxmdt220d xkxdtm0cos()xAtx0 x20第11章 機械振動推論：推論： 若振動系統(tǒng)除受彈性力外，還受一恒力作若振動系統(tǒng)除受彈性力外，還受一恒力作用，則系統(tǒng)的振動規(guī)律不變，只是改變了平衡位置，用，則系統(tǒng)的振動規(guī)律不變，只是改變了平衡位置，而坐標原點取在新的平衡位置上。而坐標原點取在新的平衡位置上。kmkmkmkm2mTk21第11章 機械振動規(guī)定規(guī)定AA端點在端點在x軸上的投影式軸上的投影式逆時針轉逆時針轉以角速度以角速度 0 t + 0oxt=t時刻t = 0 AA)cos()(0tAtx諧振動諧振動 旋轉矢量的大小旋轉矢量的大小A振

13、幅振幅 旋轉矢量轉動角速度旋轉矢量轉動角速度諧振動的角頻率諧振動的角頻率 旋轉矢量和參考方向的夾角旋轉矢量和參考方向的夾角相位相位2Tt0cos()xAt2. 旋轉矢量法旋轉矢量法用勻速圓周運動用勻速圓周運動 幾何地描述幾何地描述 簡諧振動簡諧振動x22第11章 機械振動勻速圓周運動在任意直徑方向的分運動為簡諧振動。勻速圓周運動在任意直徑方向的分運動為簡諧振動。23第11章 機械振動（1）矢量端點在矢量端點在x軸上的軸上的投影投影為簡諧振動方程為簡諧振動方程圓周運動與簡諧振動的關系：圓周運動與簡諧振動的關系：t=0時刻，矢量與時刻，矢量與x軸的夾角軸的夾角 0 0為簡諧振動的初相位為簡諧振動的

14、初相位在任意在任意t時刻，矢量與時刻，矢量與x軸的夾角軸的夾角t+ 0為簡諧振為簡諧振動動t時刻的相位時刻的相位（2）旋轉矢量的旋轉矢量的大小大小A是簡諧振動的振幅是簡諧振動的振幅（3） 旋轉矢量轉動旋轉矢量轉動角速度角速度是簡諧振動的角頻率是簡諧振動的角頻率 （4） 旋轉矢量和參考方向的旋轉矢量和參考方向的夾角夾角 是簡諧振動的相位是簡諧振動的相位24第11章 機械振動（1）相位顯示直觀）相位顯示直觀旋轉矢量用圖代替了文字的敘述。旋轉矢量用圖代替了文字的敘述。旋轉矢量法表示的優(yōu)點：旋轉矢量法表示的優(yōu)點： 0 t + 0oxt=t時刻t = 0 A0cos()xAtx25第11章 機械振動由圖

15、看出：速度超前位移由圖看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2（2） 比較相位方便比較相位方便AA2A0020coscos2cosxAtAtaAtv(3) 計算時間簡便計算時間簡便用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算。用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算。26第11章 機械振動例例 質點在質點在x軸上作諧振動，從軸上作諧振動，從ABOCD，請指出各點，請指出各點時的相位，并說明相應的狀態(tài)。時的相位，并說明相應的狀態(tài)。OADCBx解解0A3B2O23CD例例 一彈簧振子，已知一彈簧振子，已知A、，試寫出振動方程。，試寫出振動方程。 開始時物體運動到正向最大位移處，開始時物體運動到正向最大位移

16、處，(2)開始時物體在開始時物體在A/2處處,向向x正方向運動，正方向運動，解解oxA00cos()xAtoxA0535cos()3xAt27第11章 機械振動例例 一質點在一質點在x軸上作諧振動，軸上作諧振動，T為已知，問：質點從為已知，問：質點從AA/2和從和從A/20所需時間各為多少？所需時間各為多少？解解用相位分析問題用相位分析問題oxA1AA/2： 相位變化從相位變化從0/3，13由由112Tt16TtA/20： 相位變化從相位變化從/3/2 ，262由由222Tt212Tt28第11章 機械振動x例例 利用旋轉矢量法確定質點在不同運動狀態(tài)時的相位。利用旋轉矢量法確定質點在不同運動狀

17、態(tài)時的相位。00t由旋轉矢量圖可以得出，旋轉矢量與由旋轉矢量圖可以得出，旋轉矢量與x軸的夾角為零，故軸的夾角為零，故得得12（2）質點經(jīng)二分之一振幅處向負）質點經(jīng)二分之一振幅處向負方向運動方向運動xoA（1）t 時刻質點時刻質點在正最大位移處在正最大位移處03tA2Ax 0v29第11章 機械振動(3) 當質點過平衡位置向負方向運動當質點過平衡位置向負方向運動02t03t xA0t同樣同樣2340v質點向負方向運動質點向負方向運動2Ax0v注意到：注意到：0 x 0vAA534Ax1xoAA230第11章 機械振動（4）質點向正方向運動）質點向正方向運動2Axv 00 x v 02Ax v 0

18、oxxAAA6,7,80v 向正向運動向正向運動03t2 3 或或02t 03t 6 7 831第11章 機械振動 以振動平衡位置為坐標原點，振動方向為縱軸，以振動平衡位置為坐標原點，振動方向為縱軸，t為為橫軸的橫軸的 x t 關系曲線。關系曲線。2cosxAtT3. 振動曲線振動曲線oxtTAx0旋轉矢量旋轉矢量振動方程振動方程振動曲線振動曲線32第11章 機械振動o()x cm( )t s13323解解例例已知振動曲線，求振動方程。已知振動曲線，求振動方程。x102 3Acm2Ts2sT13cos()2xt2023cos()xt由振動曲線由振動曲線1，12t0時，時，x00，0 0由振動曲

19、線由振動曲線2，t0時，時，x03，0 033第11章 機械振動例例 一彈簧振子，一彈簧振子，m100g，把物體從平衡位置向下拉，把物體從平衡位置向下拉10cm后后釋放，已知釋放，已知T2s。求：。求：（1）物體第一次經(jīng)過平衡位置時的速度，）物體第一次經(jīng)過平衡位置時的速度，（2）物體第一次在平衡位置上方）物體第一次在平衡位置上方5cm處的加速度，處的加速度，（3）物體從平衡位置下方）物體從平衡位置下方5cm處向上運動到平衡位置上方處向上運動到平衡位置上方 5 cm處所需最短時間。處所需最短時間。解解建立坐標如圖，建立坐標如圖，ox1010Acm2rad sT0010cos() ()xtcm（1

20、）10 sin() t 2t1031.4cm s ox34第11章 機械振動ox10（2）10cos() ()xtcm210cos()at 23tox10102210cos()3a 225cm s（3）由旋轉矢量圖）由旋轉矢量圖ox101032tT2Tt 13s35第11章 機械振動A比較諧振動的比較諧振動的x、a 的相位的相位0cos()xAt0sin()At 20cos()aAt 0cos2At20cosAtToxtaA202 令 可見，速度可見，速度比位移比位移 x 相位超前相位超前/2；加速度；加速度 a 比速度比速度相位超前相位超前/2；加速度加速度 a 與位移與位移 x 反相。反相

21、。36第11章 機械振動2) 振動方程振動方程2220 xxtdd0cosxAt3）微分方程）微分方程 簡諧振動的三個判據(jù)簡諧振動的三個判據(jù)1)1)受力特征受力特征fkx 以上以上1）、）、2）、）、3）中任一條成立即可判定為中任一條成立即可判定為簡諧振動。簡諧振動。小結小結恢復力恢復力勁度系數(shù)勁度系數(shù)37第11章 機械振動)cos(0tAx解析法：解析法：曲線法：曲線法： xt 曲線曲線旋轉矢量旋轉矢量角速度角速度圓頻率圓頻率 長度振幅長度振幅A初始角初始角初相初相 0 038第11章 機械振動旋轉矢量圖與簡諧運動的旋轉矢量圖與簡諧運動的x-t圖的對應關系圖的對應關系39第11章 機械振動簡

22、諧振動的三個特征量簡諧振動的三個特征量圓頻率圓頻率振幅振幅 反映振動的強弱，反映振動的強弱，由初始條件決定由初始條件決定.00cosxAt=0時時00cossinxAtAt v由由可得可得22002Axv40第11章 機械振動初相位初相位0已知初始振動狀態(tài)，用旋轉矢量確定已知初始振動狀態(tài)，用旋轉矢量確定oxx00v00 x0=0v00 x0=Av0=0 x0= -Av 0= 0 x00 x00v00 x00v0 0所以所以0.07cos(6)4xt(3)如果物體在如果物體在x = 0.05m處時速度不等于零處時速度不等于零, 而是具有向右的而是具有向右的初速度初速度v0= 0.30m/s, 求

23、其運動方程求其運動方程./4oxA 00cos/0.714xA04 44第11章 機械振動例例 一質量為一質量為0.01kg的物體作簡諧運動的物體作簡諧運動,其振幅為其振幅為0.08m,周期為周期為4s，起始時刻在，起始時刻在x=0.04m處處,向向ox軸負方向運動軸負方向運動.試求試求:(1)t=1.0s時時,物體所處的位置和所受的力。物體所處的位置和所受的力。解（解（1）已知）已知 A=0.08m 1s2T2t = 0時有時有: x=A/2, v0030故取故取oxAA/2 /30.08cos()23xt45第11章 機械振動(2)由起始位置運動到由起始位置運動到x=0.04m處所需要的最

24、短時間處所需要的最短時間.t=1.0s時時,由上式解得由上式解得x=0.069mf=kx=m 2x=1.70103N受力為受力為0tt/3/ 2oxA/2-A/2t=0時刻時刻t時刻時刻解（解（2）t時刻運動到時刻運動到x=0.04m處處023tt20.6673s46第11章 機械振動例例 兩個兩個同頻率同頻率簡諧振動曲線如圖所示，比較它們的位相簡諧振動曲線如圖所示，比較它們的位相差關系。差關系。A1x2Txto oA2- - A2-A1x1 選選正最大位移，正最大位移，x2 比比x1 較早達到正最大位移較早達到正最大位移x2 比比x1時間超前時間超前T/4,相位超前相位超前/ /2. .解：

25、選定某一運動狀態(tài)，誰先到達誰超前解：選定某一運動狀態(tài)，誰先到達誰超前. .47第11章 機械振動例例 某簡諧振動的振動曲線如圖，寫出振動方程。某簡諧振動的振動曲線如圖，寫出振動方程。x(cm)t(s)t(s)-1-1-2-2O O1 1解：解：設振動方程為設振動方程為則由振動曲線：則由振動曲線： A=2 cmt=0時刻時刻2Ax00v0cos()xAt48第11章 機械振動又又 v00所以所以 或或20cosaAt 200cosaA v(m/s)t(s)Omv/2mv0/6 5 /6故選故選05 /6 51第11章 機械振動例例 如圖：如圖：m=20g, 平衡時彈簧的形變?yōu)槠胶鈺r彈簧的形變?yōu)?

26、l = 9.8cm。將彈簧。將彈簧壓縮壓縮9.8cm, , 物體由靜止釋放。物體由靜止釋放。 取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；解解（1）平衡位置時平衡位置時 mg = k l取平衡位置為坐標原點，向下為正取平衡位置為坐標原點，向下為正 對物體任意位移對物體任意位移 x 時受力分析時受力分析()fmgk xlfkx 物體作簡諧振動！物體作簡諧振動！y0kmmmxl52第11章 機械振動由初條件：由初條件：x0= 9.8cm,v0=0, 得得由由x0= -A 得得 0 = 振動方程為振動方程為：x = 9.8cos( 10t+ ) cm0cosxAt彈簧

27、的彈性系數(shù)為：彈簧的彈性系數(shù)為：k=mg/ l9.810rad/s0.098kgml2200()9.8cmvAx53第11章 機械振動解（解（2）按題意）按題意 t = 0 時時, x0= 0，v0 0由旋轉矢量法由旋轉矢量法 0= - /2x = 9.8cos( 10 t - /2 ) cm對同一諧振動對同一諧振動, 取不同的計時零點取不同的計時零點, 0不同，但不同，但 和和 A 不變不變 . （2）若取若取x0= 0，v0 0為計時零點為計時零點, , 寫出振動方程。寫出振動方程。2y0kmmmxl54第11章 機械振動四、四、 幾種常見的諧振動幾種常見的諧振動忽略空氣阻力，質點在平忽略

28、空氣阻力，質點在平衡點附近往復運動衡點附近往復運動第11章 機械振動最大最大擺角擺角小于小于5 GF回回=Gsin56第11章 機械振動2、 周期公式周期公式由轉動定理由轉動定理222sindmglmldt當當 50時，時，sin220dgdtl（簡諧振動）（簡諧振動）gl22lTg0cos()At角位移角位移角振幅角振幅57第11章 機械振動例例o0解解單擺的振動方程：單擺的振動方程：0cos()At2gTl由系統(tǒng)決定由系統(tǒng)決定00cos()A00sin()A 0A（振幅）（振幅）初相：初相：00周期相同周期相同 用手拉擺球，單擺從平衡位置偏一小角用手拉擺球，單擺從平衡位置偏一小角0，無初速

29、度釋，無初速度釋放，偏角大小不同，（放，偏角大小不同，（1）周期相同嗎？（）周期相同嗎？（2）振幅）振幅A相同相同嗎？（嗎？（3） 0是不是初相？是不是初相？ ？0A和和 由初始條件決定由初始條件決定0初始條件初始條件t=0時時 ，有，有不是初相不是初相58第11章 機械振動四、四、 諧振動的能量諧振動的能量（以水平彈簧振子為例）（以水平彈簧振子為例） 1. 動能動能221vmEk)(sin21022tkA2 41d1kAtETETttkk2. 勢能勢能221kxEp)(cos21022tkA3. 機械能機械能221kAEEEpk（簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒）（簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒）0cosxA

30、t0sinAt2max21kAEk0minkEPEEkEPExO212pEkx 結論結論1：系統(tǒng)的動能、勢能都隨系統(tǒng)的動能、勢能都隨t作周期作周期性變化，但系統(tǒng)總能量不變，且與振幅平性變化，但系統(tǒng)總能量不變，且與振幅平方成正比。方成正比。 結論結論2：系統(tǒng)作一次全振動，能系統(tǒng)作一次全振動，能量轉換量轉換2次。即能量轉化的周期次。即能量轉化的周期 振動的周期的一半振動的周期的一半59第11章 機械振動tEo4T2T23TT2pk21kAEEE tkAE 22pcos21 tkAE 22ksin21 xtoT60第11章 機械振動222111222mkxkAv1)2EA2) 時間平均值時間平均值K

31、PEE214kA3) 由簡諧振動能量求振幅由簡諧振動能量求振幅具有普遍適用性具有普遍適用性討論討論2EAk簡諧振動的各特征量的性質簡諧振動的各特征量的性質 振幅振幅A 由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的振動能量振動能量決定；決定； 角頻率角頻率 由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的內(nèi)在性質內(nèi)在性質決定；決定； 初相初相 0 由由時間零點時間零點的選取決定。的選取決定。61第11章 機械振動例例9 彈簧振子總能量為彈簧振子總能量為E1，若其振幅增為原來的兩倍，重，若其振幅增為原來的兩倍，重物質量增為原來的四倍，則振子總能量為原來的幾倍？物質量增為原來的四倍，則振子總能量為原來的幾倍？解：解：振子總能量為原來的振子總能量為原來的4 4

32、倍倍. .2212EmA212kA14EE62第11章 機械振動例例 系統(tǒng)作諧振動，周期為系統(tǒng)作諧振動，周期為T，以余弦函數(shù)表達振動時，初相為零，以余弦函數(shù)表達振動時，初相為零，則在則在0 t T/2范圍內(nèi)，系統(tǒng)在什么時刻動能和勢能相等。范圍內(nèi)，系統(tǒng)在什么時刻動能和勢能相等。解：解：221124kxkA動能和勢能相等的位置在動能和勢能相等的位置在振動方程振動方程cosxAt12kpEEE22xA pkEE3 /4 /4x旋矢圖：旋矢圖：/4t3 /4或或42T1/4t8T因此因此23 /4t342T38T63第11章 機械振動例例 質量為質量為m的平底船，底面積為的平底船，底面積為S，吃水深度

33、為，吃水深度為h，不計水的，不計水的阻力，求：船在豎直方向的振動周期阻力，求：船在豎直方向的振動周期T。（水的密度為。（水的密度為）水面解解取水平面為坐標原點，取水平面為坐標原點，船上任意一點都可代表船的位船上任意一點都可代表船的位置，取平衡時同水線上一點置，取平衡時同水線上一點PPoyh 建立動力學方程：建立動力學方程：ymg()hy Sg22d ymdtmghSgySg22d ymdt220d ySgymdt2Sgm2mTSg2hg（諧振動）（諧振動）64第11章 機械振動回顧回顧 單擺單擺 諧振動的能量諧振動的能量 系統(tǒng)動能和勢能均隨系統(tǒng)動能和勢能均隨t作周期性變化，但總能量不變，與作周

34、期性變化，但總能量不變，與振幅平方成正比。振幅平方成正比。能量轉換周期等于振動周期的一半。能量轉換周期等于振動周期的一半。 如何證明系統(tǒng)是否諧振動如何證明系統(tǒng)是否諧振動 建立坐標系（原點取在平衡位置）建立坐標系（原點取在平衡位置） 分析研究對象：分析研究對象： 平動平動 Fm a 轉動轉動 MJ 動力學方程動力學方程 22EkA動力學方程動力學方程 周期周期 65第11章 機械振動66第11章 機械振動 在實際問題和具體過程中，振動往往是由好在實際問題和具體過程中，振動往往是由好幾個振動合成的。例如，在凸凹不平的路面上行幾個振動合成的。例如，在凸凹不平的路面上行駛的小汽車，車輪相對地面在振動，車身相對車駛的小汽車，車輪相對地面在振動，車身相對車輪也在振動，而車身相對地面的振動就是這兩個輪也在振動，而車身相對地面的振動就是這兩個振動的合振動。巧妙設計現(xiàn)代汽車的減震系統(tǒng)，振動的合振動。巧妙設計現(xiàn)代汽車的減震系統(tǒng)，可以使車身相對地面的震動不至于太劇烈。可以使車身相對地面的震動不至于太劇烈。 67第11章 機械振動一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成12xx12cos(cos(AA1020)tt12xxx0cos( )