數(shù)學(xué)建模第二章初等方法建模

1、 Mathematical Modeling 第第二二章章 初等方法建模初等方法建模2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.2 2.2 代數(shù)模型代數(shù)模型2.3 2.3 簡(jiǎn)單優(yōu)化模型簡(jiǎn)單優(yōu)化模型2.4 2.4 節(jié)水洗衣機(jī)節(jié)水洗衣機(jī) Mathematical Modeling 2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題2.1.2 劃艇比賽成績(jī)劃艇比賽成績(jī) Mathematical Modeling 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題 考慮像面粉、洗滌劑或果醬之類的產(chǎn)考慮像面粉、洗滌劑或果醬之類的產(chǎn)品，它們常常是包裝后出售的。注意到包裝品，它們常常是包裝后出售

2、的。注意到包裝比較大的按每克計(jì)算的價(jià)格較低。人們通常比較大的按每克計(jì)算的價(jià)格較低。人們通常認(rèn)為這是由于節(jié)省了包裝和經(jīng)營(yíng)的成本的緣認(rèn)為這是由于節(jié)省了包裝和經(jīng)營(yíng)的成本的緣故。故。 或許有人會(huì)問，這是主要原因嗎或許有人會(huì)問，這是主要原因嗎? ?是否是否還有其他重要因素？能否構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單模型還有其他重要因素？能否構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單模型來分析？來分析？問題問題研究產(chǎn)品成本如何隨包裝大小而變化的規(guī)律研究產(chǎn)品成本如何隨包裝大小而變化的規(guī)律 Mathematical Modeling 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題模型假設(shè)模型假設(shè)aW1）計(jì)入批發(fā)價(jià)格的主要成本是）計(jì)入批發(fā)價(jià)格的主要成本是: 生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本生

3、產(chǎn)該產(chǎn)品的成本 包裝該產(chǎn)品的成本包裝該產(chǎn)品的成本 運(yùn)輸該產(chǎn)品的成本運(yùn)輸該產(chǎn)品的成本 包裝材料的成本包裝材料的成本abcd2）產(chǎn)品成本顯然隨商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)和經(jīng)營(yíng)規(guī)模不同而變）產(chǎn)品成本顯然隨商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)和經(jīng)營(yíng)規(guī)模不同而變 化，忽略這些因素集中考慮在原料和買賣過程的化，忽略這些因素集中考慮在原料和買賣過程的 費(fèi)用上費(fèi)用上.設(shè)該產(chǎn)品成本設(shè)該產(chǎn)品成本 與所生產(chǎn)的貨物重量成正比與所生產(chǎn)的貨物重量成正比, 記為記為 aW其中為產(chǎn)品重量其中為產(chǎn)品重量 Mathematical Modeling 模型分析與建立模型分析與建立 裝包時(shí)間大致與體積（因而與重量）成比例裝包時(shí)間大致與體積（因而與重量）成比例,而對(duì)于體而對(duì)于體

4、積在一定范圍內(nèi)的包裝，后兩部分時(shí)間相差不大。積在一定范圍內(nèi)的包裝，后兩部分時(shí)間相差不大。(0,0)bfWg fg 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題3)包裝成本取決于裝包、封包以及裝箱備運(yùn)所需要的時(shí)間包裝成本取決于裝包、封包以及裝箱備運(yùn)所需要的時(shí)間.于是有于是有 Mathematical Modeling 每件包裝品的體積與包裝品的表面積或體積成正比，它每件包裝品的體積與包裝品的表面積或體積成正比，它 取決于攤平后運(yùn)輸取決于攤平后運(yùn)輸(像紙板之類像紙板之類)還是成型后運(yùn)輸還是成型后運(yùn)輸(像玻璃像玻璃 器皿之類器皿之類), 所以打包者的成本所以打包者的成本dhWkSm其中其中S是表面積，是表面

5、積， 0,0,0hkm均為常數(shù)均為常數(shù)，因此每件包裝所消耗材料量因此每件包裝所消耗材料量(因而也是每件包裝的重量因而也是每件包裝的重量) 與所覆蓋的表面積成正比與所覆蓋的表面積成正比。模型假設(shè)模型假設(shè) 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題 Mathematical Modeling 6）假設(shè)各種包裝品在幾何形狀上是大致相似的假設(shè)各種包裝品在幾何形狀上是大致相似的,體積幾乎體積幾乎 與線性尺度的立方成正比與線性尺度的立方成正比,表面積幾乎與線性尺度的平表面積幾乎與線性尺度的平 方成正比，方成正比，32,vlsl即2/32/3. ,SlvWSW所以由于有模型分析與建立模型分析與建立 2.1.1 包

6、裝成本問題包裝成本問題 Mathematical Modeling 于是每克的批發(fā)成本是于是每克的批發(fā)成本是 1/3)abcdqnpWnpqWWW成本(其中 、 、 為正數(shù)模型分析與建立模型分析與建立由此看出，當(dāng)包裝增大時(shí)，即每包內(nèi)產(chǎn)重量由此看出，當(dāng)包裝增大時(shí)，即每包內(nèi)產(chǎn)重量 增大時(shí)，增大時(shí)， 每克的成本下降每克的成本下降. w, (0,0), aWbfWg fgcW dhWkSm現(xiàn)在將現(xiàn)在將比例法比例法中涉及的自變量化為一個(gè)自變量中涉及的自變量化為一個(gè)自變量重量。重量。 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題 Mathematical Modeling 進(jìn)一步的分析可以看到，每克產(chǎn)品的成本下降

7、速度進(jìn)一步的分析可以看到，每克產(chǎn)品的成本下降速度4/32d(/)d3WpqrWWW 成本1/3113rWpWqW因此當(dāng)包裝比較大時(shí)，每克的節(jié)省率增加得比較因此當(dāng)包裝比較大時(shí)，每克的節(jié)省率增加得比較慢?？偣?jié)省率為慢?？偣?jié)省率為這是這是W的減函數(shù)。的減函數(shù)。這也是這也是 的減函數(shù)。的減函數(shù)。W 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題 Mathematical Modeling 直觀解釋直觀解釋 購(gòu)買預(yù)先包裝好看產(chǎn)品時(shí)，把小型包裝的包裝規(guī)格購(gòu)買預(yù)先包裝好看產(chǎn)品時(shí)，把小型包裝的包裝規(guī)格(體積體積)增大一倍，每克所節(jié)省的錢，傾向于比大型的增大一倍，每克所節(jié)省的錢，傾向于比大型的包裝規(guī)格增大一倍所節(jié)省的包裝

8、規(guī)格增大一倍所節(jié)省的錢多錢多。此模型可推廣于零售價(jià)格，零售成本取決于批發(fā)價(jià)、此模型可推廣于零售價(jià)格，零售成本取決于批發(fā)價(jià)、銷售成本和倉庫成本，后兩種成本具有的形式銷售成本和倉庫成本，后兩種成本具有的形式 ，因此上述，因此上述 結(jié)論也適用于零售價(jià)格。結(jié)論也適用于零售價(jià)格。HWM應(yīng)用這里說這里說“傾向于傾向于”是因?yàn)槟Ｊ且驗(yàn)槟Ｐ褪谴植诘?。然而在定性預(yù)型是粗糙的。然而在定性預(yù)測(cè)中往往很可靠。而驗(yàn)證上測(cè)中往往很可靠。而驗(yàn)證上述解釋也是很容易的述解釋也是很容易的12|WWWW成本成本只須計(jì)算的只須計(jì)算的 值，其中值，其中 212WW 2.1.1 包裝成本問題包裝成本問題 Mathematical Mod

9、eling 賽艇賽艇 2000米成績(jī)米成績(jī) t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長(zhǎng)艇長(zhǎng)l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇（對(duì)四種賽

10、艇（單人、雙人、四人、八人）單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不變基本不變 2.1.2 劃艇比賽成績(jī)劃艇比賽成績(jī) Mathematical Modeling 問題分析問題分析 前進(jìn)阻力前進(jìn)阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度

11、由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型 2.1.2 劃艇比賽成績(jī)劃艇比賽成績(jī) Mathematical Modeling 模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 Sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積

12、 S, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f Sv2p wv (n/S)1/3S1/2 A1/3A W(=w0+nw) n S n2/3v n1/9比賽成績(jī)比賽成績(jī) t n 1/9np fv 2.1.2 劃艇比賽成績(jī)劃艇比賽成績(jī) Mathematical Modeling 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 1

13、1. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84與模型巧合！與模型巧合！ 2.1.2 劃艇比賽成績(jī)劃艇比賽成績(jī) Mathematical Modeling 2.2 代數(shù)模型代數(shù)模型森林中的樹木每年都要有一批被砍伐出售。森林中的樹木每年都要有一批被砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有收獲，為了使這片森林不被耗盡且每年都有收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹時(shí)，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼每當(dāng)砍伐一棵樹時(shí)，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被

14、出售苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價(jià)值取決于樹木的高度，開始的樹木，其價(jià)值取決于樹木的高度，開始時(shí)森林中的樹木有著不同的高度。我們希時(shí)森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個(gè)方案，在維持收獲的前提下，望能找到一個(gè)方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值？最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值？森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 模型假設(shè)模型假設(shè)1）把樹木按高度分為）把樹木按高度分為n類，第類，第1類樹木的高度為類樹木的高度為 0, h1，它是樹木的幼苗，第，它是樹木的幼苗，第k類樹木的高度為

15、類樹木的高度為 （hk -1, hk，k=2, 3,n-1，第，第n類樹木的高度為類樹木的高度為 （hn-1,）；2）幼苗的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為）幼苗的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為p1=0=0，第第k類的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為類的經(jīng)濟(jì)價(jià)值為 pk , k=2, 3, , ,n ；3）每年對(duì)森林中的樹木砍伐一次，且只砍伐部分）每年對(duì)森林中的樹木砍伐一次，且只砍伐部分 樹木，每砍伐一棵樹木就補(bǔ)種一棵幼苗樹木，每砍伐一棵樹木就補(bǔ)種一棵幼苗.森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 5）在一年的生長(zhǎng)期內(nèi)，樹木最多生長(zhǎng)一個(gè)高度類）在一年的生長(zhǎng)期內(nèi)，樹木最多生長(zhǎng)一個(gè)高度類, 即第即第k類的樹木可能進(jìn)入第類的樹木可能進(jìn)

16、入第k+1類，也可能停留類，也可能停留 在第在第k類，進(jìn)入第類，進(jìn)入第k+1類的比例為類的比例為 ; kg4）補(bǔ)種的幼苗和未被砍伐的樹木經(jīng)過一年的生長(zhǎng)）補(bǔ)種的幼苗和未被砍伐的樹木經(jīng)過一年的生長(zhǎng) 期后，與砍伐前樹木的高度狀態(tài)相同；期后，與砍伐前樹木的高度狀態(tài)相同；6）忽略兩次砍伐期間樹木的死亡情況）忽略兩次砍伐期間樹木的死亡情況.模型假設(shè)模型假設(shè)森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 設(shè)設(shè) 為第為第t年森林中第年森林中第k類樹木的數(shù)量，類樹木的數(shù)量，每年砍伐第每年砍伐第k類樹木數(shù)為類樹木數(shù)為建立模型建立模型( )kx tky12( )( )( )nx tx tx t

17、SS為森林樹木總數(shù)為森林樹木總數(shù)沒有砍伐時(shí)，樹木第沒有砍伐時(shí)，樹木第t+1年的數(shù)量是年的數(shù)量是1111111(1)(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )kkkkknnnnx tg x tx tgxtgx tx tgxtx t2,3,1kn(2)森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 有砍伐時(shí)，樹木第有砍伐時(shí)，樹木第t+1年的數(shù)量是年的數(shù)量是111111111(1)(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )nkkkkkkkknnnnnx tg x tyyx tgxtgx tyx tgxtx ty2,3,1kn(3)建立模型建立模型森林管理

18、問題森林管理問題 Mathematical Modeling 引入樹木狀態(tài)向量引入樹木狀態(tài)向量x(t)、收獲向量、收獲向量y、生長(zhǎng)矩陣、生長(zhǎng)矩陣G和種植矩陣和種植矩陣R如下如下T12( )( ), ( ), , ( )nx tx tx tx tT12(, , , )nyyyy1122311 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ngggggGg1 0 0 1ng111000000R建立模型建立模型森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling （2）式和（）式和（3）式分別寫為）式分別寫為(1)( )x tGx t(1)( )x tGx

19、tyRy考慮到假設(shè)考慮到假設(shè)4），又有），又有( )( )x tGx tyRy（5）本問題即是求滿足（本問題即是求滿足（1）式條件下的（）式條件下的（5）式的解。）式的解。建立模型建立模型樹木狀態(tài)向量樹木狀態(tài)向量x(t)、收獲向量、收獲向量y、生長(zhǎng)矩陣、生長(zhǎng)矩陣G、種植矩陣種植矩陣R森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 模型求解模型求解由于幼苗無經(jīng)濟(jì)價(jià)值，故不對(duì)其砍伐，即由于幼苗無經(jīng)濟(jì)價(jià)值，故不對(duì)其砍伐，即10y 由（由（5）式可得）式可得231 121 122322331221111nnnnnnnnnyyyg xyg xg xyg xg xygxgxygx(6

20、)( )( )x tGx ty Ry 森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 利用收獲向量和價(jià)值向量，得所收獲樹木的價(jià)值為利用收獲向量和價(jià)值向量，得所收獲樹木的價(jià)值為23221 13222111(,) ()()nnkkknnnnf yyyp yp g xppg xppgx(8)為了獲得最大的收益為了獲得最大的收益,要在條件要在條件(1)和和(7)式限制下式限制下,求（求（8）式的最大值。）式的最大值。0ky 1 12233110nng xg xg xgx(7) 模型求解模型求解森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 在實(shí)際中，往往只砍

21、伐一種類別的所有樹木，在實(shí)際中，往往只砍伐一種類別的所有樹木，設(shè)為設(shè)為k類，類，0, 0, , 2,3,kjyyjk jn0,ixik且此時(shí)且此時(shí)及（及（6）式得）式得1 1223311kkkyg xg xg xgx解得解得111213111231,kkgggxx xxxxggg 模型求解模型求解即即森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 代入（代入（1）式得）式得11112311kSxgggggg此時(shí)，收獲樹木的價(jià)值為此時(shí)，收獲樹木的價(jià)值為1 1121111kkkkkkp Sfp yp gxggg2,3,1kn 比較各即可獲得最佳砍伐方案。比較各即可獲得最佳砍伐

22、方案。 模型求解模型求解森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 求出對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)采伐的策略。求出對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)采伐的策略。 例題例題 已知森林具有已知森林具有6年的生長(zhǎng)期，年的生長(zhǎng)期，g1=0.28, g2=0.32, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, p2=50元，元， p3=100元，元，p4=150元，元，p5=200元，元，p6=250元。元。問題問題森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling f2=14.0S, f3=14.7S, f4=13.9S, f5=13.2S, f6=14.0S，比較得比較得f3最大，

23、收益是最大，收益是14.7S。因此應(yīng)砍伐第三年中的全部樹木。因此應(yīng)砍伐第三年中的全部樹木。求解求解 例題例題 按上述方法計(jì)算得按上述方法計(jì)算得此時(shí)，此時(shí)，x2=0.475S，森林群體，森林群體x=(0.525, 0.475, 0, 0, 0)T，即第一年樹木占樹木總數(shù)的即第一年樹木占樹木總數(shù)的52.5%，第二年樹木占樹，第二年樹木占樹木總數(shù)的木總數(shù)的47.5%。森林管理問題森林管理問題 Mathematical Modeling 2.3 簡(jiǎn)單的優(yōu)化法簡(jiǎn)單的優(yōu)化法2.3.1 存貯問題存貯問題2.3.2 森林救火森林救火 Mathematical Modeling 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實(shí)

24、世界中普遍存在著優(yōu)化問題 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型 Mathematical Modeling 問問 題題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。生

25、產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi)每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。 2.3.1 存貯問題存貯問題 Mathematical Modeling 問題分析與思考問題分析與思考

26、每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次，每次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。元。日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。元。 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次5000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010

27、天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 Mathematical Modeling 這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問題分析與思考問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小 Mat

28、hematical Modeling 模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。

29、Mathematical Modeling 模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化AcdttqcT202)(一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ Mathematical Modeling 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問題回答問題 Mathematical Modeling 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi) c2 ，用